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la courbe représentée par l'équation (2); c'est une parabole LOI/, dont l'axe principal est dirigé suivant OY, et qui a r pour paramétra» Ainsi sa construction n'offre aucune difficulté.
Quant à Péqnation (3), qui appartient évidemment a une hyperbole, si on la résont successivement par rapport à y et a x , on trouve .
3rx — or Jr or â qr
ce qui prouve (n° 371) que les dçux asymptotes sont i°. une
droite FEF7 menée parallèlement à l'axe des x à une distance
OE =7 r; a°. l'axe des y lui-même.
D'ailleurs, l'hypothèse y=-Of introduite dans l'équation (3),
donne x = r. ainsi, prenant sur OA une distance
Dp
OC = -5- > on obtient un point de l'hyperbole, qu'il est alors
facile de construire d'après le procédé du n° 327 , et que nous
supposons figurée par les deux branches nm'ri , n"m"nm.
La première de ces branches rencontre LOI/ en deux " points m, m' , la seconde en un seul point m"; et ces points sont tels, qu'en abaissant mp, m'p , m"// perpendiculaires à OX, on a 0/7, O//, Op* pour les trois racines de l'équation (1).
Cela posé, comme ces valeurs, dont l'une Op* est négative, expriment des sinus, il faut les porter sur OYcU O en R , Bf ^ R\ mener ensuite RM, R'M', R"M* parallèles k OX; et Ton obtient enfin AM, AM', AN M* pour les valeurs des arcs
3, — £-, 3—. {Paye* n° 69.)
397. On peut donner, de ce problème, une construction qui a l'avantage de faire servir le cercle donné comme un des lieux géométriques.
Fig.aif. Soient toujours AB {Jig. 2*4) ou a, l'arc qu'il s'agit de di-
mais, d'après la construction,
BRt=ç+j; RN ou PQ = j:— ^j donc cette proportion devient x \ y \\ q +y l x*— p\ d'où Ton déduit y% — x* + qy+pxtz**> * . - (2) équation qui, combinée avec (1), donnerait, par l'élimination
de x, la valeur de y, ou de «ar. Maie» atf lieu d'effectuer cette
élimination, on peut (n°t 181) construire les lieux géométrique* que les équations (1) et (2) représentent.
Or, l'équation (1) est celle du cercle donné..
'Quant a l'équation (2), elle représente évidemment une hyperbole équilatère dont les deux axes sont parallèles aux axes coordonnés. Pour en obtenir la position, résolvons cette équation par rapport à y, il rient ^ . ,
ri BP
Soit pris sur OT une distance 0E?=:-7^^= ; la
ligne GG', parallèle à XO, est «1 dfâibètre de là courbe, et par conséquent , l'un des axes cherchés. On sait d'ailleurs (n° 36g) que la moitié 'Au coefficient de x
-viser en trois parties £galély 0L U \ttiiri1êe cet arc qu'on suppose, pour le moment r déterminai Iftr&nV d'ailleurs OP ou eesaaep, BP'm stafta^f; 'OQ^i, MtQ=sr\ On a d'abord cette première relation ,
Maintenant , si Pon prolonge MQ jusqu'à sa9rencontre en S avec; la circonférence, que p,ar le (oint,&jon. mène NR parallèle à OX, et que Von tire <Bï? ,"rni4bTmràt5|Tun triangle j
BNR semblable au triangle OMQ (puisqu'ils ont leurs oétés \
perpendiculaires) ; et Pon a la pro^brt ion ! » l' ' J
oq:qm ::br:kn; \ ,
5l4 T1I5SCTION D» l'àKOLS.
sous le radical , pris en signe contraire , ou - , n'est antre chose
qne l'abscisse du centre; donc la ligne HH' menée par le point H milieu de OP, et parallèlement à OY, représente l'antre axe.
Actuellement, puisque l'hyperbole est équilatère, il s'ensuit que les asymptotes divisent en deux parties égales les angles droits HIG' et HIG. Ainsi ces droites peuvent être aisément déterminées.
Enfin, il résulte de l'inspection de l'équation (2), qne la courbe passe par l'origine. On connaît donc un point O de la courbe et ses deux asymptotes; dès lors la courbe est déterminée (n° 327).
N. B. En la construisant, on reconnaît qu'elle rencontre le cercle en quatre points, M, M', M' et B*, point tou la perpendiculaire BP prolongée coupe la circonférence.
