DETERMINEE I< AMOUB DE DEUX DXORBS SAM) ^ESPACE. §4T

-pour les coordonnées du point d'iutertectioo,

Soit, comme cas particulier, aa^a, b = tV, 00 qui signifie (n° 4 f8) que les deux droites sont parallèles; l'équation (5) est satisfaite et les valeurs de x , y9 z se réduisent à la forme

— j résultat analogue à celui du n° i5a.

420. Quatblème QUESTION. Deux droites étant données par leurs équations, déterminer l'angle qu'elles forment entre elles.

.„. i x = as + *. \ . / x = a'* -f »,

les équations des deux, droites.

Il jpeut se présenter deux circonstances a ou les droites se coupent, auquel cas , F équation de condition du numéro précédent est satisfaite; ou bien, elles ne se rencontrent pas*

Dans l'un et l'autre cas, si d'un point quelconque de l'espace, on conçoit deux autres droites respectivement parallèles aux droites données, c'est l'angle formé par ces parallèles qu'il s'agit de déterminer.

Pour plus de simplicité, nous prendrons le point dont nous Tenons de parler, à l'origine même des coordonnées. Soient donc AL, AL' (Jig. 287) des parallèles aux deux droites don- Fig.afy * nées , on a (n°*4*5 et 4 18) pour leurs équations,

y = b*9... I ' ( y = bz. ... . J v '

Pour obtenir l'angle LAL', prenon* sar les côtés, deux parties A M , AlW égales au rayon des tables , ou égales à 1 ; puis joignons les points M et M', dont nous désignerons d'ailleurs les coordonnées par a/, j/, z' et x"iy*> z*.

Cela posé, en appelant D la distance MM', on a (n° 411)

54^ DéTKRMfNKR l'àNOLE DB DEUX DROIT»

pour l'expression de cette distance,

D' = (x'— xt+ cy — />■ + (*' — zrr,

ou développant et observant que les coordonnées du point M «t celles du point M' sont liées (n° 4") P*r l«* relations

^.4.^+^=1,... (3) x^+y+^=if... (4)

D'un autre côté, le triangle AMM' donne (Trigon., n° 92)

Ma«* v AM + AM' — MM' a — D«

ou mettant pour D* sa valeur dans cette expression,

cos V = x'x'+y'y' + *V ... (5)

Donc tout se réduit maintenant à obtenir les coordonnées x' , y,^' et x* y y" 9 z* , en fonction des constantes a, b,a, b\

Or, le point (x', j/, z') se trouvant sur la droite AL, ses coordonnées doivent vérifier les équations (1); ainsi l'on a les

deux relations ■. 1 «/ ~ à ' 1

qui, jointe* k la relation (5) x'% + y* + *'V = i,

suffisent pour déterminer les trois quantités x yy\ z'.

Portons dans la troisième relation , les valeurs de xf et de,?"' que donnent les deux premières , il vient

(û*+ fr+ 1) z'*= I ; d'oè *'=; ce qui donne ensuite pour y et x' ,

yV+ b% +1 }/a% + b% + 1

On obtiendrait de la même manière pour les coordonnées

DANS L'ESPACE. 5fô

x* fy* ,z* du point M,

Substituant ces valeurs dans l'équation (5), on obtient enfin pour le cosinus de l'angle demandé ,

aa'+ W+i

cos V ^? ; ... u un „ , ■■mu.^jgaj.Jt'j *j • . • (6)

Cette expression, renfermant un radical , est susceptible clé xleux valeurs; et cela doit être, puisque les deux droites forment entre elles deux angles supplémens l'un de l'autre.

4^1. On peut trouver une autre expression de cosV, au moyen de certaines considérations dont nous ferons souvent usage.

Abaissons du point M {fig. 2*37) la perpendiculaire Mm au plan des xy, et menons mP parallèle à l'axe des y, on a, d'après cette construction, AP = a/, Pm=y, M/n = i', De plus, le plan MmP étant parallèle au plan des yz> la ligne qui joint le point M au point Pest perpendiculaire à AP; et comme on a pris AM=i , il s'ensuit que AP ou x est égal au cosinus de l'angle que forme la droite AM avec l'axe des x. On démontrerait d'une manière analogue que y et z sont égaux aux cosinus des angles que forme la droite avec les axes des y et «des z.

Donc, en appelant * ,C , y ces trois angles, on a les relations

xf = ços ce , y = cos C% z 5= cos ; .

