CHAPITRE YIII

Des surfaces courbes, et eti pârtkmKer des surfaees

du second degré.

Notions préliminaires. (

444* Unb surface courbe étant donnée de forme et de position dans l'espace, si, après. avoir traduit-algéhri^ement une de ses propriétés caractéristiques, on parvient à une relation F (j? , y , z) as o entre les coordonnées de chacun de ses points, cette équation est dite V équation de la surface* et la détermine complètement*, car, en prenant pour deux des variables des valeurs arbitraires, on tire de l'équation une ou plusieurs valeurs de la troisième variable ; et le point correspondant a chaque système de coordonnées se trouve nécessairement sur la surface, puisque, par hypothèse', 1'âquatlon convient à tous les points, et ne convient qu'aux points de cette surface.

446* Réciproquement, toute équation, F(op, y , a) ss •,« . . (i)

dont les variables xfy , % expriment des distances à trois plans rectangulaires ou obliques, comptées parallèlement aux intersections de ces plans, a pour lieu géométrique une certaine sur» face* dont la nature et la forme dépendent de la manière dont les variables sont combinées entre elles et avec d'autres quantités constantes, données à priori.

Pour démontrer cette seconde proposition rigoureusement-, considérons une seconde équation

57<> *VA iU SUHÏACBê OOURBBS»

et recherchons le lieu de tous les points dont les coordonnées sont susceptibles de vérifier à laioU les équations (1) et (2).

D'abord, si l'on élimine entre elles une des trois variables, y par exemple, l'équation résultante

exprime une certaine relation .entre des coordonnées de points situés dans le plan des.fxz, et appartient, par conséquent (n° 4*4)> * une ligne courbe située dans ce plan. Mais en imaginant, par les différens points de cette courbe, des perpendiculaires au plan des xz, on forme, dans l'espace, une surface (dite surface cylindrique) pour chacun des points de laquelle les x et z sont les mêmes que ceux de la courbe*, ainsi 1* équation (3) convient également a toupies points de cette surface, et ne peut convenir qu'à ces points.

De même, Féquatnm. > /(;,»)«o,,... (4)

qni résulte de l'élimination de x entre les équations (1) et (2) , caractérise tous les points d'une surface cylindrique dont les arêtes sont perpendiculaires au plan des y*>,et qui a pour base la courbe représentée par l'équation (4).

Il suit de là que le système des équations (3) et (4), lequel peut remplacer celui des équations (1) et (2), appartient à tous les points qni se trouvent à la fois sur les deux surfaces cylindriques, et, par conséquent, à leur intersection commune qui , en général , est une ligne courbe. Donc aussi le lieu des points dont les coordonnées satisfont en même temps aux équations (1) et (a) est une ligne; ce qui exige que les lieux géométriques de ces équations soient des surfaces, et non des solides j comme on pourrait d'abord se l'imaginer.

On doit remarquer cependant que, si l'équation (1), outre les variables xy y > z, renfermait une ou plusieurs indéterminées, cette équation fournirait autant de surfaces différentes que l'on pourrait donner de valeurs aux indéterminées; en sorte que, dans ce cas, le lieu géométrique serait l'assemblage

SUR LES SUfifACES COURBES. 6^1

d'une infinité de surfaces ocf de couchée infiniment minces , qui formeraient alors, à. proprement parler, un solide.

446* Supposons actuellement que l'on ait trois équations,

FGr,^,*)*=o, ** (*>.?> *) = <>> F'(x,yxz) = of

existant en même temps pour difeérefts points.

Comme les deux premières équations caractérisent tous les points de la ligne d'intersection des surfaces exprimées par ces équations , que la première et la troisième caractérisent la ligne d'intersection des surfaces qui leur appartiennent, il s'ensuit que les trois équations, conviennent aux points où ces lignes se rencontrent , c'est-à-dire à ceux qui se trouvent à la fois sur les trois surfaces , et l'on obtiendra les coordonnées de ces points en éliminant x , y>z entre les équations proposées. Le nombre des points communs est égal au nombre des systèmes de valeurs réelles de xt y, z propres a vérifier ces équations, simultanément.

447* On peut conclure des considérations précédentes,

i°. Qu'une seule équation entre trois variables x, y,z détermine analytiquement une Surface;

2°. Que le système de deux équations en*,y, * oaracté* rise une ligne courbe désignée ordinairement sous le nom de courbe à double courbure (comme tenant de la nature de l'une et l'autre surfaces représentées par les deux équations).

Cette même courbe est encore déterminée par les équations de deux de ses projections; ce sont (n° 44^) Ie8 équations qu'on obtient en éliminant successivement y et x entre les équations proposées;

3d. Que le système de trois équations en x, y, z tee la position d'un certain nombre de points dans l'espace; en sorte qu'il n'est pas toujours nécessaire de se donner explicitement les coordonnées de ces points, mais bien les équations de trois, surfaces sur lesquelles iU se trouvent pinces.

5^2 TBANSFOBMAVION

Ces premières notion* étant établies, nous allons nous occuper de la résolution d'un problème analogue à celui par lequel nous ayons fait précéder la théorie des courbes du second degré; c'est celui, de la tran^ormation des coordonnées eu trois dimensions. ,,

§ Ier. Transfiamatioit des Coordonnées dans

Pespace.

4f& Étant donnée V équation d'une surface courbe rapportée à des axes rectangulaire* ou obtiquetj on propose de déterminer V équation de cette même surface rapportée à de nouveaux axes de même origine ou d'origine différente.

Pour résoudre cette question , il faut tâcher d'exprimer les anciennes coordonnées x9y , z en fonction des nouvelles jf , y' , z,' ; après quoi, substituant ces valeurs dans l'équation primitive , on obtient l'équation demandée.

Or, quelle que soit la méthode qu'on emploie, il est aisé de reconnaître, à priori j que les vateurs de x,yf zenx* f y , zf sont du premier degré et de la forme

mx" -f- m'y'

nx* + n'y

nV

s es

pz

En effet , elles doivent être telles , que si on les applique au plan , l'équation de cette sur&oe ne cesse pas (n° 4*6) d'être du premier degré; oe qui n'aurait pas lieu dans le cas oh quelqu'une des variables si , y , J , se trouverait élevée è la a°, 3* puissance.