La position des trois premiers points M, M', M" s'explique facilement :
On a, i°. MQ = sin -5- = sin~;
2°. Si l'on prend ABC égal au tiers de la circonférence, ou à -?-, et CM' égal à -5- ou ç, il en résulte
M'Q' = sin(Ç + 3) = sin(îr-Ç 0 = 8iD(^).:,
3°. En prenant ABDC égal aux deux tiers de la circonfé-
renée, ou à -^ , et CM" égal à?, on en déduit
M-Q- = ^(fc + |) = ,i.(. + '4f) *(=+}.
Quant au quatrième point B', dont les coordonnées sont ar=p, y = — q, en substituant ces valeurs dans les équations (0 et (2), on obtient p*+9*=râ , et çB— j>*-— ç*+p*=o;
veuection be Sangle. 5i5
ce qui prouve que ce point doit en effet appartenir aux deux courbes.
Si, pour éliminer x, on ajoute les équations (i) et (2), il
vient zy%.-\r <iy + Px == ** » °"où ar= ^ **-•
Substituant cette valeur dans l'équation (1), on trouve, toute réduction faite, 4^+ 4?J^"" 3ry — açr*^ + qrV= oj résultat qui est divisible par y-hq, et donne pour quotient
ty—fry + q^o.
Cette dernière équation est identique avec l'équation (1) du n° précédent; mais on voit en même temps que, d'après la seconde méthode «suivie pour résoudre la question proposée, on a établi deux équations en a; et y, plus générales que la question elle-même, puisqu'en éliminant x, on parvient à l'équation relative à cette question, mais embarrassée d'un foc* teur étranger.
398. C'est ainsi qu'on doit interpréter la remarque faite par quelques géomètres; savoir, que la construction d'une équation déterminée par les intersections des courbes, donne quelquefois plus de pointé communs aux deux courbes que la proposée na de racines réelles.
Tant que l'équation du problème est véritablement l'équation finale résultant de l'élimination entre les deux équations a deux inconnues que Von construit, le nombre des points communs aux lieux géométriques est toujours égal au nombre des racines réelles de la proposée. Mais si cette équation n'est , comme dans le n° précédent, qu'une partie de l'équation finale qui correspond aux deux équations, il peut y avoir plus de points communs que l'équation na de racines réelles. Les coordonnées de ces points vérifient les deux équations à deux inconnues; mais leurs abscisses peuvent ne pas vérifier la proposée. I
3gg. Second problème. Trouver deux lignes * moyennes proportionnelles entre deux lignes données a^ b.
5l6 DUPLICATION DO CUBE*
Appelons x et y les deux lignes cherchées ; cm doit avoirt d'après l'énoncé, la progression géométrique
fr al x\ yl b, ou plutôt, al x II x \y, et x\y \\ y : b; d'où l'on déduit les équations. ... < ^IZi, r \
En portant dans la seconde équation, la valeur de^, tirée de la première, et réciproquement, on obtiendrait successivement, pour les équations finales ,
x (x3 — a*b) = o , y {y3 — ab%) = o ;
et par conséquent, pour systèmes de valeurs de x et dejr,
(x = o 61^ = 0), (x= \/aÂb, et ,y = i/o*0).
Le premier système (x = o,^ = o) vérifie bien les équations (i) et (2), mais ne signifie rien par rapport à l'énoncé. Quant au second, il représente évidemment les valeurs arith- N métiques des deux moyennes proportionnelles ; car la raison de la progression étant (Alg. , cinquième édition, n° 206)....
g= 1 /-> on a, pour les deux termes cherchés,
Mais il s'agit ici d'exprimer en lignes ces deux moyennes proportionnelles; et pour cela, tout se réduit à construire les équations (1) et (2), dont la première représente une para- Fig.aa5. bole LAI/ (Jig. 225), ayant pour paramètre a, et son premier axe dirigé suivant l'axe des y ; la seconde est aussi une parabole NAN' , qui a b pour paramétrent dont Faxe principal est dirigé suivant l'axe des x.
Ces deux paraboles passent l'une et l'autre par l'origine qui correspond à la solution (x t= o, y = o), et se rencontrent en un second point M , dont les coordonnées AP , FM ne sont autre chose que les lignes demandées*
DUPLICATION DD CVBE. 5l7
D'âpres la position respective de ces deux courbes , SI est éri- 1
dent quelles ne peuvent avoir que ces deux points communs'; \
et 9 en effet, les équations à deux termes, jc*«— a*b-^:o\ y—~a6*aso, n'admettent qu'une seule racine réelle.
Si l'on ajoute entre elles les équations (i) et (a), il vient
y»-fx* — ay — &r = o;
équation d'une circonférence de cercle , dont la construction peut remplacer celle de l'une des deux courbes. Elle a pour
coordonnées de son centre, - et -; de plus, elle passe par
l'origine; ainsi, sa construction n'offre aucune difficulté.