On obtiendrait de même, par rapport aux angles *', £', y que forme la droite AM' avec les trois axes,

x"ttcos«, y = cos£', a;/aatcosy.

Ces valeurs étant portées dans l'équation (5) du n° précédent, donnent

cos V œ cos « cos « 4* cos £*cos G + cos y cos y' . . . (7)

544 DiTZBJONXR l/ANOLB J>C DEUX DROITES DANS 1? ESPACE.

422. On déduit des calculs précéderas plusieurs conséquences fort importantes :

i°. La relation (3) do n° 4*0, donne, lorsqu'on y remplace x, y' , z*,par cos«, cosC, cosy,

C0S*« + cos* £ 4- cos*^ =s 1 ;

ce qui démontre que la sojnme des carrés des cosinus des angles que forme une droite quelconque avec les trois axes, est égale à V unité; proposition qui résulte encore de la relation qui existe entre la diagonale d'un parallélépipède rectangle et les trois arêtes oontiguës (n° 41 0*

2°. Des relations x'=as', y'ssbzf, on déduit ass-^,

L if ' * A * COS« , COSff Q

D='*-7, et par conséquent. œ=t — , b s . . . (8)

z ' r ^ cosy cosy

Donc, les constantes a, b, des équations d'une droite, ont respectivement pour râleurs, les rapports des cosinus des angles que forme la droite avec l'axe des x et avec F axe des j, au cosinus de l'angle qu'elle forme avec l'axe des z.

3°. Enfin, les équations (8) , ou

cos« = acosy, cos £ = 6 cos y, étant élevées au carré et ajoutées avec.l'identité cos'y = cos*y ,

donnent oosV+cos'C+oas'y, ou i=(a*4-Jâ+i)co8ay*> donc

COS> = , r C0SC= —====,

a cos« = 1 . — -=r... (q)

Ces dernières formules donnent les angles que forme une

droite avec les trois axes, connaissant les tangentes a, b9 des

angles que le$ projections sur les plans des xz et desyz, font

avec Paxe des z.

'Réciproquement* lorsqu'on donne les angles que la droite

CONDITIONS DE *AÇAÇl£{,ISME , etfi, 5$

forme avec les trois axe*9 les formules (8), font connaître 'les constantes a, b des équations de la droite.

Nous observerons à* ce sujet que, d'après ja relation

cos'« + cos'É + cos*^= i , qui îie-lets angles pl9 C, y9 on ne peut donner arbitrairement que deux de ces angles ; et la relation donne la valeur correspondante en '-troisième angle.

4^3. Reprenons la formule (6) ,>«b voyant -ce.qufeUe devient dans les deux hypothèses ouJeadroiie^donnétt sont parallèle» ou perpendiculaires entre elles. t •

Dans le premier cas, on doitavoif coffVs^iyet.l'on obtient entre a, b> a' > ô', la relation ,

Faisant disparaître le radical , développant et réduisant > on peut la transformer ainsi :

(a — a )•+ (b — *')*+ {abr — •*&')•= o,

équation qui ne peut évidemment exister, k moins qne Von n'ait séparément, a=.a\ &=&', ab'=baf.

La dernière de ces trois relations est implicitement comprise dans les deux autres; et l'on sait déjà (n* 4*8) que celles-ci expriment qne deux droites, dans l'espace, sont parallèles entre elles.

Dans le second cas, cos V doit être nul; ce qni donne nécessairement dc'+ii'+ï— «•

Telle est la condition qui exprime que deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre; ce qui peut avoir lieu d'ailleurs, sans qne ces droites se coupent.

En j réunissant l'équation

ça- a') (C— q - (b — b1) (•' ■- «) = o,

trouvée n° 4*9* on aurait les deux relations qui doivent exister entre les constantes, pour que les droites se coupent à angle droit.

546 CONDITIONS BB PARALLEUSME, elC

La formule (7) devient, dans la même circonstance, cos a co8 «'+ cos C cos C -f- cos y cos y'z=z o ;

résultat dont nous ferons* usage par la suite.

424. Nous pourrions, à Faidedes principes qui Tiennent d'être établis, résoudre en trois dimensions le problème que nous arons résolu (n° 157) en deux dimensions: abaisser d'un point donné hors d'une droite une perpendiculaire sur cette droite, et trouver la longueur de cette perpendiculaire.

Soient, en effet , x = az -f- *f y = b% -f- C , les équations de la droite donnée. Si l'on appelle^', y, z les coordonnées du point 1 on a (n° 41 7)1 pour la droite cherchée , deux équations de la forme x — x'=t=a'(s — *'), y — y=b'(z — *') j

les quantités a', fr' sont les seules constantes qui restent à déterminer.