Nous n'entreprendrons pas de déterminer les constantes m, m'. ..,/», n'y. . . dans le cas le plus général, parce que les formules en sont peu usitées; et nous nous bornerons aux cas snivans:

449* Phjuokr cas, Passer d'un système de coordonnées ree-

dbs coannotmi». 573

tangulaires ou obliques à un système de coordonnées parallèles dJ origine différente*

Soient AX, ÀY, AZ (fig. ^4°) ^ anciens axes; A'X', Fîg.ajo. •AT', A'Z' les nouveaux, q*e nous supposons parallèles aux premiers , et prolongés jusqu'à leur rencontre avec les plans des yz9 xz, xy\ les parties A'B, A'C, A'D représentent les coordonnées de la nouvelle origine A' rapportée aux anciens axes. Si d'un point quelconque M delà surface, nous menons les coordonnées MP, MQ, MR, ces droites perceront les plans y*' , a/z'y xê y' aux points P'f Q' , R'; et l'on aura

MP = x, MQr=^, MRsas,

pais MP^*', MQ'»/, HR'e^

et

PT = A'B = a, Q'Q = A'C = £, R/R = AD==Sc;

ce qui donne, par conséquent, les relations •

xssa/ + a, y=y + b, «=sfif + c.

Telles sont les formules au moyen desquelles on passe d'un système quelconque de coordonnées à un système de parallèles.

Les signes des quantités a,b9c font connaître (n° 406) dans lequel des huit angles solides formés par les trois axes primitifs, se trouve la nouvelle origine.

JV. B. Dans tout ce qui Ta suivre, nous supposerons que l'origine reste la même, parce que, si elle était différente, on commencerait par transporter les axes parallèlement à eux-* mêmes d'après les formules ci-dessus, et l'on changerait ensuite la direction des axes autour de la nouvelle origine.

45o. Second cas. Passer d*tm système rectangulaire à un système oblique de mime origine.

La méthode que nous emploierons pour obtenir les formules relatives a ce nouveau cas, est fondée sur la proposition suivante :

F*>*i. Soient LL', KK' ifeg. 241) deux droites indéfinies sttuéfe* ou non situées dans un même plan. Abaissons de deux points A, & de la première droite dee lignes La, Bo perpendiculaires sur la seconde; la partie ab de cette seconde droite est dite la projection de AB sur. KK.'. Cela posé, je dis que l'on a oA = ABoosv, v désignant l'angle que les deux droites LL% KK' font entre elle*.

En effet, soient n^enés par les points A, B, deux plana MN, FQ perpendiculaires à KE'i ces plans contiennent les deux perpendiculaire» Atf , B6 déjà abailsées.

Du point A tirons ensuite AI perpendiculaire sur le plan PQ , et joignons te point B avec le point I où cette perpendiculaire rencontre PQ*, le triangle AIB est rectangle en I, et donne (n° 85)

AI = AB . cos BAI.

Mais Al = ab, comme parties de parallèles comprises entre plans parallèles; d'ailleurs l'angle BAI n'est autre chose que l'angle des deux droites LU, K.K'. Donc enfin

ab = AB cos v;

c'est-à-dire que la projection d*une droite sur une autre est égals au produit de la droite multipliée par le cosinus de Y angle qu'elle forme avec sa projection.

Appliquons ce résultat à la question proposée. fig.*4?. Soient AX, AY, AX (fig* afc) trois âmes rectangolaires; AX' y AT' , AZ' trois axes obliques» Menons d'un point quelconque M de la surface les anciennes coordonnées MP> PQ, AQ, et les nouvelles MP\ FQS KÇjf , puis des points M, Y ,Q[ concevons trois plans perpendiculaires à AX. Il est évident que le plan mené par le point M coupe AX au point Q , puisqu'il se confond avec le plan MPQ. Quant aux deux autres, soient p'y <f leurs points de rencontre avec AX.

Il résulte de cette contraction que la distance AQ ou a: se compose de trois parties A(f , q'p', p'Q, que l'on peut regard der comme les projections respectives des coordonnées AQ',

P'Q' /MF , ou .*', y', 2' sur l'axe des x. Donc, en convenant de désigner par (x'f x), (/ > x), (&', ar) les angles que les «ou» veaux aies forment avec l'ancien axe des x, on aura, d'après le théorème précédent ,

x = af cos(x', x)+ycos(y, à:) + *' cos(^, x).

Concevons actuellement qu'on ait projeté de la même manière les coordonnées x' , y* , z' sur chacun des deux axes des y et des *; et employons des notations analogues aux précédentes ; on obtiendra également

y «s x< cos {x',y) + J cos <jr',y) 4- »'. cos {z',y)y 2 qce a?' ops (*f, a) + y cos i/ > *) + *' «os (*', s).

Les neuf constantes qui entrent dans ces trois formules sont d'ailleurs liées entre elles (n° /fa2) par les relations

. cos* (x#, x) + cos* (x', y) + cos* (j/, z) = 1, cos* (y, x) + cos» (/, y) + cosa (/, a) = 1, cos* (s', x) + cos* (z',y) + cos* (*', z) = 1.

45i. Tboisiàme cas. Passer d'un système rectangulaire à un autre système rectangulaire de même origine.

Les formules sont les mêmes que dans le cas qui précède; mais il faut joindre aux relations déjà établies entre les cosinus, celles qui expriment (n°* 4ai et 42^) 9ue les nouveaux axes sont perpendiculaires deux à deux; ce qui donne, en vertu du numéro que nous venons de citer ,

cos(x',x)cos(y^)+co8(xV)cos(^^^)+oos(xV)cos(y>a)=sol <Sos(xV)cos( z',x)4-cos (x', y)cos( *V)-r-cos(x/^i)cos( *»=o f ces(/,r)cos( s',x)+eos (/*r)cos(s',;y)-r-co8( y',*)cos( z»=o .

On voit donc que les constantes qui entrent dans les for-* mules relatives au cas actuel , sont liées entre elles par six relations différentes; d'où il suit que de ces neuf cosinus, il n'y en a que trois dont on puisse disposer arbitrairement.

Il exista^*, ftfet^d'aufcre* formula* propres à foire paner d'an système TOCta^gulytae , à un autre de mène espèoe , et dans lesquelles on ne fait entrer en 'considération que tarir constantes* savoir :

i°. L'angle que la trace du plan des x'y sur le plan des xy9 forme avec "ancien axe des p;

3°. LVngle que Yônl entre eux te plan des xV et celui des'xy-, f

3*. Enfin', Pangte' que éiit Taxe des a/, avec la trace dont nous venons de parler.

Il est aisé de reco&nadtr«H]uevce^ années suffisent pour fixer la position des trois nouveaux axes, par rapport aux anciens ; mais ces formules étant très compliquées et peu symétriques, nous renvoyons, pour leur .détermination^ au tom. Il, numéro Ier de la Correspondance dé l'École Polytechnique , ouvrage dans lequel nous avons puisé également la méthode suivie dans les deux derniers cas de la transformation des coordonnées.

Cas particuliers du précédent,

45s. On peut, en conservant l'un des anciens axes, celui des s, par exemple, changer la direction des deux autres axes dans le plan des xy.

