DETERMINATION D'UNE SECTION COMIQUE

point R, on mène une tangente RT à cette circonférence , et cette tangente n'est antre chose que la directrice demandée; car il résulte nécessairement de la définition de la parabole, que sa directrice est tangente à tontes les circonférences décrites des différons points de la courbe comme centres, et avec des rayons égaux aux rayons Testeurs correspondans.

Puisque par le point R 'on peut, en général, mener deux tangentes à là circonférence, il s'ensuit qu'on obtient par oe moyen deux directrices, et £ar* conséquent ,. deux paraboles; l'une est IVfANM , qui a pour directrice RT, et pour premier axe IX; l'autre est nNaMm', dont la directrice est RT, et le premier axe , B'X'. '

La question n'aurait .qu'une solution, si la circonférence passait par le point R.

Enfin, il n'y aurait aucune solution, si le point R était intérieur à la circonférence.

390. I^délOTnmatwad*uitt6<£tiotf^n^ conditions, est, en. général, un problème assez difficile à résoudre par l'analysera cause de l'embairra& qu'on éprouve souvent dans le choix des a*es> Aussi , s'e&t-on attaché principalement à en rechercher des solutions parement géométriques, en se fondant toutefois sur les propriétés connues des trois courbes. Les questions suivantes ont pour objet de donner une idée de ces sortes de constructions. '

Premiers question; Trois droiUê et un point étant donnée sur un plan, trouver une courbe du second degré tangente à ces trois droites > et qui ait pour foyer le point donné* Fig.317. Soient Mm, N», Vp {fig. 317) les droites données, et F le foyer de la courbe cherchée. On a vu (n° 297) que, dans l'ellipse et l'hyperbole, les pieds des perpendiculaires abaissées d'un foyer sur les tangentes, sont situés sur la circonférence de cercle décrite sur le premier axe comme diamètre , et (n° 338) que, dans là parabole, ces même pieds se trouvent sur le second axe.

Cela pose, abaissez du point F les trois perpendiculaires

d'apbès cjkatatn*s donnée*. 5oi

FG, Fil, FKj il peut arriver deux^çp*.; pu Jes trat« point* G, H et K forment };iia tçian^le,, ou. J>jeo, ils, sont en ligne droite. t ^ ,. , ,| r , • , , ,.; ; * , .

Dans le premier cas, iviffit* ces points deux à deux, pois élevez > par les milieu^, des flgj^ê\s 4^ jonction ^.çles perpendiculaires; elles se rencontrent^ ^un,. .poîn^ Of qpi. est le csntu de la courbe» Tires ensuite OF;, et prsne* sur wU# droite deux parties OB> OA égalée, & QO\ *ous obtepç* AJB pour le premier axe; et la courbe. e*t une .ellipse ou. nue hyperbole, suivant que le point B se trouve placé sur Je prolongement de OF, ou entre les points O et F.

Dans la figure 217, la courbe est une, ellipse; et le second axe CD s'obtient (n° 23 1) en décrivant du point F commecentre t et avec le rayon OB , un arc de cercle. -

Si la courbe était une hyperbole, le centre de l'arc de cercle serait en B (n° 235) , et OF serait le rayon de Parc.

Dans le second cas, c'est-à-dire lorsque les trois points G, HjK (Jig. a 18) sont en ligne droite j cette ligne KHGY repré- Fig.?i8. sente le second axe de la courbe, qui est alors une parabole; et pour avoir le premier axe, il suffît H abaisser FX perpeneU* culaire sur KY,' Le quadruple de AF représente d'ailleurs le paramètre; ainsi la courbe peut être construite facilement. ;

N. B. Lorsqu'on sait d'avance que la. courbe cherchée doit être une parabole , il suffît de connaître deux tangentes et le foyer j puisque le second axe est déterminé par les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur ces tangentes; et, en effet, nous savons déjà que quatre conditions suffisent pour la parabole; or la connaissance du foyer compte (n° 388) pour deux conditions*

Seconds ojdssmon. .On demande as construire une ellipse j connaissant le centre,, la longueur de son grand axes une tan? gente et son point de contact*

Soient O (Jig* 219) le centre donné, A le demi «axe de la Fig.119. courbe, T* la tangente et M son point de contact*

Du point O comme centre, et avec A pour rayon , décrivez une circonférence de cercle qui coupe généralement T* en deux

5oa DBTERKINATION D*0NE SECTION CONIQUE

pointé R^Ry puis éfevez qux points Rv R'., /es perpendiculaires US, R'S'j à cette tangente £ elles fassent nécessairement (n° 297) par les foyers de la courbe.

