J B« — 4AC

L« formules pour effectuer la double tranfbrmation sont B» — 4AC» B*~4AC' *— F+ — i — ; sA '

*AR LA TKANSffOJUf ATION DES OOORDQNnIeS. ffâ&

Soit, pour exemple , Péquation

jr* -f- 2jcy — 2xa — 4y — ^ + *o := o^

xléjà traitée n° 377*

On a d'abord trouvé pour a, 4 , F',

fl==-, 0=-, F=:-f :

-ce qui a diurne pour première transformée ,

^ -f" TJCy — 2X* ■+• -j- =; O.

On obtient ensuite tang« = — 1 +1/3, tang« =-ri — i/3, K = —

Vi3' •et pour deuxième transformée , xy = -^l/rô-

Ce résultat peut être facilement vérifié ; en effet , A et B désignant les demi-axes d'une hyperbole , on a (n° 322)

Aa + B*

mais Çp° 377)

donc èl+i!! = ^v/I3.

§ III. Détermination dune section conique daprès certaines conditions. Propriétés communes aux trois courbes.

382. On peut, comme pour la ligne droite et le cercle (n°* i4j, 190) , rechercher des sections coniques qui remplissent «lès conditions données*; dans ce' cas, les coefficiens de leurs

494 DÉmKIftàTIOft 1>'UNB MCTCOH COHfQVB

équations doivent être regardés comme des conttanUê it terminées, dont les valeurs dépendent dés conditions imposées à la courbe.

Or , en reprenant l'équation générale des courbes du second degré, et divisant tous ses termes par le coefficient de y%, on la ramène à la forme

y* +axp+ba? + ep + dx+e = o. ... (i)

Comme cette nouvelle équation ne renferme que cinq ooefl£ciens a, b, cf d, e, il s'ensuit qu'on peut, en général, faire remplir cinq conditions différentes à la courbe ; et ces conditions , exprimées analytiquement , serrent à déterminer les quantités a, b}cfd9e.

Soit proposé , p«r exemple , de faire passer une notion conique par cinq points. Appelons (a/, j/), (a*, yM), (x", j*), (x", y) , (<rf , yv) les coordonnées de ces points. En substituant successivement dans l'équation (i) chacun de ces cinq systèmes, on obtiendra autant d'équations du premier degré en a, &, c, d, e, qui, étant résolues, donneront les valeurs 4e ces cœfficiens; et en reportant ces valeurs dans l'équation (i), on aura celle de la section conique individuelle, assujettie à passer par les cinq points donnés. Cette courbe sera d'ailleurs une ellipse, une hyperbole ou une parabole,, suivant que Ton aura (n° 356) entre les coefficieps i , a, b , des trois premiers termes ,

a1— 4*<°» flg — 4*>°, a* — 4* = 0-

Il pourra même se faire que la courbe se réduise à l'une des variétés; c'est ce qui arriverait, par exemple, dans le cas où, sûr les cinq points , on en donnerait trois en ligne droite. Gomme use courbe du second degré ne peut (n° ig6) avoir que deux points au plus communs avec une droite , il stensftît que l'équation du lieu géométrique passant par les cinq points, ne saurait appartenir qu'à une droite, ou à un système .de <*fcux droites.

On observera .encore que, si la courbe cherchée doit être uns)

D'APRES CERTAINES DOKHiBS. 49^

parabole , quatre pointa suffisent pour la déterminer; car on a déjà entre les coeffieieng de l'équation ta relation particulière

Toutefois, comme cette équation est dm second degré, tandis que les autres sont du premier degré , on devra généralement obtenir deux paraboles pour réponse k la question.

383. Au lieu de donner cinq points de la courbe , on peut supposer connues de position des droites auxqueUes la courbe soit assujettie à être tangente.

Si, par exemple, on veut que là courbe soit tangente à une droite y^mx + n,m*tn étant des quantités connues , il suffit de combiner cette équation avec l'équation (i), et, après avoir formé une équation du second degré-en *, d'écrire (n°* ig4> 197) que les deux racines de cette équation sont égales. On obtient ainsi une première relation entre les indéterminées a,b,cyd>e et les quantités connues my n.

Même raisonnement peur une seconde , une troisième. . . . droite à laquelle la courbe devrait être tangente.

SU s'agit d'une hyperbole, la connaissante d'une asymptote équivaut « celle d'une tangente et de son point de contact, puisque (n° 291) les asymptotes sont des tangentes à l'infini. Ainsi, il suffit de trois autres Conditions pour déterminer la courbe.