Soit, nomme cas particulier, 4 = 20; Féquation
x3*~«*6:=20, devient x3— aa'tsso, ou xs=:2ûs, et peut être considérée comme la traduction algébrique de ce problème : Trouver un cube double d'un autre dont le côté a est donné.
En construisant comme dans le cas général, les équations «*5=5oy, y*zx=2ax (fig. 226) (l'une d'elles peut être rem- Fig. m6. placée par l'équation y%-\- x% — ay — aox =as o) , et supposant que l'ou ait AB = a , on obtient AP pour le côté chercha
N. S. Les problèmes de la trisection de l'angle et de la duplication du cube sont deux problèmes connus des anciens; ils ont beaucoup occupé les géomètres, qui en ont vainement cberché une construction purement géométrique. On appelle ainsi toute construction dans laquelle on ne fait usage que de la ligne droite et du cercle. Toutes celles ou l'on a recours aux sections coniques ou à d'autres courbes sont dites des constructions mécaniques, parce qu'en général, ces courbes.se déterminent d'abord par points , et se tracent ensuite à la main ; on bien, ou les décrit par te moyen d'une règle;
Détermination du nombre des racines réelles dune équation numérique par des intersections de courbes.
4oo. Une équation numérique a une seule inconnue, étanf donnée, si on la considère comme le résultat de l'élimination
5l8 APPLICATION DSS TliioillES PRECEDENTES
entre deux équations à deux inconnues, et que Pon construise ces dernières équations, on sait déjà que les abscisses des points d'intersection de leurs lieux géométriques expriment en lignes les racines réelles de la proposée. Donc, en déterminant par le procédé connu en Géométrie, le rapport de chacune de ces abscisses avec V unité linéaire * on obtiendrait approximativement les valeurs numériques des racines. Mais cette méthode est très défectueuse, en ce que l'exactitude des résultats dépend du degré de perfection de l'instrument dont on se sert , et de l'adresse de celui qui opère.
Toutefois, on peut employer avec avantage ces sortes de constructions; pour reconnaître le nombre des racines réelles d'une équation numérique , sans être obligé d'avoir recours à l'équation aux différences dont la détermination exige , comme on le sait , des calculs extrêmement laborieux*
Comme nous ne connaissons aucun ouvrage moderne dans lequel cette idée ait été développée, nous croyons devoir entrer dans quelques détails à ce sujet.
4o i. Prenons, pour premier exemple, l'équation du troisième degré,
- Soit fait x* = ay ; (2)
il en résulte axy — &r — 7 2= o. . • • (3)
Ces deux équations étant construites par rapport aux mêmes
Fig.a»7. axes AX, AT (Jig. 327) , donnent , i°. une parabole LAL' qui
a pour paramètre 2 , et dont le premier axe est dirigé suivant
l'axe des y) 2*. une hyperbole (GMG', FCF') ayant pour
asymptotes, les droites y = 3 , x = o , et passant par le point
C pour lequel on a ^=0, a? = — g. ^
Or, il est évident que ces deux courbes ne se rencontrent \ qu'en un seul point M , dont l'abscisse AP est comprise entre 2 et 3.
▲ LA «isOLVTION DBS ÉQUATIONS. 5ig
N. B. Cette équation a été traitée [Alg.ê chap. VIII , n° 35o) ; et comme on n'avait obtenu qu'un seul changement de signe, on s'était trouvé dans la nécessité de former l'équation aux différences , pour s'assurer s'il existait plus d'une racine réelle ; mais la construction précédente démontre sur-le-champ qu'il n'y a en effet qu'une seule racine réelle.
Soit , pour second exemple* l'équation du quatrième degré
x*— 2jcft + 8.r — 3=o,... (i)
pour laquelle la substitution des nombres entiers consécutifs ne donne lieu qu'à deux changemens de signe*
Posons xa=-y;.... (a)
d'où y^mmm a,y + 8a: — 3 = o ;
et , ajoutant ces deux dernières équations,
y*+X% — Zy + Sx — 3 = C... (3)
Les équations (a) et (3) étant construites sur les mêmes axes , donnent , i°. la parabole LAL' (fig. 228) dont le para- Fig.a?8. mètre est 1 j 20. une circonférence de cercle GMM'G' dont le
centre a pour coordonnées (x = — 4 • ^ = -J» et le rayon
est égal à \/t6 + 1+ 3 = -V/85 = 4>6 & oyi près.
Or, ces deux courbes n'ont évidemment que deux points communs M, M', dont les abscisses AP,. AP7 sont comprises, l'une entre o et 1 , l'autre entre —2 et — 3.