Tire* ensuite idl tigHè- OR., et par le point de contact M> trace* MN parallèle <y QR/ il résulte de la propriété démontrée (nQ 299)1 <IBe ^N passe aussi par le second foyer* Donc le point F* où R'S' et MN se rencontrent, n'est autre chose que le second foyer.

Menez enfin la ligne FO qui rencontre RS en un point FA et tous obtene* ainsi Je premier foyer.

Les points A, B où FF rencontre la circonférence déjà décrite , sont d'ailleurs les sommets de té courbe, qui est alors complètement déterminée.

N. B. Si le point de contact était placé aar la tangente Tt, en un point M' tel, que la droite ln"N' parallèle à OR, rencontrât R'S' au point f situé hors de la circonférence décrite sur A, la courbe, au lieu d'être une ellipse 1 serait une hyperbole dont le premier axé aurait pour direction /"O, et ^x>ur sommets a, b. Les foyers seraient les points if j/'©ù la ligne fO rencontre R'S' et RS prolongés*

On voit donc que, bien qu'on ait demandé uoae ellipse, H peut arriver que la courbe soit une hyperbole.

Taoistème question. Construire une hyperbole , connaissant tua des foyers, une asymptote \st lo\ longueur du premier axe, ou le rapport des axes* Fig. i9o« Soient F {fig. aao) le foyer donné , LL' l'une des asymptotes , et A la longueur du premier axe, ou m le rapport B : A.

Abaissez du point F une perpendiculaire sur LL'; le pied R de cette perpendiculaire est à une distance du centre de la courbe, égale à A (n° 297) , puisque LL' peut être considérée comme une tangente.

Ainsi, en supposant que A> soit connu, prenez à partir du point R sur LL'., une distance RO égale à A; et le point O est le centre de la courbe.

Menez OF., vous obtenes la direction du premier axe ; portez OH de O en A et B , puis OF de O en F, vous avez les

J>AWàs CERTAINS* DOHBEES. 5o3

deux sommets de la courbe, ainsi que les deux foyers. Trace* enfin KR', de manière que l'angle FOK soit égald l'angle LOF; tous obtenez la seconde asymptote.

N. B. Lorsqu'au lieu de A, on donne le rapport, *»> -ou /

la tangente trigonométrique de l'angle FÔK. est comme •, ainsi 9 la direction de la ligne FO peut être facilement déterminée. Quant aux grandeurs des demi-axes, elles sontf évidemment représentées par OR et RF.

On a d'abord OR = À, comme 'on l'a tu tout a l'heure;, et

BF = B, d'après la relation OF =c = j/Aft -+-,5*,. qui donne

— — * nécessairement B'^sc" — À"=R,F. „ %

QcrATRièMB question. Étant donnés une asymptote 3 deux points et le rapport des axes d'une hyperbole ^ construire la courbe.

Soient LL', M, M' (fîg. Mb*) Fasymptote etkq deux points Fig.asr.

B donnés; n* le rapport -j que l'on suppose connu.

Joigne* les points M et M' j puis à partir du point M'., prenez une distance M'R' égale à MR y le point R' appartient à la seconde asymptote (nQ 3^5);

B Comme le rapport -y, ou m , est donné, faites en un point

quelconque I de LL'., un angle LKxthnt ia tangente soit égale à m, puis un angle HIL double de LIG» Tracez enfin par le point R' la droite KR* parallèle à IH, et vous avez ainsi la seconde asymptote.

La courbe peut donc être tracée facilement d'après la méthode du n° 3a6.

iV. B. Si au lieu du rapport des aies, on donnait la position d'un troisième point, en joignant oe point avec l'un des deux points déjà donnés, on obtiendrait un nouveau point de la seconde asymptote, dont la direction serait alors déterminée.

Voici les énoncés de nouvelles questions sur lesquelles on peut s'exercer..

6?4 •' 'BBngKdnéB'GèKhkàixa •

*?. CoMérwttuneifpàrtAoJe*,, ôoniuxwant le foyer, un point et une > tangente* }■> tyupi.ooi ^t\ > . <

3°. C*nltad$r*-ftaè) jlUpees^ Immabmut deux tangente*, le% centre y.t Jâ) iert£iïexù> cberptémier awi (la courbe peut être une hyperbole).-' ^ ••«.»!» iiulH.'m . 1

3°. Gefwémàremite Jwypedmie, aonembeont une asymptote, un foyer et une tangente.