Fig»a{3. Dans ce cas/on a évidemment [fig* a43)

c°* (S \ x) — °°s [ioo° + (x', x)] as — sin (a/, x),

cos(j/,js) MOj

cos (x', y) = sin (x*, x) , cos C/,jO as cos (x', x) .

cos (a/, s) = o, eos fy', a) = tf, cos (z', *) = t ; ce qui donne , pour les formules correspondantes,

x = x' cos (x', x) — y sin (/, x), .

^ = a/ sin (x',x) -+-/ cos (/, x),

Los deux première* sont identîqfces ated eéHéâ tlti ti° 222 , parce qu'en effet , tout te réduit ici à aMttfgaple transformation de coordonnées en deux dimenstonfe. f t °'i -

453. Nous verrons , par la suite, que, pour discuter une surface courbe dont la position est déterminée, au moyeu d'une équation F {x ,yf %)= q entre des coordonnées rectangulaires, il faut déterminer les intersections de cette surface par des plans menés. sous~duTéren|ea inclinaisons. Or, en combinant l'équation F (xyy>£) = o avec Téquatîon^d'un plan,

Àr +By.-+t G* 4»'D<» o,

et éliminant l'une des 'variables. * par exemple, qn obtient une équation F* (x, j/) = o, qui représente (n° 4^8) la projection de la courbe d'intersection sur te plan des xy9 mais qui y en général , n'apprend riçn sur la courbe elle-même* Pour connaître la nature de celle-ci, il faudrait tâcher d'en avoir l'équation dans le plan donné, et c'est à quoi l'on peut parvenir aisément par la transformation suivante :

Prenons pour plan des x'y'> le plan dont on demande l'intersection avec la surface; pour ax$ des x\ la trace AC (Jig. ^44) <te ce P^an sur celui des xj\ l'axe des y est alors Fig.itf* une perpendiculaire AD menée à cette trace dans le plan sécant, et Taxe des % une perpendiculaire à Ce plan. 'Nommons d'ailleurs ? l'angle CAX, et 6 l'angle que forme le plan sécant, ou le plan des x'y' avec celui de* xy~

Ces deux angles , dont la connaissance suffit pour fixer la position des trois nouveaux axes , peuvent être donnés à priori / ou bien, on peut les obtenir facilement d'après l'équation

A* + Bjr + C* + D 3= o.

On a d'abord (n° 440 P°ur l'angle #,

cos 6 =

V±? + BV + Ct -

Quant à l'angle f , comme l'équation de la trace du pian

5^8 TRANSFORMATION DB* OOOaDONNlES.

sur oelai des xy est

Lx -|- By + P = o,

y Pensait que — -g exprima Juv^l^mr 4a Ungf.

Cela posé 9 pour rapporter la surface courbe au nouveau système d'aies , on a les formules déjà établies n° 4^i, qu'il ne s'agirait qtie de substituer datte Féqaartidn F (x , jr , s) = o.

Mais puisqu'on a pour but de trouver l'intersection de la surface avec le plan des x*y\ il faudrait faire ensuite / = o dans l'équation transformée; et Pon voit que cela revient à poser sur-le-champ */ = o dans les formules du n° 45 1 ; ce qui les réduit k *

x sas xf cos (ar*, x) + y cos C/, x), -y = x* cos (x', y) + / cos (/, j)i s = x9 cos (j/, s) + / cos (y', s),

et à porter ces valeurs dans l'équation

Mais il reste encore à exprimer tes constantes qui entrent dans ces formules , en fonction des seules données nécessaires fêta.

A cet effet , considérons l'origine A comme le centre d'une sphère dont les intersections avec les plans T'A Y, XAT, Y'AX', Y'AX soient le* arcs de cercle DE, BE,DC, DBj- on forme ainsi deux triangles sphériques DBG, DCE, dsms lesquels on a ,

i°. pour le premier, DBC,

DC n iooô, BC = (a/, x) = ?, et DB = (/, x)f angle DCB = 0;

2°. pour le second , DCE,

DC = ioo°, CE = (x', y) = ioo° — et DE = (/, y), angle DCE == 2000 — 6.

COORDONNEES POLAIRES. 5 7g

Ces mômes triangles donnent d'ailleurs (Tng. sph., n° 127) cos DB = cos DC. cos CB -+- sin ic7sfn CB. cos DCB j

d'où, à cause de* valeurs* clfidessus,

et co^DE^oosDC^xwCf+^nDCi^GJE.^osIH^E^

d ou cos (y, y) = — cos $ ccfe 0. ,

Enfin , comme l'axe des « est peipendtariafee • Taxe des s', qui se trouve dans le plan de* xyy et qu'il forme» avec l'axe <les y y un angle égal au complément de l'angle 8 , on a encore

cos(x',4) = a, cos (y r«) =s sm 0.

Il vient donc. tfar la substitution' de ces diverses valeurs,

x = x' cos 0 + y' sin 0 cos ô,

y ^ x sin ^ — ^ cos <p cos 9,

s ^= yf sm 9. « •

Telles sont les formule» don* nous aurons a faire usage, toutes les fois que noua voudrons déterminer lit nature de l'intersection d'une surface courbe par un plan quelconque. Elles ne sont qu'un cas particulier des formules dont nous avons parlé (n° ^S\).

45if. Remarque. Dans les transformations précédentes, nous } avons supposé que l'origine fût la même. S'il en était autre-

ment, il faudrait (n° 449) introduire dans les seconds membres de toutes les formules, les quantités a, b, c, qui expriment les coordonnées de la nouvelle origine rapportée aux anciens axes.

455. Nous terminerons ce paragraphe par la transformation des coordonnées linéaires en coordonnées polaires. (Voyez n° 345.)

Soient O (Jlg. 245) un point appelé pôle et donné de posi- Fig«9f5< tion dans l'espace au moyen de ses coordonnées a, b, c, ou

58o coordonnées polaires.

AC, CB , QB, çapfojrtéesjt trois axes jrectangulaires AX, AT, AZ ; OM= r, an rayon vecteur, c'est-à-dire une ligne menée de ce point fixe à un point quelconque d'une surface courbe, F (x,yf*) 73 o-9 xt y,*, représentant les coordonnées AQ, PQ, MP de ce dernier point rapporté aux mêmes axes.

Désignons d'ailleurs par {r, a), (r, y), (r, z) les angles que forme le rayon "vecteur OM avec chacun des trots axes.

On a évidemment , d'après la ligure,

AQ où x z^ AC ^- CQ =± a + CQ; mais (n° 4^o) ,

CQ = OM.cos (r, x) = r cos (r, *)> donc x = a «+• r oo* (r, x). . . . (1)

On obtiendrait de màpte pour les autres coordonnées,

y = b + r cos (r, \y). ... (a) s = c -f r cos (r, s) (3)

Substituant les valeurs cle xy y, » dans l'équation de la surface! on aurait une relation entre le rayon vecteur r et les angles que ce rayon vecteur forme avec les trois axes; cette équation est ce qu'on appelle une équation polaire de la surface.

