Voici le tableau des formules nécessaires aux applfr

tions :

i°. B négatif; tang**= — ^ c> M = A + C, N = o,

^ Dv/A — EV/C g D|/C + E^A

M,y* + Rr + Sx + F as o." R R»— 4FM , S

a°. B positif tanga«=:-- TZ^> M = o, N=A-l-C, , D^/C—Ey/A «£)/A + Ev/C

DM8 LÀ PARABOL*. 4^^

S' t S" '«- 4WF __ K a = ""5N' "- 4NR' ••*• N*"

• Premier exemple : y* — fay + 4** + V """ 7* "" I == °*

(B étant négatif, il faut employer le premier Système de formules*) ' ?

OnaA=i,BŒ=— 4, C=4, D=a,E=— 7, F = — i;

d'ttà

Prenons d'abord sur Aï, AC= t (/fyaog), et élevons Fîg. 209.

an point C une perpendiculaire CDe=t — 5j puis tirons

DAB, et divisons l'angle BAÏ en deux parties, égales; les. droites AX', À Y' sont les deux axes par. rapport auxquels Péréquation- devient

5y + -g- 1/5.. x — g 1/5 . *,— i = et;

on obtient ensuite

» 8 Jtm 356' .-

* = -3V^=-o,7. « asa-jjj »/«■■- «,7.

Soient pris AEt=— 3,7 et EA' =3—0,7.

Les droites A'X* , A' Y*, parallèles à AX', AT et passant par le point A', sont les nouveaux axes par rapport auxquels l'équation est enfin ramenée a la forme

Le paramètre est donc égal à -? 1/5 ou o ,3 ; et la courbe

4&6 T1UVS*Ô*MATI0!T

construite d'après, ces donnée*, se trouve dans une situation semblable à celle de la figure 20 1 qui se rapporte (n° 365) au même exemple traité par la séparation des variables.

Second exemple : y* -f- axy + x% — 6y + g = o . (B étant positif* il faut faire usage du second système.)

On a À=i,B=-f a, C=i,D=— 6, E = o, F=9; d'pu tangaocs — ?= 00, Ms=o, N=a, R'œ— 3i/a, S'=a—3t/a;

et ftm A- pour la première transformée y

ax* — 3|/a • ^ — 3)/î . x + 9 == o. On trouve ensuite

a = y y/%, b =a g 1/3, et à* as - l/a . J*

La construction de la courbe, au moyen dé ces résultats, peut être facilement vérifiée par la séparation des variables.

38o. Dans les* applications précédentes, nous avons passé sous silence les différentes variétés , parce que la résolution immédiate'de l'équation les fait aisément ressortir, et que totale transformation de coordonnées devient inutile pour leur constfu&fon. Cependant, nous croyons devoir nous arrêter un instant sur le cas particulier ofun système de deux droites parallèles*

On a vu (n° 358) que cette variété est caractérisée par les

deux conditions B1 — 4AC a o , BD — aAE s=rf o. • . (1)

Cela posé, là première donne B =±: âî a 1/ A X l/€, savoir :

B = — 2 \/L X l/C , si B est négatif, et B= + 2 y/K. X \/C,

si B est positif.

Admettons la première hypothèse, et substituons pour Si sa valeur dans BD — aAE = o j il vient

PAR RATOOBT AUX VAM&rls. 4^7

— a|/AxV/CxD— a(v/A)axE=o; d'où D|/G+E|/A=o.

Or, on a trouvé (n° 379) . . . Sa— . L- ; donc.

yîf l/A -f C

dans le cas particulier dont il s'agit , et pour B négatif, on a , à la' fois, N = o et S = o.

Si , au contraire , B était positif, on trouverait

d'où Dl/C — E i/A=o.