En effet, l'équation (1) a été formée par la multiplication des deux facteurs a?* — 2ar-+-3,a^+aj?— 1, dont le premier % égalé à o, donne lieu a des racines imaginaires, et le second donne xs — i± (/a.
Prenons, pour troisième exemple* l'équation
8X3— Sx — 1 = 0, .•. (i) *
5?Q APPUQACTOM *Ei THSjONia P*£cinBOTES
traitée Ç4fcj, chap. VIII, n9 354) par la méthode de l'équation aux différences.
Soit a^ = /; (2)
réquatioa de 8ry— 6x -^- 1 = o. . . . (3)
La construction des lieux géométriques exprimés par ces
drux équations n'offre aucune difficulté.
ig.999. On obtient la parabole LÂL' (fig. 229 ) et l'hyperbole
(GMC, HçEF) ayant pour asymptotes, l'axe des y , puis une
droite BE parallèle à l'axe des x, et menée a une distance
AB= j\ de plus/ cette courbe passe par le point q pour
lequel on a y=ao, * = — g.
D'après la situation respective des deux courbes, il est clair que les branches AML , GMG' ont un point commun M dont l'abscisse est positive.
Quant aux autres branches Ami/, HmH', leur rapprochement dans* la partie voisine de l'origine A , peut laisser quelque doute sur le nombre de leurs points d'intersection; mats voici un moyen de foire cesser toute incertitude.
Multiplions l'équation ftr3 — 6* — 1 = o par * ; on a l'équation du quatrième degré
arf — G** — *=o;.... (1)
(of = o sera une racine étrangère à la question). Posant de nouveau *•= y , on en déduit
équation d'une seconde parabole dont le premier axe est parai-
)èle à l'axe des *, et situé à une distance AI= gf puisque i'é-
tion donne y = g ± g {/Qx + 9.
On .voit, en outre, que le sommet D a pour abscisse
a la uboumoir dbs Aqfatioks. 5lî
x = — §, tirée de 8* + 9 = o, et que la courbe passe par l'origine A, par conséquent, par le point B, pour lequel on a
ÀB=7=2.ÀI.
Or , il est évident que la parabole E.DK' rencontre la première parabole LAL' en deux points m, M; et puisque Péquation 8x3— 6* — 1 = o a déjà deux racines réelles , il faut nécessairement qu'elle en ait une troisième correspondante à un point n situé un peu à gauche du point A et au-dessus de l'axe des x.
La construction de la troisième courbe présente un autre avantage , c'est de déterminer d'une manière plus précise les points cherchés , puisqu'ils doivent se trouver à la rencontre de trois courbes ; mais on ne doit y avoir recours que lorsqu'il y a incertitude sur les intersections.
JV. B. Toutes les fois que l'équation proposée renferme des racines égales, on en est' averti par le contact des courbes a en un ou plusieurs points, ce qui suppose qu'on les ait tracées avec assez d'exactitude. Mais on sait que les méthodes d'approximation de l'analjse ne peuvent s'appliquer à une. équation de cette espèce, et qu'il faut toujours commencer par ramener sa résolution à celle d'une autre équation dont toutes les racines soient différentes.
4oa. Les principes qui Tiennent d'être exposés pour la détermination du nombre des racines réelles d'une équation numérique du troisième et du quatrième degré, sont aussi applicables aux équations de degré supérieur ; mais on est conduit alors à des constructions un peu plus compliquées.
Soit , par exemple, l'équation du cinquième degré ,
a5 — 3tf*-f-3* — 4 = 0a (0 Faisons , comme précédemment , ** = y ; . . . (3) l'éqattBon (1) devient ,y**r— 3y+a* — 4 «=©.- (3)
523 APPiJCADIOlf ms tbbobiss vabq£obhtb8
Après avoir construit la parabole LAI/ représentée par l'équation (a) , on déduit de l'équatioa (3) ,
et en posant — 8**+ 16* +9= o, ou *■— 2x = g,
on obtient pour x deux valeurs x = 2 ,4 et * = -^ o ,4
à o, 1 près , qui (n° 36s) représentent les limites de la courbe, dans le sens des x positifs et des x négatif*; c'est-à-dire que si l'on prend sur AX deux parties AD = a,4> ADf = — of 4 lg* °* (fig- a3o), la courbe est entièrement comprise entre les parallèles DG , D'G'.
Afin d'obtenir les points ou la courbe touche ses deux limites , il suffît d'introduire dans la partie rationnelle de l'expression (4), les valeurs * = 2,4 et #=— 0,4 ; ce qui donne
3 3o 5 3 i5 rVvf