A". B. Les angles (r, x), {r, y) , (r, s) sont, comme on l'a tu (n° 4aa) y liés entre eux par la relation

cos" (r, x), + cos1 (r, y) -f- cos' (r, î)=i,

456. Aux formules (i), (a) et (3) on peut en substituer d'autres qui ne renferment que deux angles indépendans l'un de l'autre y savoiry l'angle ô que forme le rayon OM avec la projection BP sur le plan des xy, et l'angle <p que cette projection forme avec l'axe des x.

En eflet, menons OH parallèle à BP, et BR paraljçle à AX; on a évidemment

aVB.TA.CZ srHBHIQUS. 58l

AQesa + Bft, QPaaft+HPy M»=*c + MH; mais

BRsBPcos^att OH 'tés f *= J* cos 6 cos ?, RP = BP sin f— OH sîn ç> ±= f cos 8 sin ?, MH = OM sïn MOH = f sîn 6; '

donc enfin ,

AQ ou * =* a +• r/OOfi 6 cos $, QP ou ^ = 6 -f- r cos 6 sin p,

MP ou z s= c -+- r sin 6.

§ IL De differens genres de surjetées.

Quoique nous ayons poter prtoetpal but-, dans ce chapitre, d'exposer la théorie des surfaces du second degré , c'est-à-dire des surfaces qui sont exprimées par des équations du second degré à trois variable*, nous or oyons devoir entrer dans quelques détails sur certaines surfaces auxquelles on est souvent conduit par la résolution de problèmes indéterminés en trois dimensions, parce que, dans la discussion de l'équation générale du second degré, nous aurons occasion de retrouver les caractères qui appartiennent à ces sortes de surfaces.

De la Surface sphèrique et du plan tangent à cette

surface,

457. On appelle, en Géométrie, scbfacb sphAriqub, celle dont loue les points sont également éloignée d'un même point , nommé ckhtbx de la sarface.

Cette propriété caractéristique peut être aisément exprimée par l'analyse. En effet, soient xy y, z les coordonnées d'un point quelconque de la surface, «,C, y celles du centre, et r la distance constante, ou le rayon de la sphère.

On a (n° 41 0 pour l'équation de la surface.

58* • < • «m» aw sMéaiqvs.

en supposant que rab axes soient rectangulaires; et si les ax< sont obliques (n° 4^),

(* - «)' -tf ^ «fc*. ft - *)• )

+ »(* — •) (y — 0 . cos (*, y) f ^

-f a(x — *) (« — j.) . oos (x, s) ' >• • • • W

+ «(î'-,'fl,(«,fyj,.,,ofci(V,--^

mais la forme compliquée 4ft<0Ptt* ,4trnîère équation permet rarement d'en faire usage.

Cas particuliers. Lorsque l'origine est au centre, les coordonnées *,€,y sont nulles * et l'équation (i) se réduit à

c'est l'équation que^l'on emploie le plus fréquemment.

Le centre peut être placé, soit sur un des plans coordonnés , soit sur l'un des axek '

Supposons-le , «pas exemple, stir le plan des xy9 auquel cas on a y sot et- l'équation dévient

ix — *Y+(jr — C)* + z'=r*... (4)

Admettons encoreqne le centre soit situé sur l'axe des x, ce qui donne £=o, y = o; il en résulte

(x-<0'+.rft + *ft=r*.... (5)

458. L'équation (i) étant développée, donne un résultat de la forme

j^ + ^+z' + Ax + B^ + Ca + Daso.... (6)

Réciproquement , toute équation de cette forme, lorsque les axes sont rectangulaires, représente la surface d'une sphère dont les coordonnées du centre sont

et qui a pour rayon

Aa+Bm-|-C ..

La démonstration de cette réciproque «$t, en tous points, semblable à celle du n° 177; aînsi" il est inutile de la répéter.

459. Pour déterminer la nature de l'intersection d'une sphère par un plan, il suffit (n° £53) de combiner l'équation **•+» y •+■ z* = r* a*ec les formules

x z=s 3/ cos p + y' «in f cep i) + û, jr *= of sin f — j/ ços -^ cos 8 + ft, 2 = r* sin fl -f- c;

et Péquation résultante en x , y sera celle de la courbe d'intersection.

Or , en substituant dans la première , pour x9jr,*f leurs râleurs , on reconnaît, i°. que le coefficient de x'y est égal à o; ?*, que les coefficiens de x'*, y% 3**i égaux à l'unité; ainsi ( n° 177 ) cette équation est celle d'une circonférence de cercle.

460. Recherchons actuellement l'équation du plan tangent a la sphère, en un point (j/^, *') de cette surface rapportée à des axes rectangulaires.

Soient (x— •)*-r.(%r—C)t +(*—>)*= r*.. . (1) l'équation de la sphère,

et(n°43o) A(x — x'J+BCr— y)+C(« — *0=o--« M

Féquation d'un plan assujetti a passer par le point x* ,y, %'.

On sait , en Géométrie, que le plan tangent à la sphère es* perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact. D'après cela, les équations du rayon étant (n° 417)

*— ^= zr11 £(* — Or r—y»zr—^%m^%^9

584 FLA*"*tMM«**<r A *î2A*6MfBllE.

les relations A = aC, B=iC dun° 4^3 donnent

A S=S •—-*——. . C , B = -y . Cj

«Foi saBstitaanCdJfti^^^cliYlsànt par C,

Telle est; If pre^jèrç. forme sous, laquelle on peut présenter l'équation du plan tangent; mais on peut lui en donner une autre, d'après la relation

qui exprime que le point {x ,y , z') se trouve sur la sphère. En effet, cette relation revient à

et , ajoutée, à l'équation: (3),, elle donne .

(/-.,) ^'m)±(y—tyçjL4)+ (*'->X*->)=rS ... (4)

résultat qui ne diffère de l'équation de la sphère qu'en ce que les carrés (x — *)*, {jr — C)*, (a — y)% ou (x — *) (x — •),

(j- — C) (y — £) , (z — y) (fc — ' y) , sont remplacés par les rectangles (x' — *) (a: — «) , (y -— C) (^y — C) . . .

Si l'origine est au centre, même de la sphère, on a

• =o, C=o, y = o, et l'équation (4)sfî. requit à .v

c'est l'équation que Ton emploie le plus souvent dans les applications.

. fm*A<p4v dnmmwQiw* » , 585

Des surfaces cylindriques.