Ainsi, l'on obtiendrait en même temps M = o et K'.= 0; c'est-à-dire que la première transformation réduirait F équation à My* + Ry + F=o, ou K*» + S' x + F =5 o. iFbyes ce qui a été dit a ce sujet , n° a54) Les formules de la seconde transformation (n° 379) donnent,

dans le même cas , b = rr , a = 00 . ou bien , a = =r,

7 aM aN

6 = 00 ; ce qui doit être , car le but de cette transformation est;

de rapporter la courbe à son sommet * lequel se trouve alors .

placé à une distance infinie* sur la ligne menée à égale distance

des deux droite* parallèles*

Toutefois, après avoir déterminé, au moyen de l'équation

tang M=~,jrI^^, ** position des axes ÀXT, AT* (Jig. aïo), Figaiopar rapport auxquels l'équation est, par exemple, de la ibrme

on peut se proposer de faire évanouir le terme en y. Pour cela, il suffit de poser y ss±y + 6, et d'égaler à o le coefficient de y dans l'équation résultante.

Il vient, par cette substitution , b s=s — , et

aM tu^ 1 4MF — R*

d'où l'on déduit

489 WbiKSFOBMATlOK

Soit prU sur AT*, AD sa — — -, et menons par le point D

la ligne DE parallèle a Aï\ Portons ensuite, à partir du point D , deux parties DB , DB*, égales a,ux valeurs de y , et traçons les parallèles BC, BTC à DE ou AX'; ces droites ne seront autre chose que les deux parallèles demandées , lesquelles seront alors rapportées au système des axes DY', DX". Or , il est clair que si, par un point Af pris arbitrairement sur DE, l'on mène A*Y" parallèle à DIT, on pourra prendre également A'X*, AT' pour nouveau système d'axes, par rapport auquel l'équation est encore de la forme

Mais ce qu'il y a de plus remarquable, dans le cas dont nous, nous occupons actuellement, c'est que le système des deux transformations employées n*a375 et 3<j6, lui est aussi applicable.

D'abord, si l'on emploie les formules du n° 3r]S>

aAE — BD , aCD — BE

a sas ■■ , . -, 6 —

— 4AC1 B* — 4AC* on trouve pour a, fr, des valeurs de la forme -; cela est évident pour a, d'après les deux équations de condition

Bg — 4AC = o , BD — *4E = o ; et si l'on multiplie la première par D, la deuxième par B, et qu'on les retranche l'une

de l'autre, il vient B*D — 4ACD— BtD+4ABE = o, d'où

o r-aCD -f* BE = o •, ce qui prouve que b est aussi de la forme ~.

Ces résultats s'accordent avec la nature du lieu géométrique *, car soit A' (JLg. 210,) un point pris à volonté sur la ligne DE menée à égale distance des deux parallèles BC , B'C, et menons par Ar une droite quelconque GG', on a toujours A G'=A'G,

PAR RAPPORT ATTX VAMSTÉS. ' 4%

quelles que soient la direction de cette droite et la position du point À' sur DE. Donc tout point de la ligne DE peut (n° 23o) être considéré comme un centre.

Ces mêmes résultats indiquent ( Alg.' n° 73) que les deux équations de condition qui ont servi à déterminer a et ^ rentrent l'une dans l'autre ; et si l'on veut fixer la position de l'un des points qu'on peut prendre pour centre^ ou pour nouvelle origine, il faut donner à a, par exemple,, upe valeur arbitraire, et déterminer, d'après l'équation de condition unique» la valeur correspondante de b. On obtient ainsi un nouveau système d'axes parallèles aux premiers^ et par rapport auxquels l'équation est ramenée à la forme

Faisant ensuite évanouir le terme en xy d'après les formules du n° 376, on reconnaît que la disparition de ce terme fait en même temps disparaître le terme en x% ouen/, suivant que B est négatif oxx positif

Soit , pour exemple , l'équation

y* — zxy +x*+ Hy — 2JP — 3=0,

formée par la multiplication des .deux facteurs y — * — 1 ,

et y — x + 3.

