EF=«, EG = C, GF = >, GH

StfTAK DEUX POINTS DONvift. 535

Cela posé, les deux triangles sphériquesGEF, GHE, donnent (en Tertu du principe xu° 1 18) ,

r cosy— ^cos#co»C sin «sin C

sin #sin

et eos^ = cosCcosEU + smCsin£H'cosE;

ou, mettant à la place de cou E, sa râleur,

•, 0 «v.* . «aEHeos>— sin EH cos * cos C

cos<r=cosC cos EH + ■ > ■ ■ — - — i \

sin*

ou, réduisant l'entier en fraction et obserrant que

sin « cos EH — sin EH cos « s sin («. — EH) se sin FU ,.

. A sinFH . sin EH

cos<T=oosb . — t— — + cosy . ■ ■ ■ ■

sin « sin «

Mais les triangles rectilignes ACm, ABm, donnent,

i°. Am t Cm t: sin ÂCm ! sin CAm:

„ . p sin CAm sinFH

d'où -f- = -: — Tpr- = — : ;

Ain sin ACm sin*

2°. km : Bm :: sin ABm :«inBAm;

„ , a sinBAm sin EH.

a ou i ses ■ i i — p m———— •

Am sin ABm sin* '

donc oos^=cosC. ~--r*cos> . -j^-j

Am Am

et par conséquent, AmX eos/rspcosC-f-çoosy.

Substituant cette yaleurde Am.oos/, dans l'équation (i), on obtient

D» rr p* -+. ç* -f- r*+ 2pç cos « -f- apr cos? + a</r cos j^;

ce qui donne enfin, pour l'expression générale de la distant* entre deux points rapportés à trois axes obliques,

536 ' EÏFMMION DE 1.» DttTANCB, «tC

Si, dans cette "torïwrtey en suppose a' ==s of a" s= o, ce qui revient à <xta6idéf|et i*T distance entre les projections des deux points sur le-<pU*46SWj<j il vient

résultat identique' avec teioi que nous avons obtenu, n° i38.

§ IL Équations; de la ligne droite dans t espace*

4i3. Lorsque &c$ points sont en ligne droite dans l'espace, on sait que leurs projections sur un même plan sont aussi en ligne droite ; et cette seconde droite est dite la projection de la première sur ce plan. On sait encore que les projections d'une droite sur deux plans suffisent pour déterminer sa position ; d'où il suit qu'une droite serait fixée analytiquement , si l'on connaissait les équations de ses projections sur deux des trois plans coordonnés.

Ordinairement, on considère les projections de la droite sur les plans des x% et des yz\ et comme ces dçux plans ont pour axe commun, AZ, c'est cette ligne qui, dans chacun des plans, est regardée comme l'axe des abscisses; AX est alors l'axe des or«données sur le plan des sr&, et ÂY l'axe des ordonnées sur le plan desyz.

Fig a36\ Ainsi, soient MN {Jlg. a36) une droite quelconque dan» l'espace, mn, m'ri ses projections sur les plans des xz et desys; nous présenterons les équations de ces deux projections, sons

\ y = bm+e; ... (a) /

a, h sont des constantes qui (n° i4<>) désignent les tangentes des angles que forment mn, m'n' avec l'axe des a; et «, C expriment les distances de l'origine aux points B et G ou ces droites rencontrent l'axe des x et Taxe des y.

iQUATIOft» o'ffHS DROITS DA** J,^S?ACE« 53 7

4*4* M es* a remarquer que l'équation x sa az + *, exprime non- seulement une relation entre les x et les * de tous les points de la droite mn , mais encore une relation entre les x et les z de tous les points du planmpdiM magné, par m»> perpendiculairement au plan des x*; car, peur* Uàit point M delà perr pendiculaire rM à ce plan , les ooordopaéet>t?et «sont (n° 4o&) représentées par mP, AP qui appartiennent aussi à la droite mn.

Pareillement , l'équation j< = bz + C, contient non-seulement à tous les points de la projection pV^m^ encore, à tous ceux du plan mVNM mené perpendiculairement au plan desyz, par la droite m ri.

Donc le système de ces deux équations existe pour tous les points de la droite MN, intersection des plans perpendiculaires, et n'existe que pour ces points. Ces équations sont, en ce sens, les équations de la droite elle-même, quoique d'abord nous ne les avons établies que comme celles des deux projections.

Il résulte de là évidemment que l'élimination de la variable z entre les deux équations, donne lieu à une troisième équation en x et y, qui représente la projection m ri de la droite sur le plan des xy ; ou plus généralement, cette équation appartient à tous les points du. plan MNrim* mené par la droite MN perpendiculairement au plan des xy.

4i 5. Cas particuliers. Lorsque la droite passe par l'origine, il en est de même de ses projections ; ainsi (n° 4*3), les distances «, C, sont nulles, et les équations de la droite se réduisent à x= azf y=bz.

Il peut arriver que la droite soit située dans l'un des plans coordonnés, par exemple, dans le plan des xz. On a alors, pour tous les points de cette droite; y -^ o ; et les équations deviennent x--=z az H- a, yt=so\ c'est-à-dire que, dans ce' cas, on doit avoir 6 = 0 et£=o; ce qui est évident d'ailleurs, d'après la figure, puisque la projection de la droite sur le plan des yz , se confond avec l'axe des z.

