C=!8=DE' '—53- -T

Donnons maintenant à x des valeurs intermédiaires.

Soit d'abord x = o ; l'équation devient y =

d'où ,y = oo, ,y=-«

o Pour savoir ce que signifie le dernier résultat , remontons à l'équation (3), et posons «sso ; l'on en déduit y~ — |.

D'où l'on voit que la courbe rencontre l'axe des y à une distance AH = — f.

Quant au résultat y = 00 , il fait soupçonner que le même axe sert d'asymptote à la courbe que l'on sait être indéfinie dans le sens des y, puisque l'équation ^3) est du premier degré en x. Et , en effet , si l'on résout cette équation par rapport à x , on

▲ LA bIsOLOTIOV DB5 iQVATTOKS. 5a3

3y + 4 3 4 * obtient * = , . = - -f- -^ + etc., valeur qui se rap-

proche de plus en plus de *= o, à mesure que jr augmente, et se réduit à x = o, lorsqu'on suppose jr = oo.

Soit actuellement x = i \ l'équation (4) donne

ou, à peu près , y=3- et y = — - ; ce qui donne BN et

BN' pour deux ordonnées de la courbe.

Soit encore x = 2, on obtient ^y = - et je. ce o. Ainsi la

courbe passe par le point C et par le point C, pour lequel on a

Les points déjà déterminés suffisent pour donner une idée du cours de la courbe correspondante à l'équation (3) ; elle est assez exactement représentée par E'HN'CEC'N. . . .

Au reste, la partie inférieure CN'HE',.. . est inutile à considérer pour l'objet que nous nous proposons. Quant à la partie*supérieure CECN, .... il est visible qu'elle ne peut avoir qu'un seul point commun avec la parabole LAI/; et ce point M ayant une abscisse comprise entre i et a, il s'ensuit que l'équation (i) n'a qu'une seule racine réelle positive.

Elle n'a point de racine négative; car l'équation

nous apprend qu'à des valeurs de y positives , il correspond * toujours des valeurs de x positives. Ainsi la seconde courbe ne peut rencontrer la première dans l'angle YAX'.

Observons encore que, d'après la, forme indiquée pour la seconde courbe, une ligne droite ne peut la rencontrer qu'en

5a4 APPLICATION DIS TH&QfUBS *aiOEDKWTE5

trois points au plus; ce quittait être, puisque ^n équation e$t du troisième degré.

Nous pouvons conclure 4e ce qui précède que l'équation proposée n'a qu'une seule racine réelle,

4o3. Prenons, pour nouvel exemple, l'équation du sixième degré

*6 — as* + ax* -f- S*4 — x — a = o. . . . (i)

Au lieu de poser #*= y , oe qui donnerait lieu. à une équation du troisième degré en xety } dont la construction ne laisserait pas d'être difficile, on^eut faire

**=e:jr, ' (a)

et l'équation (r) devient

y* — axy -f- %y •+• 3.»* — - a? — a = o (3)

Le lieu géométrique de l'équation (a) est une courbe du troisième degré; mais la construction en est très simple.

Observons d'abord que, les valeurs de x et de y étant nécessairement de même signe, d'après l'inspection de l'équation, la courbe doit s*étcndre indéfiniment à la droite de l'axe des y, mais au-dessus de l'axe des x, puis à la gaucbe de Paxe des jr, mais au-dessous de Taxe des x.

En outre, puisque la substitution de — x, — y à la place de ~f- *> +JK> ne change pas l'équation , il s'ensuit (n° 37$) que l'origine des coordonnées (qui se trouve sur la courbe, puisque jf = oj=3û vérifient l'équation) est en même temps le centre de cette courbe.

On peut même, en résolvant le problème des tangentes d'après la méthode générale exposée n° 39a , reconnaître que Fig.a3i« l'axe des x est une tangente au point A (fig- a3i), mais cela n'est pas nécessaire à notre but.

Actuellement , pour être en état de tracer la courbe , il suffit de donner k x quelques valeurs, soit positives, soit négatives. .

▲ LA BisOLBTIftfcf BfïS ÉQUATIONS. 5*5

Pow «s±-t on trouve y = ±: g,

x ses zs i| »••*••••' y === 33 i »

* as ± 2, y = ± 8.

La courbe passe donc par les 'points (N, tï), (J8',n')f (H *,«*), déterminés par ces systèmes de coordonnées, et elle a la forme itVnÀNN'N'....

On toit encore , d'après la nature des valeurs de y cor* . respondantes aux valeurs de x , qu'à partit dp, x ses i , la " courbe s'éfève très rapidement au-dessus de Taxe des x.

4<>4» Occupons-nous maintenant de Pét^uat ion (3). £n la résol-

yant par rapport à y y on tromv* yr+x >■»! dfc K — - 2** *— * «4- 3 ;

d'où il suit que la courbe est une ellipse, qui a pour l'un de ses diamètres y = x — 1 , ou DD'.

Ses limites, tirées de — a** — x + 3=o, d'oà x*a*) *=— - ,

sont représentées par DL , CD' \ et après, avoir déterminé points d'intersection avec les axes , ainsi que le diamètre Il'# conjugué du diamètre DD', comme on l'a vu (n°* 36ir363), on obtient la courbe DLDTD, qui n'a évidemment que deux points communs avec la première courbe*

Ainsi 9 l'équation proposée n'a que deux racines réelles, l'une positive j et* comprise entre o et i; l'autre négative, et comprise entre — 1 et — a.

• On peut s'exercer sur l'équation x5 — if*3 + 5x -— 6 = o\ (fig. *3a) ; et en posant **=)% d'où y'x — £yx-\-5x — 6=0, Fig.a32. on reconnaîtra que l'équation n'a encore qu'une racine réelle.

Nous n'insisterons pas davantage sur cette méthode de découvrir le nombre des racines réelles d'une équation numc-

5a6 APFUOAncnr M» nÉwss raiciDBKTEs; etc.

rique , méthode qui nous semble préférable à la formation de l'équation aux différences, puisqu'elle s'applique très aisément à toute équaftion qiK ne surpasse pas le quatrième degré ; tandis que la détermination de l'équation aux différences, même pour une équation du quatrième degré, entraine dans des calculs presque impraticables*

4<>5. Remarque. L'équation y = a3, dont on a fait usage dans l'exemple précédent , est un cas particulier de l'équation

y = a + bx + cx% + dx*+exi+fx* + qui, étant

construite pour toutes les râleurs qu'on peut attribuer aux constantes a , b , c , d, . : . . . et suivant le rang ou degré du terme auquel on arrête le second membre de cette équation , donne lieu à des lieux géométriques connus sous le nom de courbée paraboliques.

En ne prenant que les trois premier» termes du second • membre , on a l'équation y = a -f- bx -+- ex* qui apparient à la parabole ordinaire ; ses axes principaux sont parallèles aux axes coordonnés (supposés rectangulaires).

L'équation y = a + b x -f- cx% + dx3 , donne les paraboles du troisième degré; ainsi, le lieu géométrique de l'équation y = x? est une espèce particulière de parabole cubique * et ainsi de suite.

Les géomètres ont encore tiré parti de la construction de ces courbes, soit pour déterminer approximativement les racines des équations numériques à une seule inconnue, soit pour expliquer les principes fondamentaux de leur résolution. Mais les bornes que nous devons mettre k notre ouvrage, déjà trop étendu, ne nous permettent pas d'entrer dans ces nouveaux détails, qu'on trouve d'ailleurs fort bien exposés dans l'Algèbre de M. Garnier (deuxième volume).

ODH