461. On nomme ain&i toute surface engendrée par le mouvement d'une droite qufgfisse parafUUmfn^à .une tftytre droite donnée de position le long d'une certaine courbe appelle la directrice de la surf*»; 1* droite mobile s'appelle oiuà-

RATRICB. t

Tâchons d'exprimer ce caractère £énëral pâtf ^analyse. Soient x x= az + *, y = hftrj-€ 9

les équations de la génératrice considérée dans une position quelconque,

et F(x,y,z) = o, F'(x, y, z) = o,

celles de la courbe qui sert de directrice.

Puisque la génératrice, dans son mouvement, ne doit pas cesser d'être parallèle à elle-même, il s'ensuit (u° 4*8) que les quantités a, b restent les mêmes pour toutes les positions de la génératrice; maïs les quantités *, 6, qui (n° 43a) expriment les x et jr du point où la génératrice rencontre le plan des xy9 sont constantes pour tous les points d'une même position de la génératrice, et varient lorsque la génératrice passe d'une position à une autre. 11 doit donc nécessairement exister une certaine relation entre ces quantités «, C, ou leurs égales a;— az, y — bz9 puisqu'elles sont constantes ensemble et variables ensemble.

Afin de parvenir à cette relation, remarquons que la gêné* ratrice devant, dans toutes ses positions, rencontrer la courbe qui sert de directrice, les équations de cette courbe et celles de la génératrice doivent exister simultanément pour les points d'intersection; et comme elles sont au nombre de -quatre j si l'on élimine les coordonnées x, y, z, on parviendra à une équation entre m, Cet des quantités connues, qui ne sera autre chose que la relation cherchée.

Gette relation, que nous pouvons représenter en général,

P** /(•» QiiQ^i^iws/M) devient y lorsqu'on y remplace 4, C} par leurs valeurs m ~ a*, ^y — fa,

/{x-ai7y^n)~o9 ou ' >— fa =/(*-«*)•]

Pour fixer les idées/ proposons-' nous , par exemple, de trouver Péquation Axx cylindre obliqué à 6090 circulaire.

Soient x% -f-^yû.5s= r* rt z=o,.... (i")

les équations du -cercle qui doit sertir de directrice, et que nous supposons , pour plus de simplicité, placé dans le plan des xjr, le centre étant d'ailleurs situé à l'origine* Lm équations générale* 4e {a gémératrioe sont toujours

x — os = «, y — fa = C%.. (a)

Or, pour exprimer que la génératrice dans toutes ses positions rencontre le cercle, il faut combiner entre eUes les quatre équations (1) et (2).

D'abord l'hypothèse *=o, introduite dans les équations £2)»

donne x*=m9 y«C;

d'où, substituant ces valeurs dans la première des équations (1),

*l + i»aar,5.., (3)

c'est la relation qui lie entre elles les quantités « , C que nous ayons reconnu devoir être constantes ensemble et variable* ensemble.

Si, maintenant, on reporte à la place de «, C leurs valeurs x — az, y — b% dans (3) , il vient

(* — **)•+<? — fa)» = r»,

« pour Féquation du cylindre oblique à base circulaire.

462. Nous pouvons reconnaître, à posteriori, que tonte équation de la forme

JT— b*=f(x—az),.. . (1) appartient à une surface composée d'une infinité de ligne*

suatacm '4rrt*v0ftlfc«Bs. 58fy

droites parallèle* entre êttêê; ee qui daractérise la surface cylindrique. ' < *f tx " ''

En effet, coupons cette surf ace par ^nj^^n qui ait pour

équation x — ** = k ; , . r

il <en résulte nécessairement ' ' --^'.t ^'l* '■•■'

^ — As •= /(fc) =s ^contt^*=* /•

D'où Ton voit que la ligue d'intersection du plan x — az=k7

avec la surface, se trouve sur un . autrg ,phin, jf— bz=l'>

donc cette intersection de* une ligne draite - "• Considérons maintenant une suite d'autres jrians

x— am=tfj *— as-=k'j * — as =: ft", . . .

parallèles au premier, qmi«oupent b siirfaoe» L'équation devient successivement

J' — 6*=?, J' — bz-z*} F % y — bz :=/*... ;

c'est-à-dire que les intersections de la surface par les plans parallèles au plan x — as = £, se trouvent situées dans des plans parallèles au plan y — - ia s= /^

Par conséquent , toutes ces intersections sont des lignes droites parallèles à celle qui a pour équations

x — az = k et y — bz = /•

jP/w* généralement, je dis que toute équation de la forme

Bir + Ny+Ps=F(A* + By + Cs),.... (i)

et dont l'équation jf — bz =/(x — as) , n'est qu'un cas particulier, appartient à une surlace cylindrique.

En effet , si l'on coupe la surface par une suite de plans parallèles entre eux , et a yant pour équations

À* + By+Cs=D, D',D*,DV...

l'équation (1) devient , pour chacune des valeurs D, iy, D", . . •

518 • fWAfiM .OMHflWM.

• Mj*>+ Hy 4. P« fia Q, <%, Q», QT . . . .

Ainsi les lignas- d'iuterte^fcîoji se trouvent sur use antre suite de plans parallèles entre eux , et sont, par conséquent , des droites parallèles entre elles.

Nous aurons occasion* par la. suite, -de revenir sur ce caractère général des surfaces' cylindriques.

463. Trouver l'équation gémireUê des surfaces coniques, c* est-a-dice exprimer par l'analyse , qu'une surface est engendrée par le mouvement d'une droite qui passe constamment par un point donnét> nommé corran de la surface, et assujettie à glisser le long d'une courbe aussi donnée de position dans l'espace; cette courbe .s'appelle directrice, et la droite mobile est dite la 4em£rjltricb.

Soient x\ y, %' les coordonnées du centre de la surface* et

r (*>.y> «)==<>, Forij^sso.... (1)

les équations de la directrice.

Celles de la génératrice sont (11*417) delà forme

Observons maintenant que, pour toute surface conique,

lorsque le point x , y , z change de position , sans quitter la

même génératrice, les quantités a et b, ou leurs égales

x -~ - si y ^— y'

7 1 ~n , sont constantes; mais elles varient toutes

deux , si le point passe d'une génératrice à une autre. Donc ces quantités , qui sont constantes et variables ensemble, dépendent, d'une certaine manière, l'une de l'autre.

Pour obtenir cette relation, il suffit (n° 461) de combina* entre elles les équations (t) et (a), qui, étant au nombre de quatre ,, donnent lieu, par l'élimination de x, y, a, à une équation de condition entre a et b.

smrA&z cofctQfrEb; 58g

Substituant dans cette équation ,« tpqui^ VQeskdctnières quan-

CC """ Jtf V ■■"■ V

tités, leurs valeurs, -^ — -7, r-rr-r** w» obtiéfct -enfin pour Féquation de la surface conique ,

464* Prenons, pour exemple, le cône oblique à base circulaire^, et supposons que, ia base ^tyu* -si taiéd dans le plan des xy, le centre de cette base soit à l'origine , auquel cas on a pour les équations de la directrice,

Combinons-les avec belles de la génératrice, «avoir s

* — *'=«(*—*'). .y—/=rH?—*)~-' 'M

Or l'hypothèse s=o, introduite* dans les» équations (a), donne ■■•.••!.