Premier système de transformations, au moyen des formules

2 • (n° 379). On trouve d'abord , tang 2* = + - , M = 2 , H = o ,

R = 2|/2, S = oj et l'on obtient pour première transformée y 2y*+2l/2.Jf — 3 = 0.

Les deux nouveaux axes AX/, A Y' (Jig. 210) font avec AX, des angles de 5o° et 1S00.

Posant ensuite dans cette transformée , y z=±y -+- b , et déterminant b de manière que le terme en y disparaisse, on

obtient %b -f- 2^/2=0; d'où b = i/2, et 2^* — 4==0»

pu y = dt |/2.

49* DinUMltfATION DBS asymptotes

Prenons sur Aï* une distance AD égale à — - \/z, et à partir

du point D, portons deux distances DB, DB' égales à \/z ; puis menons DE, BC, B'C parallèles a AX'; les droites BC, B'C' sont les droites demandées et rapportées & un nouveau système d'axes , dont l'un A'X* a une position 'déterminée , et l'autre A' Y* a une position arbitraire.

Deuxième système de transformations , d'après les formules des n" 375 et 376.

Posant d'abord dans l'équation ^*— 2Xy+x%-\-2y—2x— 3=o, y==y-f£ , x ss x+a , et égalant a o les coefficient de y et de jp, on trouve 26 — aa + a = o , — 2 + 2a~""2^=0> équations qui se réduisent l'une et l'autre à ft — a + * -0*

Soit pris, par exemple, a= a, il en résulte b = 1 j ce qui donne, pour la valeur correspondante de F',

F' = M — 2a£ -h a* + ai — *a -- 3 = — 4 , et pour première transformée, ^ y* — ajpy + x* — 4 = °*

Fîg.au. Les deux droites A'X', A'Y' (fig. ai 1) menées parallèlement à AX , AY, par le point A', pour lequel on a a = a, 6 = 1 , représentent d'ailleurs le second système d'axes.

On obtient ensuite tang a* = -f--, M=a, N=oj ce qui

donne pour dernière transformée, a^*— 4=o,oujrc=tdz |/a, comme ci-dessus.

Le troisième système d'axes est A'X* , AT*.

38 1. Pour ne rien laisser à désirer sur les applications des formules de la transformation des coordonnées, à l'équation du - second degré , nous allons indiquer le moyen de passer de l'équation d'une hyperbole rapportée à des axes rectangulaires quelconques, à l'équation de cette courbe rapportée à ses asymptotes.

Pour y parvenir, nous supposerons d'abord que la courbe soit (n°375) rapportée à son centre comme origine j en aorte

PAR LA TflANS*OI\MÀ'HON' DES COOHDONN&S. 4*)1

que soir équation soit ramenée à la ferme

A/ + Bxy + Ci:9+F/==o.... (i)

Cela posé , pour que le nouveau système dPaxes soit celai dés

deux asymptotes , il faut (n° 322) que F équation ne renferme

que le rectangle des tariabîes et une quantité toute connue.

On doit donc substituer dans l'équation (i) les1 formules

* x — x cos « -\-y cos *', y = iJtfin « + y ski ël

[au moyen desquelles (n° 219) on passe d'un système rectangulaire à un système oblique] , puis déterminer « , * de manière que les termes en f et en x* disparaissent.

En effectuant cette substitution , et égalant à o les coefficiens de j* et de x*, or trouve les résultats saivans :

A sin* » + B sin • cos «'+ C cos* m ass o , . . .J (a)

A sin* * -f- B sin m cos m -f» C cos* « == o , (3)

K==2Asin#sin«^-B(sin*cos*^~sin*'cos*)+2Ccos*œs«'; (4)

ce qui donne la transformée Kxy -f- f* = o.

Afin de déterminer l'angle m, divisons les deux membres de (3) par cos* « ; il vient

tang*« -f* - tang •-J* r=5o;.... (5)

d'où l'on déduit tang « = — ^ ±. -ï- l/B» — 4AC.