3gi. Nous terminerons ces considérations, i°. par la démonstration d'qne. proprj&érqni ajlpartieat atix trois courbes du second degré, et dont les, géomètres ont tiré parti, pour construire des sections coniques- d'après certaines données; 2°. par la recherche de l'équation de la tangente à une courbe du second degré, rapportée à uri système d'axes quelconques

Fig.ra. {fîg- aaa).

Reprenons Fequatîo» i j

y* + axy + bx* + cy + dx + e = çr,...m (i)

que nous supposons représenter nnq des trois courbes, rapportée à un système rectangulaire ou oblique,, AX, A Y. Cette équation peut être mise sous la forme

y% + (ax + c) y + b (a* + ^ x + |j = <>;. . •• (2)

soit fait d'abord y = o, pour obtenir les points où la courbe * rencontre l'axe des x\ il en résulte

b(x' + ïx + ?)=o, (3)

équation dont les racines ne sont autre chose que les abscisses des points demandés.

Si ces racines sont imaginaires , c'est un indice que la courbe n'a aucun point commun avec l'axe des x; et si elles sont égales, la courbe est tangente à cet axe.

Mais admettons qu'elles soient réelles et inégales, et désignons par xf 9 x8 ces deux racines.

ri fi

Le trinôme x^+t^+t revient ( Alg.,n°98) à (x— x') (x— x")-

DBS TfiOl* COVBSSS Dtf> 3B0VMD DHMti. 5oS

Pour exprimer ce produit géùm^tr^pwneirt^qbscrfOu< que AP représentant une abscisse quelconque, et À&fJkG les sdbscissesx', x', on a nécessai*ew**i Ç&r^àt ) («w-jr^xaPBXPC . . .

D'un autre côté, le deroier^t/Mfn^ de Ifapiation (3), on b (x — - x) {x — ar"), est égal au produit des deux 'racines tfe cette équation réeolaë^er rapftot*vÀy{A t*fleswnis)e»*stont'' représentées par PM et Pto. -»\- r ^

On a donc la relation

PM X P« = b (x — a^) (* — ■**) ya « X PB X PC;

j> ^ i» jjtj •* **M X P"* , "

d ou ton déduit "Fr' * ±p »^.i.

Pour d'autres abscisses AP', AP* . f - . ,^ on aurait égalesae&t

PW X Vm! PTX PW* ,

P'B x FC = ' "PyB"xP*€r ^ *""••

et par conséquent, • A J- ' ~ y ' +

pm x Pw pw x pv " p|r-x,pfm;

PB X PC — P'B xP'C ~ P'B X P'C ~

Ce qui démontre que , dans toute courbe du second degré, si l'on considère une sécante-qufclconqaé- AX , pfcis'une série d'autres sécantes parallèles' entre elles et menées sous une direction tout-û-fait arbitraire , les rectangles des parties' d* ces parallèles j comprises entre leurs poiàts ck rencontre avec la première sécante et leurs points d'intersection avec la courbe , sont aux rectangles des parties de la première sécante , comprises entre les pieds des parallèles et les points où cette sécante rencontre la courbe, dans un rapport constant.

Il est aisé de reconnaître que cette propriété comprend implicitement celles qui ont été démontrées dans le cinquième chapitre (q0* 276 et 373).

En effet , si , la première sécante étant un diamètre quelconque, les- autres sécantes sont parallèles an conjugué de ce diamètre, il en résulte PM =Pire, P'M'=PW, etc., et la relay tion ci-dessus devient

6*6 AçoAtiat* oêkéralb db la tanosrte

PB XPCS EfB X rC •e=B P*B X P"C **

On fait usage de ettte propriété, fovw faire passer une

cette oomatopctiç^^i^^^nfra^ieraienjb beaucoup .trop loin.

Nous renvoyons , pour ces sortes de constructions, au Traité des sections coniqufe+par.U marquis de IiHfaiRAi*

39a. Pour obtenir l'équation de la tangente en un point donné d'une : courbe du second degré, nous emploierons la méthode du n° 198.

Soient x'f y et x", y* les coordonnées de deux points de la courbe , dont l'un (x*7 y") doit devenir un point de contact.

L'équation de la courbe étant généralement

y* + zaxy + bx*i + açy -+- zdx + e = o,f ... (1)

( nous Terrons bientôt pourquoi Ton met eu évidence le fao* teur a dans les ternies en xy, ye\x°), la sécante est exprimée analjtiquement par le système des trois équations

/■ + a*<y' + bx" + *c/ + aaW -fc « == o, . .. (3) /• + ao*y+ hx"* + açy* + aoV + 4 se o (4)

Cherchons, au moyen des deux dernières équations; la valeur

y' *yw

du coefficient *j — ^L-.m

Or, en soustrayant les équations (S) et (4) Pane de Fautre, on a

y— y+2a(«y— v^o+k^— x^+acCr'— />

+ ai(j/ — x*) = o; ou, observant que

(/— y ) [/ + / + W + ac] * + <«• - *«) [aa/ +*(*'+*•) +arf] / -°'

A UNE COURBÎ W 'SfeCÔtfb ' Vt.tiil t. ' * '5o"J

d'où Ton déduit • '• :

Si l'on portait cette valeur dans Péqtasètftm (s) , on tibtiendraît Inéquation de la sécante, en yr^tariteànt toutefois Pôquation (3).