Or, puisque les deux droites doivent être perpendiculaires l'une à l'autre, on a cette première relation aa-j- bb'+ 1 = o ; d'ailleurs, pour qu'elles se coupent , il faut (n° 4 19) que l'on ait

ou mettant à la place de ?, a', leurs valeurs y — b'z et

x'— aV,. . . (a— o!) (/— iV— C) — (A— 5') (x'— aV— *) = o .

Cette relation, combinée avec aa'+ bb'-j- 1 = 0, donnerait les valeurs de o', V, qui , reportées dans les équations de la seconde droite , conduiraient finalement aux équations de la droite cherchée.

Mais les calculs, et ceux relatifs à la seconde partie de la question , ne laisseraient pas que d'être assez compliqués ; et noua verrons bientôt un moyen beaucoup plus simple de résoudre ce même problème.

4*5. Scholie général. Les principes établis sur la ligne droite > depuis le n° 4 1 3 j usqu'au n° 4*9 inclusivement , sont vrais , quelle que soit l'inclinaison des axes coordonnés. Ainsi ,dans le cas d'axes

obliques, les équations d'une droite sont toujours de la forme « "

seulement, les droites au lieu d'être projetées sur les plans coordonnés par des perpendiculaires à ces plans , le sont (n° 4'o) parallèlement aux axes; et les quantités a9 b n'expriment plus des tangentes trigonométriques , mais des rapports de sinus; les constantes à , C conservent la même acception.

Les équations d'une droite passant par deux points donnés, les conditions de parallélisme de deux droites, etc. , sont augsi indépendantes de l'inclinaison des axes ; mais il n'en est pas de même de la question qui a pour objet la détermination de l'angle de deux droites , et de toutes les conséquences qui en ont été dé- . duites, puisqu'on a fait entrer en considération l'expression de la distance entre deux points donnés.

Cette remarque est importante pour les jeunes gens qui voudraient faire quelques applications de ces principes.

§ III. De l'Équation du plan et de ses combinaisons avec les équations du point et de la ligne droite.

426. De même qu'une ligne droite est fixée de position sur un plan par une équation du premier degré entre les coordonnées x y y de chacun de ses points rapportés à deux axes , nous allons reconnaitre qu'un plan se détermine aussi de position par rapport à trois autres plans, au moyen d'une équation du premier degré en x, jr , z\ ces variables désignant les distances de chacun des points du plan aux trois plans coordonnés.

Soient DB, DC (fig. a38) les traces d'un plan quelconque, Fig.o3& c'est-à-dire les intersections de ce plan avec deux des plans coordonnés (qui peuvent être indifféremment rectangulaires ou obliques ). '

Parmi les différentes manières de concevoir une surface plane* il en est une qui consiste à la regarder comme engendrée par le mouvement d'une droite indéfinie qui glisse le long d'une autre droite, aussi indéfinie, sans cesser d'être parallèle à elle-même,

548 Equation du flan*

Ainsi, par exemple, si par les diflerens points de la droite DB, on imagine une suite d'autres droites D'C, D"C*<.., parallèles à DC , il est évident que cette suite de droites appartient au plan que nous considérons; par conséquent, ce plan peut être regardé comme engendré par le mouvement de la trace DC, le long -de la trace DB, de manière à rester constamment parallèle à sa direction primitive.

C'est cette propriété caractéristique que nous allons essayer de traduire en analyse. v

Comme la droite DB se trouve tout entière dans le plan des xz, ses équations sont (n° 4'5) de la forme

y=o, z = mx -f- p. . . . (1)

Par une raison analogue, les équations de la trace DC sont

x = o, z = ny + p . . . . (2)

(Nous supposons ici les équations résolues par rapport à s, parce que les deux traces doivent passer par un point D , dont le z (ou/?) est commun aux seconds membres de ces équations.)

Cela posé, considérons la trace DC dans une situation quelconque, D'C par exemple; on a nécessairement (n° 4*8), pour les équations de cette droite parallèle à DC,

x — *, * = ny +£;••• • (3)

a, C sont des quantités constantes pour tous les points d'une même position D'C de la génératrice, mais variables d'une position à une autre D"C".

Il nous reste encore à exprimer que la génératrice rencontre dans toutes ses positions la trace DB ; et , pour cela , il faut (n° 4!9) écrire en analyse que les équations (1) et (3) ont lieu en même temps ; ce qui donnera une relation entre les indéterminées *, Cet les quantités connues m, n, p. Combinons 4onc ensemble ces quatre équations.