* * = *' — ca% jf»/ — A*';

d'où, substituant dans la première des équations (1)^

c'est Féquation de condition tjtri doit exister entre les quantités a, 6, en même temps que les équation $(3) de la génératrice.

Substituant pour a , b , leurs valeurs *-«u.^ «Z*-^*^. on

r a — sa — a

obtient -,.■•,..

[*'(s— s')— *'(*-^)]MW— ^>~ *'(y^]*==ir»(sW)*

pour l'équation demapc|ée.

Dans le cas du cône droit, c'est-à-dire lorsque le centre du cône est situé sur l'axe des z , on a à la fois #' = of y = o, et l'équation précédente se réduit à

5g» flWMPjfccis ootmocoM.

Noos pourrions, en combinant cette équation avec 1m formules du n° 453, obtenir les différera* genres d'intersection de la surface conique par uq plan; mais nous ne nous arrêterons pas à cette discussion, <pûi«,déJA ét»*apo«ée d'après une autre méthode.

465*- Béciproquemnh toute équation à trois variables, de laforme > ^ ' '* *

( *', y, a! désignant les coordonnées d'un point fixe dans V pace) , caractérise une' surface conique.

En effet, coupons la surface par une suite de plans qui aient pour équations ,

comme l'équation (1) devient alors

il s'ensuit que les lignes d'intersection de la surface par les plans correspondans à la première série d'équations , se trouveront également situés dans les plans exprimés par la seconde série. Donc toutes ces intersections sont les lignes droites. D'ailleurs , un système quelconque de deux équations de la

première et de la seconde série, —7 = Jb, — — -îy=fe/,

par exemple , représente une droite passant par le point* ....

Donc enfin, on peut regarder la surface comme composée d'une infinité de lignes droites qui, toutes, passent par ce même point*'

SUftMOtt OQMftiBBS.

Des Surfaces canoêdes-

•t • «i nu it

46& On désigne sons cette défeorâlfttiOn, A*fc!tf *nr/ft* mgendrée par le mouvement d'une droite * assujettie à être constamment parallèle à un flan^ ?f à<.gfas.ser le long d'une droite fixe de position dans F espace * et d'une courbe aussi donnée et appelée directrice.

Pour foire concevoir une semblable génération } supposons queftwi ait mené dans Pespace une infinité* dedans parallèles au plan donné; chacun d'eux coupe la dpqite fixe en un point, et la courbe en un ou plusieurs pointa. En joignant ces derniers points avec celui de la droite fixe, et répétant cette même opération pour tous les plans parallèles, on obtient une infinité de droites dont l'ensemble constitue la surface conoïde. La dénomination de ces sortes de surfaces vient dé l'analogie ' qu'elles ont avec les surfaces coniques. Le centre ou le sommet du cône se trouve ici remplacé par une ligne droite qui sert, en quelque sorte , de premiers directrice.

Passons à la recherche de leur équation.

Pour plus de simplicité, nous prendrons pour axe des z la droite qui doit servir de première directrice* pour plan des xy> celui auquel la génératrice ou la droite mobile doit être constamment parallèle. Les axes des * et des y seront d'ailleurs deux droites menées à volonté dans le plan dont nous venons de parler, et par le point de rencontre de ce plan avec la droite prise pour axe des *. On voit, d'après cette, construction, que la surface se trouve, en général, rapportée à des axes obliques.

Cela posé, soient

F(*,^,s) = o, F(*,jr,s) = o

les équations de la courbe prise pour seconde directrice.

Celles de la droite mobile, considérée dans une position quelconque, seront de la forme

5ga svmm'v6

y =*%i*,+ <% SS d\ .Y?, (a)

puisque «ékUll^Plir^llW^^Wtii^ suivant l'axe des *, doit étraurialalflf, tfrq^^ le pïan des xy passe

nécessairement pa#4«H^? yb «iu.j,,.*;. ' -

Or, ili^str^fc^t^rUrffÏMftt^tfciMei^ilfe &me certaine position de la génératrice, les quanti tés^ m. et n» ou leurs égales

- et t, restent les mental; mairffelles varient d'une position à une

autre. Ces quantités étant constantes ensemble et variable* ensemble, sontfiknctkmfàne^éTaèitrirÀiiisr,

est la forme générale de l'équation des surfaces oonoïdes.

Pour détérribiÛé'r fâ 'nature de "bette fonction dans chaque cas particulier, obsërvomijue les équations (i) et (2) doivent exister en même temps, pourries points ^communs* à )a génératrice et à la première Vfirçctricé. Ppnç, m l'on élimine x, y , & entre ces équations, on obtiendra une relation çntre 79 et n, telle que, si Ton y remplace ces, quantités par leurs valeurs

£, &, on ob^4r^ l|iiqiafitionjfkft9ajèx)ée. ■.-•

JC

;• ■•", .*<; cî vl, ï'' «*» -«f '*'* :-*:j

467v§uBW«flti*RiÇ|/; ijW"H*fe v>4icfl*ieMu,<|tie Fane des directrices étant* tpuwijr» J'a*ev4ertfr,ft»tt ait pour seconde directrice , up$ ]j^e£jtfjfe <Joj# J»^***iwi* soient

Combinons ! ces Iffl^ojfr, fàfa^V-4* la génératrice, savoir:

y = mXj z = n.... (a)

D'abord, la valeur & = n , portée dans les équations (1 ) , donné d'où , substituant dans la première des équations (2) ,

Telle est h relation 4^ ^e^tFçrf(|Vl«! Ip* f «Mftitfb », n, et

qu. doit exister poor i^^l****» ,•«■ .Wflitotartrh», en même temps que les équations de (^e^ta,,,, „v ... ftemplaçant enfin ^*mJ*Wf*»ann>*i ««>•*«

ou transposant,

pour l'équation <fr &i «u^m» engendrée par une droite qui se meut parallèlement à nn ptanyen s' appuyant foujlurs sûr deux outrée droites»

468. On peut obtenir uhe équatuln^eauçoup plus aànple de cette même surface, en choisissant les Vxe^ d'une manière convenable.

Soient CCDD'O^. ^esdeuxdi^rricesjm^ioons,^ rig.,{6. la première, nn plan parallèle à la seconde, et, prenons ce plau pour celai des yz. L'an des plans auxquels la génératrice doit être parallèle, rencontrant les directrices en À. et B , par eaemple, rien n'empêche <n> prendre pour «le des x la ligne AB , qui («présente une des positions de la génératrice. Ce même plan ooupe le pin dont Mu «vm* parlé d'abord , sdwnt une certaine droite qu'on peut prendre pour axe des y; celai des • sera d'ailleW. la première directrice, comme précéaenfnient.

