CHAPITRE VIL

Des points } de la ligne droite et du plan » dans* t espace.

§ Ier. Équations du point.

4o6. Db même qu'un point est déterminé de position sur un plan, par le moyen de ses distances à deux droites menées à* volonté dans ce plan, de même , sa position est fixée dans l'espace , dès que l'on connaît ses distances à trois plans.

Soient trois plans YAZ, XAZ, XAY (fig. a33) que nousFig.*33. supposerons d'abord perpendiculaires entre eux , et qui se coupent suivant trois droites AZ, AY, AX dont chacune est perpendiculaire aux deux autres, d'après la théorie des plans. Appelons a, b , c les àSstances d'un point de l'espace à ces trois plans, distances qui sont censées connues ; je dis que le point est complètement déterminé de position, en admettant toutefois qu'on sache aussi d'avance que ce point se trouve situé dans l'intérieur de l'angle trièdre AXYZ.

En effet, prenons sur les trois droites AX, AY, AZ, des distances AB, AC, AD respectivement égales ha, b, c\ et me-

5a8 «QUATIONS DO POINT

nous par les points B, C,D des plans parallèles aux plans donnés. D'abord , puisque tas deux premiers plans parallèles ont tous leurs points placés sus* distantes a, b des plans YAZ, XAZ, il s'ensuit que tout les points de Mm , intersection commune de ces plans parallèles , jotlifsent, exclusivement à tout autre point, ita In propriétljdtâtito 4 eéè lAtêmet distances de YAZ et de XAZ. Dobc dij& le^Sdirtt' cherché se trouve sur cette ligne. D*un autre côté /le^oint doit aussi être situé quelque part sur le troisième plan pacaUète , puisque tous les points de ce plan sont, à l'exclusion de tout autre point, à la distance ÀD = c du plan XAY* Donc enfin fa point cherché n'est autre chose que le point M oit le -troisième plan parallèle coupe l'intersection commune des deux premiers; et sa position est tout-à fait déterminée.

Nous conviendras de désigner par x les distances au plan YAZ comptées sur AX , par y les distances au plan XAZ comptées sur AY, et »pa* z lès distances au plan XAY comptées sur AZ; en sorte queAX,AY, AZ, intersections des trois plans deux à deux , seront les axes des x , des y et des s. On les appelle conjointement axe$ coordonnés , et les distances dont nous venons de parler sont dites les coordonnées du point* Toutes ces ' dénominations sont analogues à celles que nous avons employées dans la Géométrie à deux dimensions.

Nous nommerons aussi plan des yt , le plan YAZ perpendiculaire à Paxe des X} plan des x% , le plan JLAZ perpendiculaire à l'axe des y\ et plan des xy le plan XAY perpendiculaire à l'axe des z. Ce dernier plan est ordinairement représenté dans une position JwrizontaU , et les deux autres dans une position verticale.

Il résulte de ce qui a été dit plus haut,, que les équations

x = af jr = b, s = c,

( a , b , c étant des quantités connues ) , suffisent pour fixer la position du point dans l'espace; elles sont, pour cette raison, nommées les équations du point.

dans l'sspacb. 5àg

On doit remarquer toutefois que , oomme les trois plans • coordonnés j étant prolongés indéfiniment, déterminent huit ' angles trièdres, savoir, quatre formés au-dessus du plan des xy3 et quatre au-dessous de ce même plan -, il faut encore exprimer par l'analyse , dans lequel de ces huit angles le point se trouve situé. Il suffit, pour cela, d'étendre aux distances à des plans les principes qui ont été établis (n* 26) pour les distances à des points ou à des droites, c'est-à-dire que, si ton regarde comme positives les distances comptées sur AX., à la droite du point A., on doit regarder comme Nioinvit les distances comptées à gauche, c'est-à-dire dans le sens AX'. Même raisonnement pour les deux autres coordonnées.

On doit donc distinguer (n* i35) dans les quantités a,b,c, non-seulement les valeurs numériques de ces quantités , mais encore les signes dont elles sont affectées , eu égard aux diverses situations que le point peut avoir dans les angles trièdres formés par les trois plans coordonnés.

D'après ce nouveau principe, on a, pour exprimer complètement la position d'un point dans l'espace, les combinaisons suivantes :

x — +a t y =+é , *=+c , point situé dans Fangle AXY Z ,

*=— *> j— +* > «=+c , , A XTZ ,

x=+fl, jr=r— A, *=+c, AXYZ ,

*=+« , y=+*> *=— c, '. . . . AXYZ' ,

x=— a, y=— 6, «=+c, AX'YZ,

x=— a, y=+b, z=— c, AX'YZ',

x=+a, j=— 6, *=— c, axy*z',

x=—a,y=— b,z=z—c, AXTT'Z';

en tout, Huit combinaisons, savoir : deux systèmes dans lesquels les signes sont les mêmes; trois dont un signe est négatif et les deux autres positifs; et trois, dont un signe est positif et les deux autres négatifs.