La seconde des équations (3) devient , à cause de la première des* équations (1) , * = C.

Portant les deux valeurs x = « , z = C, dans la seconde des

«+ ÉQUATION DU tbA*. 5fo

équations (i), on obtient pour la relation demandée ,

Observons actuellement que , pour chaque position de la génératrice; les équations (3) et l'équation (4) doivent être satisfaites simultanément; donc (n° 2i4) > si l'on élimine entre ces équations les indéterminées *, C f l'équation résultante en a?, y, \ et quantités connues, appartiendra aussi à tous les points du plan.

Or, les équations (3) donnant <* = a:, C =z z — ny}

l'équation (4) devient

z — ny =• mx + p ; ou bien r z = mx + ny + p . . . (5)

Telle est , en général , l'équation qui exprime la position d'un plan dans l'espace , et qui en est , pour ainsi dire , la représentation analytique.

Pour faire concevoir comment cette équation représente chacun des points de la surface plane, supposons qu'on ait pris pour les variables x, y, un système de valeurs x = ÀcT , y = de , Si. du point c' on élève c'E' perpendiculaire au plan des xy , et égale à la valeur correspondante de z , tirée de l'équation (5), le point E', ainsi déterminé, appartiendra au plan , et ne peut appartenir qu'à lui.

Même raisonnement pour d'autres valeurs attribuées k x et ky.

N. B. De tous les moyens qu'ont emploie ordinairement pour trouver l'équation du plan, nous avons préféré le précédent , d'abord , parce qu'il a l'avantage d'être indépendant de l'inclinaison des axes coordonnés, et ensuite, parce qu'il s'applique à la recherche des équations d'autres surfaces dont la génération offre de l'analogie avec celle du plan. Nous en ▼errons des exemples par la suite. v

427* Les constantes m, ra,p, qui entrent dans l'équation du

55o ÉQUATION DU PLAN.

plan , sont faciles à définir. Les quantités m et s ne sont antre chose que les tangentes des angles que forment les traces DB, DC avec les axes des x et des y. Quant a la quantité p , on l'appelle le z à l'origine ; c'est la distance de I? origine au point où le plan rencontre Vaxe des s.

Lorsque le plan nasse par l'origine , on a p ==* o, et l'équation se réduit à

z = tnx + ny ,

équation qui est , en effet , vérifiée par jc = o,^=o, & = o.

4^8. Je dis que , réciproquement,, toute équation du premier degré à trois variables ,

Àx + By+Cs + D =;o,

appartient à un plan.

En effet f onen déduit

Or , si Fon considère deul droites dont les équations soient

• i. !• -* AD

pour la première, t=so et a=r — -** **• 7**

et pdnr la seconde, a? = o et 2=— p^-1-^,

on peut regarder ces droites comme les traces d'un plan sur ceux des xz et des yz ; et si l'on recherche l'équation de ce plan d'après là méthode in n° 4*6, on trouvera nécessairement

du bien, Ax + By + C« + D = o. . . (1)

Donc, réciproquement, etc. t

N. B. Quoique l'équation z = mx + ny+p ne renferme que trois constantes, tandis que Féquatiott (1) eh renferme

' EQUATION DV PLAN. 55 1

quatre j elle n'en est pas moins aussi générale que celle-ci) dont le premier membre peut toujours être divisé par- Fun de ses coefficiens. Mais nous considérerons presque toujours l'équation du plan sous la forme (i), parce qu'elle est plus symétrique , et qu'en outre , lorsqu'on aura à déterminer un plan d'après certaines conditions, comme l'équation (i) renfermera une constante arbitraire de plus que l'équation •

z = mr + ny+p, on en profitera pour introduire certaines simplifications dans les calculs.

Cette remarque est très utile.

Faisons successivement x=o,<y=o,z = o, dans l'équation

Àx + % + C* + D = o;,

il en résulte pour x = o, B,y + C* + D = ° >

pour ^ = o , Â*r -f- Ca + D = o ,

et pour 4 = 0, Ax + B^-f-D = o j

ce sont les équations des traces du plan sur les trois plans des , yz y des xz et. des xy.

En posant a la fois x = o, y = e> , l'on obtient z =«*— -— ;

ce qui donne tes coordonnées du point où le plan rencontre * l'axe des &

On aurais de même

x = o, £=*o, dou ^ =» -p- •»,

J = o, * = ot d'où a;=>— -r^,

pour les coordonnées des points ou le plan rencontre l'axe des y et l'axe des x.