Cela posé , il résulte de la situation des deux directrices par rapport aux plana coordonnés, que lés équations de la droite DIX sont

x = *> y — bzy9... (i)

puisque sa projection sur le plan xy doit être parallèle à Taxe Aesy et que sa projection sur le plan des yz passe nécessairc- » ment par l'origine.

5g4 SURFACES DX REVOLUTION.

On a en outre , pour les équations de la génératrice;

yz=zmx, z = s;mm (a)

et il ne s'agit.que de combiner les équations (i) , (a) , pour en tirer la relation qui doit exister entre les quantités m,n. L'équation y = mx donne , k cause de x = m ,

valeur qui , substituée en même temps que * = n , dans l'équation y = bz , conduit à

mu = bn.

Substituant, à la place de m, n> leurs valeurs m=~ ,

n sss z , tirées des équations (2) , on obtient enfin

m.-tzzbz, ou bxz — • my = o «

pour l'équation de la surface.

Soit fait ) dans cette équation , y s= o , il en résulte

&xz = o; d'où x=:o, ou * = o.

Le premier système jf s o , x se o représente l'axe des 9 , et le second , y = o , 2 = o, l'axe des x ; ce qui prouve que chacun de ces axes appartient à la surface, comme nous le savions déjà.

Mous aurons bientôt occasion de revenir sur cette espèce de surface conoïde.

Des Surfaces de révolution.

46g. On nomme ainsi toute surface engendré* par la révolution d'une courbe j dite la génératrice, autour d'une droite appelée axb , de manière que chacun des pointe de cette courbe dicriye une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à Vaxe de révolution, et qui a son centre sur cet axe.

SCRTACE6 DE B&VOLUÏIOV. 5g5

Il résultée évidemment de cette définition , qu'en coupant la surface par un plan quelconque perpendiculaire à l'axe , on obtient pour section une circonférence de cercle dont le centre *êt dans Vaxe; c*est ce caractère qui Ta nous conduire à l'équation générale des surfaces dé révolution.

Pour y parvenir, observons d'abord 'que, quelle que soit la position de l'une des circonférences quraomposent la surface* on peut toujours ( n° 4$9 ) regarder cette circonférence comme résultant de l'intersection d'une spKère ayant son centre dans l'axe , et d'un plan perpendiculaire à cet axe.

Cela posé , soient

x — m se a (z — -• y) ^ y — * = b {z — y) ,

les équations de l'axe de révolution; m, C, y désignant les coordonnées d'un point pris à volonté *tir cette droite.

On a (n° 4^5) pour l'équation d'un plan qui lui est perpendiculaire,

ax 4* by + z == *>•••• (0

et pour l'équation d'une sphère ayant son centre au point (•, C, y),

(x - *)* + (y — Cy + (z — y)- = f.... (*)

Le système de ces deux dernières équations représentant l'une quelconque des circonférences de cercle placées sur la surface , on doit regarder k et r* comme des quantités cons^ tan Us ensemble pour tous les points d'une même circonférence, et comme variables ensemble, lorsque le point de la surface de révolution passe d'une circonférence à une autre.

Ainsi ces deux quantités, ou leurs égales ax •+- by -+- »,

{x — *f + [y — £)* + (* — v)% *<mt nécessairement fonction l'une de l'autre.

Donc enfin

ax+by + z = Fl{x^*y + (y — ff)*+ («. y)*],

Sg6 ""«UftMKM aa tàmsonm.'

oa bien, (^i^^^^^yy-FCair+Jy+x),

est l'équation générale des surfaces de révolution.

La nature de la fonction F, c'est-à-dire la manière dont les quantités ox + fty+s, (x — -»)ft + (y*-Cy4 (fc~y)%«iai- Tent être Jiée^^ne^^Je^. se dé^injoera facilement dès que l'on connaîtra la nature de la génératrice.

Enefref,'^e^flt^^^ '

les &raatk^«0*tff^

Gomme la circonférence représentée par les équations (i) et (a) est engendrée par l'un c!es<|iotoqt de la génératrice (3), il faut exprimer que ta" génératrice, considérée haussa première position, et la* circonû^penee^ ont un point commun , et , par conséquent, que les équations COi.ÇOr* (?) ont lieu en même temps*

On a donc ainsi quatre équations, «Btft lesquelles on peut éliminer X, y*r*p ©G qui donnera une équation de condition entre h et r% dans laquelle il ne s'agira plus que de substituer à la place dd"ce# dette quantités leurs valeurs, pour avoir l'équation de la surface de révolution individuelle que l'on considère.

470. On peut supposer /pouT plus de 'simplicité , que Paxe de révolution .fce<co*fende av.ee l'un ies ajfe^ coordonnés, celui des *, par exemple.

Dans ce cas, Fime quelconque fies circonférences placées sur» la surface, se trouvant dans un plan parallèle au' plan des xy, et ayant son centre «ur Taie des », peut être représentée par le système des deax équsJUoris

'sV=V,r x'+y*±r*,

dont la première exprime un plan borizontal , et la seconde la surface d'un cylindre droit dont l'axe se confond avec l'axe des £.

tirwmmmÀûm sa aénMMnotr. $97

Ainsi, quelle que «oit Uf^^tjnœ^^Murf^^oii a pour l'équation de cette surface/

« « F (x- + V) , pu *» * *7= Ft s) ;

•ôtfOBfafattdaipémev)^^»---^) ,*-f yé + :.u

pour les équations des surfaces de révolution ^i auraient pour axe, celui des x ou celui des y.

ty\\. Proposons-nous, p>ii£ preniier eïeirfplë, clé trouver la surface de révolution engenckée^pfr Je. jA^eft^tà^ne droite quelconque autour de En*4*f!i ^1%,^,, ,.;

Soient < ^, « *J? les équations de cette droite ;

les équations de la circonférence décrite fàt chaèuitdes points de la droite , seront de î* forînè fe ' :I '** ' A - '

Les deux premières , combinées avec la tnMsRfmé^, donnent

d'où , substituant dans la quatrième ,

ou, mettant à la place je * et de H <}**** valeurs générales s et a^+j'*,

Rien n'empêche , dans cet eraapto , îcl* prendre pour axe des x la plus courte distance entre là droite itanée et l'axe de révolution; auquel cas la droite est parallèle au plan desyz; et l'on a pour les équations de la génératrice ,

c'est-à-dire qu'il suffit de supposer M — o, N' = o dans

5g8 HYPBHBOtXHDB DS h£V0LUTUW.

l'équation précédente, et ?on trouve

pour l'équation de la surface.