384. Si la courbe doit avoir un centre, et que l'on donne la position de ce point , trois autres conditions sont -encore suffisantes pour la détermination de la courbe.

EnJ effet, comme rien n'empêche de prendre ce point pour origine, l'équation est alors (n° fyS) de la forme

y* + axy + bx% +f— o,

et ne renferme que troiVcoefficiens à déterminer; ainsi la connaissance du centre équivaut à deux conditions différentes. Il est vrai que , dans ce cas, la courbe ne peut être qu'une ellipse ou «ne hyperbole, ou (u° 38o) un système de deux -droites parallèles.

4g6 d£tbbiiinatiom d'une section conique

385. Lorsqu'on donne de position le système des axes, on un système de diamètres conjugués, deux autres conditions suffisent pour déterminer leur grandeur, et , par conséquent, la courbe elle-même : car en rapportant la courbe à ce système» on * l'équafiotr À*y ±: B V = ± **V\ dans laquelle A7 et B' sont les seules constantes a déterminer.

Quant à la parabole., connaissant de position le système des axes, ou un système d'axes conjugués , il suffit d'une autre condition pour* dÈeruftwer^'lâ 'courbé, puisque dans l'équation ^•«a sp'x, Ï4i'y,u.Guej>' à déterranser.

386. Mous fog^fS-nflaifre * ce sujet un moyen beaucoup plus simple que cefr* qui * ,ét*;esBtt*é { n" 3*4 et 34o ) , pour construire la courbe % rQUTMtfrtfluft un tywtème a? axes àonjuguès, et le paramètre à ce système* s'il s'agit d'une parabole , ou un système de diamètres conjugués, s'il s'agit d'une ellipse ou d'une hyperbole* *. i >

Fig.au. Considérons d'abord une parabole» Soient AX, AY (fig. ai a) un système d'axes conjugués, ap' le paramètre à ce système. Prenons sur Aï 4fc ,uur4eaapue du point A une distance AD égale à ap', et menons par le point D une droite DL parallèle à AX. Tirohs'enfin par le point A une droite quelconque AH.

Les équations de la parabole , de -la droite AH et de la parallèle DL, sont y = ap'xf y = as, y = — ap'.

Or, la combinaison dat deux dernières équations donne, pour les coordonnées du point E ou la droite AH rencontre

la ligne DL, y ^-^- ap', « sa ~ 21 .

D'un autre côté , en combinant la première et la seconde équations, on. trouve pour les coordonnées des points d'in-

ap ap

tersection A et M , i0.*=ro, v = o, a°. *=-—. y =— ;

" Qr CL

d'ofi l'on voit que les distances DE et MP ou AG sont égales.

Cette propriété est vraie pour toutes les droites menées par le point A.

Cela posé, pour construire la courbe , prenez sur AY et au-

]>9APRi8 CERTAWES DONttisS. 4^7

dessous du point \, AD ss a// * et ment* DL parallèle à AX. 7Ï/V2 ensuite des droites indéfinies AH> AH';... portez les distances DE., ï)£r ... ûfe A wG^ G'., . . . et par ces derniers points* tracez GK., G'K! ... parallèles à AX. £jea points M, M'.~ où les droites AH et GK, AH' et G'K' se rencontrent , appartiennent nécessairement à la courbe.

Passons maintenant à l'ellipse. Soient OB==A/,OC==BX/%r.a 1 3) Kg* 3 1 3. deux demi-diamètres conjugués, A Y la tanfiffntfl au point A, .

aB'* DL une parallèle à AX, menée à une distance AT) = -ry

(c'est le paramètre au système donné). Tirons d'ailleurs deux

cordes supplémentaires quelconques AM 9 BM.

Les équations de ces deux droites et de la parallèle DL, sont

aB'* jrz=:ax, ^ = a'(x — aA'), ^ = — -~ ; les quantités a, a'

étant ^ comme on le sait, liées entre elles par la relation B'a

Or, la combinaison de la première -et de la troisième cqua-

aB'* tions donne pour les coordonnées du point E, y = — — r 9

aB"

D'un autre côté» si l'on fait jc=o dans la seconde équation y il Tient pour l'ordonnée du point G où la droite BM rencontre

AY y=— aAV,

B'* aB,ft

ou , à cause de la relation aa* =s •— •?* ...... y = -tt- ;

donc AG = DE. .