407. Le point peut ensuite se trouver dans des positions particulières. Par exemple, pour exprimer qu'un point est si-

, $3o ÉQUATIONS DU POIKT DjLKS l'e**ACB-

• tué dans le plan des xy , il faut écrire que sa distance % à ce plan est nulle} et l'on aurait pour les équations de -ce point ,

De même ,. un point placé sur Taxe des x , pour lequel les - distances aux plans des x& et des xy sont ou//** à la fois, aurait pour équations ,

xsa, yso, s =s o.

Et ainsi des autres points plaeés, soit sur les plans, soit sur les axes coordonnés.

4<>8. Première remarque. Les plans parallèles aux trois plans coordonnés, et qui ont servi (n° 4°6) a fixer la position du poiut M (fig. 233 ) , déterminent avec ceux-ci un parallélépipède rectangle, dont les douze arêtes, égales 4 a 4» ne spnt autre chose que les trois coordonnées x, y, z, du point M. D'un autre côté, l'on sait que les pieds m, m', m* des per- . pendiculaires abaissées sur les plans coordonnés , sont, en terme de Géométrie descriptive, les projections du point M sur ces trois plans.

D'après cela , si l'on suppose que x=a, y = b) t = c, soient les équations du point M, on a pour les coordonnée*

de m', les équations x = a, y -=z b\

pour celtes du point m% > . . . x = a, z =s c ;

ce qui donne pour celles du point m", . . y = b9

D'où l'on toit que les projections du point M snr deux des plans coordonnés étant connues, la troisième projection s'enjuit nécessairement.

C'est, au reste, ce qu'on peut reconnaître aisément sur [à figure. En effet, soient m, m' les projections données; menons de ces points, et dans les plans des xy et des xz, mC, mT) parallèles à AX; puis des points C, D, et dans le plan diJ^'s, élevons Cm" parallèle à AZ, Dm" parallèle à AYj le

EXPRBSftlO* DE LA DISTANCE, etC 53 1

point m", où ces deux dernières lignes se rencontrent, représente la troisième projection. >

4<X). Seconde remarque. On peut encore expliquer pourquoi , dans la Géométrie descriptive, il suffit de deux plans de projection a pour fixer la position d'un point; tandis que-, dans la Géométrie analytique , il faut trois plans coordonnés :

La connaissance des projections d'un point sur un plan horizontal et sur un plan vertical , est en effet suffisante pour, les constructions graphiques; mais si l'on «veut fixer analytiquement la position de chacune de ces projections, par exemple, des points, ni , m", il faut , premièrement , tracer dans le plan horizontal (xy) deux axes rectangulaires AX, AY; secondement, tracer dans le plan vertical (x«) deux axes AX, AZ, en prenant , pour plus dé simplicité, pour axe commun* l'intersection des deux plans de projection. Or, il est évident que les deux axes AY, AZ déterminent un troisième plan rectangulaire avec les deux autres. Ainsi, géométriquement, deux plans suffisent; mais analytiquement, il en faut trois.

4io. Lorsque les plans coordonnés ne sont pas rectangulaires , auquel cas , les axes AX, AY, AZ (fig. 234) font entre F"g-a34. eux des angles quelconques, et sont dits des axes obliques, les équations d'un point M sont encore, x =s a, y=.b, * = c.

Mais alors , a, b , c , expriment des distances comptées parallèlement à ces axes; et les projections du point M s'obtiennent par les lignes Mm, Mm', Mm" respectivement parallèles à AX, AY, AZ.

Du reste, tout ce qui a été dit n" 4°7> 4°&> est applicable au cas où les axes sont obliques.

4n. Occupons-nous maintenant de la recherche de Y expression de la distance entre deux points dont les coordonnées sont connues {voyez n° 137).

. Soient x , y, %' les coordonnées d'un premier point M, (ftg. a35), x% y", z" celles d'un second point N , rapportées d'à- Fig.*35. bord à trois axes rectangulaires AX, AY, AZ. Il résulte de la remarque (n° 4o8) que, si des points M, N, on abaisse les per-

43* SXPRBS8ION DE LA. D19TANOB

pendîculaires Mm, Nn sur le plan des scy> puis des pointe m, », les parallèles roP, nQ à l'axe des j", il résulte, dîs-je, que, l'on a

AP=sr/, ^P=r', Mms=i', et A<£=x", "0==?*, N*=*\

Tirons ensuite mn, ce qui détermine un trapèze MN/im» puis menons dans le plan de ce trapèze, NH parallèle à nm, et sur le plan des zy, riL parallèle à AX.