429. On peut faire entrer dans l'équation du plan les distances de l'origine à ces trois points d'intersection, et l'équation prend alors une forme très élégante.

Posons, en effet,

55a PROBLEMES SUR LB P&AK.

il en résulte À = — — , B = , C= ;

d'où substituant dans l'équation du plan et réduisant,

r$ . x + q$*y + qr *z s=s qrs j

équation analogue à celle qui a été obtenue pour la ligne droite (n° i^5) ,,et pour les équations de l'ellipse et de l'hyperbole, rapportées a leurs axes.

Elle ne renferme, comme l'équation s=mx-\-ny -j- pt que trois constantes ; mais elle «st plus symétrique.

43o. Nous allons maintenant nous occuper de la résolution d'une série de questions relatives au point, à la ligne droite, et au plan, qui, avec celtes que nous avons déjà traitées (n° 4*6 et suivans), constituent ce qu'on appelle, les préliminaires de la Géométrie analytique à trois dimensions*

Première question. Faire passer' un plan par trois points donnés.

Désignons par (*',/, *')> fr',y\ *') > (**> y"> *") les «»^ données des trois points , et par

Aa -f By + Gs + D = o (i)

l'équation du plan cherché; A, B, C, D sont des constantes qu'il s'agit de déterminer.

Puisque le plan est assujetti a passer par les trois points % son équation doit être vérifiée, lorsqu'on y remplace successivement x ,y , *, par les coordonnées de chacun de ces points; ainsi , l'on a les trou relations

Àx' + B/ +C*'+D=o, Ax* + By* + C*' +B = o ,

Ax* -f By* 4- dm + D = o ,

qui Cuvent être transformées de la manière suivante :

En appliquant à ces équations les formules du premier de-

gré à trois inconnues (A [g., chap. 1er, n° 66) , et observant que le

coefficient D étant tout-à-fait arbitraire, on peut Pégaler à la

quantité qui sert de dénominateur commun aux trois expres-

A B G sions de —,—,=- , on trouve , tout calcul fait ,

B = — /i, + iV- «V+xV- z'of + %'xm9 C= — afy'+afj*— x*ym+y'x'-yxm+y'xm.

Il ne s'agirait plus maintenant que de substituer ces valeurs dans l'équation (i), et Ton aurait l'équation demandée.

43 1. Seconde question. Faire passer un plan par an point et une droite donnés.

Soient x',y', *' les coordonnées du point,

— A -L. t I — (*) > ^es équations de la droite j celle du plan cherché sera de la forme

Ax-f-By + Cz + D=o... (*)

Gomme ce plan doit passer par le point Çxf9yf, *0> on a, pour première relation,

Ax' + By+Vv + D-io; ... (3) d'oh , retranchant les équations (a) et (3) Pane de l'autre, A(i — *') + BCk — /) + C(*— «') = «••• (4)

554 EBOBLiitst ami la mors*

Cest la forme caractéristique de l'équation d'un plan passant par un point donné y nous aurons souvent occasion d'en faire usage.

Maintenant, il faut exprimer, par l'analyse, que la droite donnée se trouve tout entière dans le plan cherché; et, pour cela, il suffit d'écrire que les coordonnées xt y, » de tous les points de la droite vérifient l'équation du plan. Or, en substituant pour x et y leurs valeurs tirées des équations (1), dans, l'équation (a) , il vient

A (a* + m) +B(bz + C) -f Cs +D = 05 ou bien , effectuant les calculs et ordonnant par rapport a z,

(Àa -f- Bi + Ç) * + A* + K ■+- D 33 o.

Mais cette équation doit se vérifier indépendamment de toute valeur particulière attribuée à % \ ainsi chacune des quantités. Aa + B6 -f- C, A« + Bff -+• D , doit être nulle séparément; et l'on a les deux nouvelles relations,

Aa + B6 +C =*o,. . . . (5) A* + BC-|~Dj=o, (6)

. pour exprimer que la droite est comprise tout entière dans le plan.

En soustrayant la dernière de ces relations de l'équation (3), on obtient

AO/ — *) + B(/-C) + Csy = o,.... (7)

équation qui ne renferme plus D, et qu'on peut substituer à

l'équation (6).

La question se réduit donc à trouver les valeurs de A, B, C,

A B ou plutôt, des rapports — , — , à l'aide des deux relations

Or, on trouve par l'élimination ,