OOS V

■ ' ; , -i Trr, , ni rn n^ulr , ,11 i in i.iuujl»

Donc, en remplaçant a, <**, 6, b'' pur heurs râleurs, on obtient, toute rédaction faite,

AÀ' + BF + CC

COS. V =3 * . " "" M ■" ■ ■■ '"in > . ■• ■ i«^i

expression indépendante de D , D* ; ce qui doit être , car tous les plans parallèles aux deux plans donnés ferment entre eux le même angle que ceux-ci.

Le radical que renferme cette expression , rend le signe de cos Y, indéterminé j parce qu'en effet les deux plans font entre eux deux angles, l\iu aigu et l'autre obtus; cette indétermination cesse dès que l'on sait d'avance de quelle espèce es* l'angle cherché.

Examinons quelques cas particuliers.

44°« Si les deux plans sont perpendiculaires entre eux , on doit avoir cos V = o ; ce qui donne l

ÀÀ/4-BB'H-CC' = o,

pour ta condition de perpendicularité de deux plans.

Supposons les deux plans parallèles êjitre eux, auquel cas,, on a cos V = î • si l'on égale h l'unité le second membre de

566 anoles d'fn pi*an avec lbs FLANS COORDONNAS.'

la formule ci-dessus, et qu'on développe les calculs, on trou-? ver a, toute réduction faite,

(à* — b Afy + (lc ~ ck'y + (bc — cB'y = o ,

équation qui entraîne nécessairement avec elle lés conditions,

AB' — BA'=ot AJC' — CA'=o, BC — CB'=o;

Ge sont les conditions déjà obtenues n° 437.

44 1* Faisons maintenant coïncider l'un des deux plans avec chacun des trois plans coordonnés. On obtiendra, par ce moyen, les cosinus des angles que forme un plan donné avec les plans de projection.

Supposons, par exemple, que le second plan soit le plan des xy. Comme l'équation A'x -f- B'y + C'a «+• P' = o doit se réduire à a= o , il faut que l'on ait

A'=o, B'rso, D'=o;

et la valeur de cos Y se réduit à

cos (jv) = — - . . (1)

JJ i/A' + B' + C»

[oos (xy), cos (a?s) , cos (jrx) sont des notations que nous adopterons pour désigner les cosinus des. angles qu'un plan forme avec les plans coordonnés/)

Par un raisonnement analogue, on obtiendrait pour les angles que le premier plan forme avec les deux autres plans coordonnés,

cos(ara) = . — ,...(a) cos(yg)~ . =....(3)

Si l'on ajoute entre elles les équations (1) , (2) , (3) , âpre* les avoir élevées au carré, on trouve

cosa {xy) -f- cos* (xs.) -J- cos* (yz) = 1 \

TROUVKH l'*NOIA d'vNB DROITE ET d'u* PI*A*. 56^

relation analogue à celle qui a été trouvée (n° 4«) entre les cosinus des angles qu'une droite forme avec les trois axes.

Désignons de même par cos (xy)\ cos (x*)', cos (yz)[ les cosinus des angles qu'an second plan danf l'espaœ- forme avec les trois plans coordonnés) on aurait également

M cos (y*Y == ,-. ■ . ■— >

En multipliant ces trois expressions respectivement par celles de cos (xy) > cos (ara) , cos ( j'z) , et ayant égard à la valeur de cos V , on a cette nouvelle relation ,

cosOry) . cos^^'-J-cosCx*) . cos(:tje)' +cos(y*) . oos(y«)'=scosV.

Enfin, si les deux plans sont perpendiculaires entre eux, on doit avoir

cosOcy).cos(;ryy + cos(x«). cos(xs)'+oo8(,ys). cos(^s)'==a.

Tous ces résultats sont utiles dans le problème général de la transformation des coordonnées en trois dimensions.

44*» HintsfcMB Rr marottes question. Trouver l'angle d'une droite et d'un plan danè l'espace.

Si d'un point quelconque de la droite on abaisse une perpendiculaire sur le plan donné, et qu'on joigne le pied de cette perpendiculaire avec le point ou la droite rencontré le plan , la ligne de jonction est , comme on sait , la projection de la droite sur le plan. Gela posé, on appelle angle d'une droite et d'un plan celui que forme la droite avec sa projection sur le plan. Or» il est évident que cet angle est le complément de celui que fait la même droite avec la perpendiculaire abaissée sur le plan.

Soient donc J ~ , , - > les équations de la droite

donnée, Ax + By-hCz+D=e celle du plan.

$66 T^fnprBtLr t^ça^s puy* ihmmtb sr tfro non. Les équations d'une droite perpendiculaire à ee plan feront

==t/ , g/T> fl'ii' ayant (n° 463) pour valeurs