Mais pour parvenir sur-le-champ à l'équation de la tangente, il suffit de poser dans le résultat (5) *'=*=.*% «y'» y, et 4« faire ensuite la substitution dans l'équation (a). Il Tient donc pour l'équation demandée ,

équation qui ne représente la tangente qu'autant que l'on Considère en même "temps la' relation* (4), an moyen de laquelle on peut d'ailleurs la simplifier. .

En effet , si l'on chasse le dénominateur , et qu'on observe que de l'équation (4) on déduit ' <

y*4-aoar*y + ft^tss* -~ acy* — ad*' — «,

il -vient, tonte rédaction faite,

résultat qu'on obtient facilement à l'aide de l'équation (1), en changeant l°.y* + bx% en y y' •+■ bxx* (voy e z n° 1 99) ;

a°. laxy on axy + axy y en «jfy -4-<My f 3°* açjr ou cy+çy, ency-f <y ^ 4°. enfin, ùdx en <&f +.IL»'. .

Si la courbe est rapportée à nn système d'axes dont l'un «oit nn diamètre et Fautre la tangente menée à l'extrémité de ce diamètre , l'équation de la courbe est alors (n° 246) de

la forme y% = zpx + qx*.

Dans ce cas, on aa = o,4=— ^, esso, <J=— j&, a=&o; et r équation de la tangente derient

yy'^pix + x'ï + qxx'.... (8)

On retrouverait de la même manière les équations corres-

So8 cowstKvction des Equations

pondantes aux :autre's'ïofmes sous lesquelles on a considéré les équations des différentes cburjies.

Dans les applications, on a souvent besoin de rappeler l'équation deia ta&gcntè,,soïis la forme (8).

§ IV. AppUèàtiSks de ta ihéorie des courbes du

......; .î!!f, /„ jeçowt degré.

Construction *des équations dû troisième et du quatrième degré

à une inconnue.

393. Nous avons tu (chap. 1", n° 17 ) que, sans qu'il soit d'abord nécessaire clé résoudre une équation du second degré à une seule inconnue, on peut, par les intersections de la droite et du cercle , évaluer en lignes les racines de cette équation. Nous allons faire voir maintenant que celles des équations du troisième et du quatrième degré peuvent être également construites au moyen des intersections de deux sections coniques.

Le principe fondamental de ces sortes de constructions consiste à regarder l'équation proposée comme le résultat de l'élimination entre deux équations 4 deux ' inconnues , dont l'une ; supposée l'inconnue primitive , est prise pour abscisse, et Vautre pour ordonnée. £n construisant successivement , et sur les mêmes aies , les lieux géométriques de ces équations (n° 181), on reconnaît que les courbes se rencontrent en un ou plusieurs points dont les abscisses représentent, en lignes* les racines réelles de l'équation proposée.

Développons ce principe sur l'cqjua^ion du quatrième degré,

** ■+■ p*3 + Qx% .■+» r* +'$ = o. • . .. (1)

Posons dans cette équation. ... x% = ky. . . . (2)

(it est une quantité tout-àrfait arbitraire, mais constante) ;

elle devient. . . ♦ t tiïy* •+• pk*y, + qty + rx + s = o. . . (3)

Cela posé, comme l'équation (1) résulte évidemment de

DU TROISIEME £T BU QUATRIÈME DEGRÉ. 5of)

l'élimination de y entre (a) et (3) , il s'ensuit* T qu'elle renferme toutes les valeurs de x , propres à véritier (a^) €t( ,(3), en même temps que certaines valeurs de y \ donc sj^ga^un, moyen quelconque, on peut obtenir les systèmes de. valeurs, <}e x et de y communs aux équations (2) et (3) > en ne tenant compte que de celles de *, on aura les racines cje l'équation/ 1^ ^

Or, l'équation (a) étant construite par rapport à des axes rectangulaires , représente -une parabole dont le premier axe est dirigé suivant l'axe des y ; l'origine est d'ailleurs le sommet même de la courbe.