(Il est à remarquer que cette propriété renferme implicitement celle de la parabole, puisque, si Ton suppose le grand axe infini, la droite BM devient une parallèle a AX.)

D'après cela, pour construire une ellipse, connaissant un système de diamètres conjugués et l'angle qu'ils font entre eux , menez par l'une des extrémités A du diamètre AB., une

4g8 nèrEBJMNÀTKW d'tob section cokiqus

parallèle à Vautre; prenez sur cette ligne AT et au-dessous du

point Aj une distance AD égale à -rr* Tirez ensuite des lignes

indéfinies AH:., AH* • .'. . ; partez les distances DE., DE'. . . . ., de A en G j G'..».., et Joignez ces derniers points avec le point B; les pointa M, M'..,, ou les droites. AH et BG, AH' et BC . . « . se rencontrent, appartiennent nécessairement à la courbe* Blême construction pour l'hyperbole.

S87. Voici une nouvelle propriété, commune aux trois courbes du second degré, qui peut servir à leur construction dans certaines circonstances. Elle est relative aux fojers et à la directrice. (PbyezrP* 24 7 e* 248.) Fia. ni* Soient MNAM'. • . (jpg. 214) une courbe du second degré, LL' la directrice qu'on suppose donnée déposition (n* ^B)f F l'un des foyers. Considérons deux points M, N de la courbe, et tirons les droites MN , FM, FN, en prolongeant MN jusqu'à % sa rencontre en H avec la directrice, puis joignons FR.

Je dis que la droite FR divise en deux parties égales l'angle RFm formé par fe rayon vecteur FN et U prolongement Fm de Vautre rayon vecteur FM.

En effet, menons du point N la droite MI parallèle à FM, et abaissons les perpendiculaires M-P , NQ , sur la directrice. On a, d'après la propriété caractéristique de la directrice (n° 247)1

mf:Mp::nf:NQ, ou mF:nf::mp:nq; (i)

mais les triangles semblables RPM, RQN et RFM, EUX, donnent MP : NQ :: RM : RN,

rm : rn :: mf : ni-, d'où mp : nq :: MF : ni5... (2)

donc, a cause du rapport commun aux proportions (i) et (2), MF : NF :: MF : NI; et par conséquent, NF = NI.

Le triangle NIF étant isoscèle, il s'ensuit que les angles N Fi et N1F ou IFro sont égaux. C.Q.F.D.

O APftSS CBUtAlNES DOgNàfi* 4^9

- 388. Cette propriété fojrt curieuse en elle-même* prouve d'ailleurs qu'un* section conique est déterminée j lorsque on tienne un foyer et trois pointe dé la courbe; en sorte que la connaissance de l'uo des foyers équivaut ta deux condition*

différentes*

Eu effet, soient M, N, P [fig- ai4) trois points donnés, par Fig.aik lesquels on veut faire passçr une section, conique, et F l'un des foyers de cette courbe. >'

1°. «Si Von tire les £çfB**.MN,' JFJf » 'Mf, H qu'on divise l'angle NFm en deux parties égales j \ç point R où les deux droites MN, FR se rencontrent, est nécessairement un premier point de la directrice.

- a°. En exécutant une construction analogue par rapport aux trois points Nj P>Fom M> P., F., on détermine un second point S de cette directrice , qui est alors RS.

Maintenant, si du point F on abaisse FB perpendiculaire sur RS, on a la direction du premier aise. Menant ensuite de l'un des points donnés, N par exemple, MQ perpendiculaire à RS, on obtient MF : NQ, pour le rapport constant qui doit exister entre la distança d'un point quelconque de la courbe au foyer, et sa distance à la directrice. Dks lors, on peut facilement (n* 348) déterminer les grandeurs 4e&axea» *

Suivant que le rapport NE* • NQ est reconnu plus petit* plus grand ou égal à l'unité, la courbe est f comme on l'a tu (n* 2*47), une ellipse, une hyperbole oiyme parabole. Dans la Dgure ai 5, la courbe est une parabole, puisque l'on a évidemment NF = NQ.

389. N. B. Lorsqu'on exige d'avance qtie la coufbe soit une parabole* il suffit de donner deux points de la courbe avec ie foyer; et, dans ce cas, voici comment on détermine la directrice s

Soient M et N (Jlg. 216) les deux points donnés, F le foyer. Fig.snG* Après avoir déterminé le point R, comme dans la construction précédente, on décrit de l'un des points donnés > M par exemple, comme centre* avec le rayon MF., une circonférence; puis du