Même raisonnement par rapport aux deux autres plans coordonnés.

538 ÉQUATIONS B'WS. B&01T* DAMS l'eSPAGS*

4i6. Tant que les constantes a, b9 «, C sont données à. priori, la droite est complètement déterminée de position. Pour en obtenir le$ dift%ens points, il suffit xle donner, dans les deux épations «cscâs-t-*, y=bz -fr C, à la variable *, par exemple , une Valent; partieuliàre zc ; cequi entraîne, pour chacune des deux autres, s et y, une valeur correspondante, sa*

voir : i=ûj' + J=;i', y = bz -f- C = ^'.

Prenant alors sur AX (Jig. 337) , une distance AP = x\ on mène Pm" parallèle à AT et égale à jf7; puis au point m-", on conçoit une perpendiculaire au plan des xy, qui soit égale à *' ; et le point M ainsi déterminé, appartient à la droite. On obtiendrait de la même manière tous les autres points.

Mais on peut se proposer de déterminer les constantes a, by «,C, d'après certaines conditions; ce qui donné lieu à une série de problèmes en trois dimensions , analogues à ceux que noua a présentés la ligne droite considérée sur un plan.

417. Première question. Trouver les équations d'une droite assujettie à passer par deux points donnés»

Appelons x' , y' , z les coordonnées du premier point, x" >y" y *" celles du second point. Les équations de la droite cherchée seront d'abord de la forme

x = az -f- «,.... (1) y = bz + Cj... . (a)

a, b, et, C étant des quantités inconnues pour le moment.

Or, les points (x' , y* ,z'), (x",y'f z*) appartenant a la. droite, leurs coordonnées doivent vérifier les équations (i)v (a) , et l'on a les quatre relations

x t= az -f- <£,.... (3)

En appliquant à ces six équations la méthode du n° ifô,

FftOBbBJMS SUR I.A LlAHt DSOITI. 53$

on trouve successivement

jd'ouJ * .

et par conséquent.

Ces deux dernières équations, qui ne renferment plus que les variables x, y, %, et les quantités connues x'9y', z, x',y"> &*, sont les équations cherchées.

iV. B. Quant aux équations x — a/ = a(« — *')* y — y = 6 (s — *') * obtenues dans le cours du calcul, elles caractérisent une ligne droite passant par le point (V, y > «'), puisqu'elles sont satisfaites par les hypothèses x = xf, y = y , z=.z. Les quantités a ,b se déterminent ensuite au moyen d'une seconde condition que l'on peut imposer à la droite ; dans le problème précédent, cette condition consiste à faire passer la droite par un second point

4*8. Seconde question. Par un point donné hors (tune droite j mener une parallèle à cette droite.

Soient x', y\ % les coordonnées du point On a pour les. équations de la droite donnée ,

x = az <+• «, y as bz ■+- C.

Celles de la droite cherchée sont (n° 417) de la forme

x — x' =5 a'(* — «'), y -yf = *'(*-*');

(a', V sont des quantités qu'il s'agit de déterminer).

Or, puisque les droites sont parallèles , les plans qui les projettent respectivement sur les deux plans des xz et Aesyz,

54^ FJUMttÈM» svn LÀ uove droits.

doivent être parallèles;- donc les intersections de ces plans rallèles avec les plans coordonnés, c'est-à-dire les proj tions des deux droites-, sont elles-mêmes parallèles. Ainsi l'on a .nécessairement (n° i5o) les relations a — a, b' = b\ ce qui donne finalement pour les équations de la droite cherchée,

419. Troisième question. Deux droites étant données par leurs équations, exprimer par l'analyse + que ces droites se rencontrent , et trouver * dans ce cas ., les coordonnées de leur point o? intersection.

x = az •+■ <*,.. .(1) j f j x = dz -f- «'>••• (3)

Soient {*"rî?- VI et (* = "* tl''- * \y = bz +C,. . .(2)/ { j = 6'* -f £',.. • •

les équations des deux droites.

Si elles se coupent, les coordonnées de leur point d'intersection doivent vérifiera la fois les quatre équations ci-dessus; ainsi , ces coordonnées ne sont autre chose que les valeurs de xf y, z, propres à satisfaire en même temps à ces équations ; et comme on a trois inconnues à éliminer entre quatre équations , on doit nécessairement (Alg., chap. I*1", n° 79) parvenir à une relation entre les constantes a,b.*,C,a, br, <l ,C

Les équations (1) et (3), (a) et (4)» retranchées successive* ment l'une de l'autre , donnent

o ss (ù — a')z + m — t/'9 d'où * = * ~ *

o = {b — U)z + e — C; d'où z as Ç J.

Or, ces deux valeurs de z doivent être égales ; on a donc

^£^==7^,aubkn, («'— *)(6 -6')— (C— b)(a—dy=o...(5)

Telle est la relation qui doit exister entre les constante», pour que les deux droites se coupent.

En supposant que cette relation soit satisfaite , on obtieitf