De même , l'équation (3) étant construite sur les mêmes axes, a pour lieu géométrique unç .hyperbole (n° 371), dont l'une des asymptotes est parallèle à l'axe des x.

Ces deux courbes se coupent généralement en quatre points (puisque l'équation finale (1) est du, quatrième degré), dont les coordonnées jouissent exclusivement 6Je fa propriété de satisfaire en même, temps à leurs équation*. 4Ja$i les abscisses de ces points sont les racines de l'équation (/,).. u .

N. B. Le nombre des racines réelles de cette équation est égal au nombre des points d'intex-sebtîofl** '

3g4- On peut, par quelques artifices tic calcul, remplacer les équations qui ont d'abord été établies, par d'autres plus faciles à construire. Ainsi, par exemple, il est toujours possible de substituer à l'équation (3) qui est la plus compliquée, celle d'une circonférence de cercle. Il suffît, pour cela , de supposer que l'équation (0 soit privée clu second terme; et l'on sait que cette transformation est exécutable pour toutes les équations» ' '

Reprenons en effet l'équation du quatrième degré, privée

de second terme. . ** •+» qx* -f- rx + s ^= o, , . . . (1)

et posons. ...... ' . 's* = ky^ .... (a)

il en résulte ty+qky +rx-£ s±zo: . .. (3)

On remarquera d'abord que , par cette première transformation , les lieux' géométriques à construire sont deux para-

t 5lO ,,C0Jj£rançiaOH (>SS iliV*Tifi>M

bobs, dont la seconde (n°37Ô^ a ses axes principaux parai* lèles aux axes coordonnés. On déterminerait facilement le sommet 9 en faisant disparaître le terme en y% ei fi yiMlitfi toute connue. Mais si Ton divise cette équation par £* et qu'on l'ajoute avec, (^il^vîeiU -

équation qui peut remplacer l'équation (3), et qui a pour Ken géométrique, une circonférence de cercle qu'on pourra construire d'âpre la méthode indiquée (n° *77).

En outre, comme la quantité k est arbitraire, rien n'empêche de supposer k mx y*^ d'où q — *•= o; ce qui fait disparaître le terme en y dans l'équation (4) \ auquel cas* le centre du cercle se' trouve placé sur l'axe des s.

3g5* Considérons actuellement l'équation du troisième degré*

** + pjr* -f- qx + r = o.

En posant ^•■sftj', on la change en

tey "i'P^y + 9X + r ^ °>

et ces deux- ci, £tant construites, donneraient deux courbes dont les points d'intersection auraient pour abscisses les racines réelles de la proposée.

La troisième équation est celle d'une hyperbole dont les asymptotes sont (n° 37a) - parallèles aux axes coordonnes, et peut se construire facilement, dès que l'on a fixé la position de ces asymptotes et d'un seul point de la courbe.

Mais si l'on veut la remplacer par celle d'un cercle, il faut d'abord faire évanouir le second terme, puis multiplier le résultat par x. Cette dernière préparation, qui a pour objet de ramener l'équation au quatrième degré, introduit, à la vérité, une racine a: = o, qui est étrangère; niais* dans le ré-1 sultat, on a soin d'en faire abstraction.

Soit donc a^+i/x* + rx = o, . . . . (i)

l'équation, privée de second terme, et ensuite multipliée par x

DU TBOISriatB ET DU QUATttZXMS DEOfti. Ôl »

Posons x*=5= fcy;. • . (2)

ilaarésalte J^+|y 4* £* = <>;••• <3)

ou bien, ajoutant entre elles les équations' (a), (â), et trams-' posant, .

ou bien enfin, faisant, pour plus de simplicité, k=\/q,

équation d'une circonférence de cercle dont le centre est sur Taxe des x, et qui passe par l'origine. Appliquons ces considérations générales à quelques exemples.

396. Prejuer phoblèhe. Un arc quelconque AB d'une circonférence étant donné j on propose de te diviser en trois parlies égales.

On a trouvé (n° 69) , pour la formule qui donne le sinus du tiers d'un arc en fonction du sinus de cet arc,

sin* ç a — 3 sm x a + sin a *=c o.

Soient AB = a, BP = sina = ^,

MQ = sin|c = x, OA s=a r (/y. aa3) j Fig.«3*

et rétablissons Fhomogénéité (n° a6); cette formule devient

équation dont nous allons d'abord donner la construction.

Pour y parvenir , posons x*= ry ; . . . (a) l'équation (1) devient

4*y — 3rx + (7r=o.... (3)

Menons par le centre du cercle donné deux axes rectangulaires OX , OY, dont l'un passe par le point A ; et construisons