Cela posé, les triangles rectangles MNH et mnh donnent,

MN » MH + NH = mn + NH, et mn =s nL + w»L = PQ 4- mLj

d'où l'on déduit MN = W^ + ï^L + NH.*

Mais on a évidemment

PQ = x' x\ 7wL = y-y, NH = *' — **; d'où

PQ = (^ - x")\ "^Tsr {j> -y)*, «H *=t (*'- O'J - donc enfin ,

m\ ou d*=(x'— *T+(y-y)'+(*'-oa>

et par conséquent, D= ]/[pcf— a:") * + (y—y")* + (*'— z*)*~

Telle est l'expression générale de la distance de deux points , en fonction des coordonnées de ces points rapportés à des axes rectangulaires.

On parvient encore à cette formule de la manière suivante :

Fig.a33. Soient tirées dans la figure a33, les lignes AM, Am; les

deux triangles ABm, A/nM, rectangles, l'un en B, l'autre

en m, donnent Am=AB + Bm, AM = Am + Mm, d'où

AM*= AB*+ Bm*+ Mm = ÂB + AC + jjj>!

SNTBS DBUX POINTS DONNis. 533

• On reconnaît ainsi, en passant, que dans tout parallélépipède rectangle, le carré de l'une de* diagonaiâê est. égal à la somme des carrés des trois arêtes contigues.

Cela posé, considérons les points M, N (fig. a35) et menons Yîppas chacun de ces points, trois plans respectivement parallèles aux plans coordonnés. Les deux plans parallèles au plan des j'Zt, sont nécessairement parallèles entre eux; il en est de même des deux plans parallèles au plan des x& et des deux plans parallèles au plan des xy. Ces six plans parallèles deux à deux, déterminent donc un parallélépipède rectangle dont Mflf est une diagonale , et dont les arêtes, étant nécessairement parallèles aux trois axes, sont respectivement égales aux différences des distances des points M, N aux trois plans coordonnés.

Or, en appelant p, q , r, trois arêtes contigues de ce parallélépipède', on a, en. vertu de ce qui vient d'être dit,

donc à cause de p=x'— a?*, q = y'—y"} r=zz' — z" f

MN* ou D»=(j^ — x*)*-f (/—/)* + fc' — *')*.

Ge moyen de démonstration peut paraître moins simple que le précédent; mais il a l'avantage d'être applicable à la recherche de l'expression de la distance entre deux points, lorsque les axes sont obliques!

4 1 2. Deux points de l'espace étant supposés rapportés à des axes obliques , imaginons , comme tout à F heure, par chacun de ces points, trois plans respectivement parallèles aux plans coordonnés. Les six plans obtenus de cette manière sont parallèles deux à deux, et déterminent dans l'espace un parallélépipède oblique dont la distance des deux points donnés est une des diagonales, et dont les arêtes ont pour longueur, les différences des coordonnées des deux points.

Toute la difficulté, pour obtenir cette diagonale, consiste donc à déterminer Celle d'un parallélépipède oblique + connais*

534 JUCPRIBSIOlf HB X.A DI8TAKCS

«a»* &« arvto <& c* parallélépipède et les angles qu'elles filment entre elles.

La solution que nous «lion* donner de ce problème est extraite de la cinquième note de la Géométrie de Legendre.

Fig.*34- Soient ABm CM{fig. a34) un parallélépipède oblique; AB, AC, AD, trois arêtes contiguës; AM l'une de ses diagonales.

Posons, pour abréger , ÀB~p, AC=qy AD=r, AM=D;

puis BAC = », BAD = C, CAD=±>., DAm = J; (les quantités D, ï sont inconnues).

Les deux triangles obliquangles ABm, AmM donnent CTrigonométrie, n° ga),

Km = AB + Bm + aAB X Bm . cos BAC,

et AM = Am •+• Mm+ aAm X Mm . cos DAm;

dV>u AM = AB + Bm + Mm + a AB X Bm . cos BAC

+ aAm X Mm cos DAm ,

ou bien , employant les notations convenues, D*sb/7*+ qi+ri+iipq m cos<t+ar . Am . cost... (i)

Ainsi tout se réduit à déterminer cos t\ car Am est déjà connu, d'après la première des équations ci-dessus; mais nous verrons bientôt qu'il est inutile de substituer actuellement sa valeur.

Pour calculer l'angle ^, nous aurons recours aux principes de la-Trigonométrie sphérique. Considérons le point A comme le centre d'une sphère, dont les intersections avec les plans BAC, BAD, CAD, DAm, soient les arcs de grand cercle EFy EG, GF, GH; il résulte de cette construction, que les angles a> £> y> £, peuvent être remplacés par les trois côtés du triangle sphçrique EFG et par l'arc GH; c'est-à-dire que l'on a