Soit, pour second; exemple, une hyperbole située «feus le plan des xz, et rapportée à #on ay« transiter** comme axe des 2 , et à son axe no/j transperse comme axe des $. , Les équations de cette hyperbole sont (n° 240)

celles de la génératrice étant d'ailleurs

on obtient, par l'élimination de x9 y, z entre ces quatre équations ,

BV— A^saA'B* j

ou , mettant pour h et r* leurs valeurs ,

B« (*■ + y) — A V = AftBft ,

équation identique, pour la forme, avec celle de l'exemple

précédent , M' V + N* = xa + y ,

ou x* + y — M' V = N».

Donc la surface de révolution, engendrée par le mouvement d'une ligne droite autour d'une autre , n'est autre chose que la surface engendrée par le mouvement d'une hyperbole tournant autour de son axe non transverse ; cette dernière surface est ce qu'on appelle Vkyperboloïde de révolution à une seule nappe. Nous reviendrons par la suite sur cette espèce de surfaces.

En faisant tourner autour du premier axe principal , soit une ellipse, soit une hyperbole, soit une parabole, placée d'abord dans le plan des xz, on parviendrait avec la même facilité aux équations des surfaces de révolution correspondantes.

FAEA90L0ÏU DS UYOLUTION» 699

472. La surface engendrée par une parabole, ou le paraboloïde de révolution* mérite une attention particulière.

Soient ,y = o, x*=2pz>

les équations d'une parabole située dans le plan des aXj et ayant pour axe principal l'axe des % , pour sommet l'origine même des coordonnées.

En combinant ces équations avec celles-ci :

on trouve l'équation de condition

r* = apfc; et, par conséquent, pour équation de la surface ,

Si l'on combine cette équation avec celle du plan , qui est généralement de la forme

z = Àx + Bjf + C,

il en résulte

x*+y*=32p(kAx + By + C) ;

équation qui représente la projection sur le plan des ay, de l'intersection du paraboloïde avec un plan de direction quelconque dans l'espace. Or, cette équation est évidemment celle d'un cercle ; donc si Von coupe un paraboloïde de révolution autour de Vase des z, par Un plan quelconque* la courbe d'intersection se projette constamment suivant un cercle sur le plan des xy.

6q* ^iJMMMMÊmMÊÊfkàk tis'mtiftittbv

S III. Discussion des Siiffacés du second

degré*

4)3. Les bornes quer nous sommes obligé de mettre à cet ouvrage, né ïiouS permettant pas qe Joniier ici une théorie complète des surfaces du second degré, nous nous attacherons surtofitJL %|qe rego£|fcle». ^tcjanstanees Relatives à leur classification , ainsi que les propriétés qui résultent immédiatement des équations les plus simples auxquelles il est ton* jours possible de rameneiyune équation .quelconque du second degré^^ tttMS^^riaJ^^.^ow^suHrroàs 'd'ailleurs, pour la discussion de cette équation, une marche analogue à celle que nous avohaelnployee, dans le Quatrième chapitre , pour l'équation k devxtvtfriàblès.

L'équation la jtftks générale des surfaces du second degré étant ■•» '*-1 - '" • " '""

+ C* +Cy"+Cx + D J — •••••lO

on pent d'abord (n° 25o), par une première transformation de coordonnées, &fte étàdouit* lés trois rectangles yz, xz, xy, c'est-à-dire ramener l'équation à la forme

M^ + My +M V + H* + % + H'x + D = o (a)

( Vvye%j pour cet objet, le deuxième volume de la Corns— pondanc* de l'École flqtyltàliniqutj 3* numéro, ouvrage dans lequel j'ai consigné la démonstration complète de cette proposition, ainsi qu'une note assez étendue sur les surfaces de

révolution du secoqj^Çgr^ )

Il résulte de cette proposition, que les surfaces représentées par l'équation (2) sont identiques avec celles que comprend l'équation (1).

Voyons actuellement si , au moyen d'une translation d'ori-

gine, nous ne pourrions pas (n° 25 1 ) faire disparaître les termes linéaires en xX>tf+fi. -. ,\x hojiww\<A '" Or, en substituant les formules

xs=sx + a, y=sy + b, z=z + c

dans cette équation, et eu égalant a (y l^coeOjçie^a de x,y, on obtient les équations de condition , > , {, r.

d'où Ton déduit . ...,;,..,.., 0 ;.T ^ *no'i> -v>

W ■ •• ... ■ . M^r- -m. -.i • !> ji

Tant que la 4ûpar$pn; <fea trot» hfotangles ne donne lieu à la disparition d'aucun des frbisaWcéB, les quantités M y M', M' sont différentes de ç, e,t lu #quvelie transformation est possible; en d'autres termes, l'équation peut être ramenée à la forme

jtf^+5îyHrirx«^tf=o,r.^ (3)

P ayant pour valeur

Mi* + M'b* + W<* + Tgc+m+1Ri'a + D.

474* Si Ton suppose que l'un des carrés, s'évanouisse en même temps que les rectangles, que l'on *itf par exemple, M"=o, la transformation précédente ne peut être exécutée, puisqu'alors a devient infini*

Dans ce cas, l'équation étant de la forine

Ms» + M'y* + H*'+ Ky + N'* +, P = o,

on peut tâcher de faire disparaître les4 ternies en a et eu j', ainsi que la quantité toute connue.

On obtient en effet, par la substitution des formules x = x-^-a, y=y-j-b, £ = &*|-c,

602 TIUHSFQBMATION DE L,'BQUATiON , et©.

et en égalant à o le coefficient de z, celai de y et la quantité

indépendante de x,y 9 z,

2Mc+N = o, aM'* + N' = o, Me* + M'4,+.«c-fTN/6-4-N"a + D :*=o ;

ce qui donne

c~~iM' *— — 3F ' aaa S* '

Talears rèêlUs et finies tant que N" n'est pas nul; et l'équation se réduit à celle-ci ,

flh» + My4-H*asBO.... (4)

475. Lorsque l'on a en même temps M"=o, N"=o, la dernière transformation est impossible , puisque a est encore infini; mais, dans ce cas particulier, l'équation (2) devenant

M** +M>*4-Hft + N'y + D 3=0 ,

ne renferme plus que deux variables, et représente évidemment (n° 445) ""* surface cylindrique dont les arêtes sont perpendiculaires au plan des yz, et qui a pour base, soit une ellipse, soit une hyperbole, suivant que, dans l'équation cidessus, les coefficiens M, M' sont de même ou de signes contraires.

476. Supposons encore que deux des carrés y* et x* aient disparu en même temps que les trois rectangles, c'est-à-dire que , par la première transformation des coordonnées , l'équation se soit réduite à la forme

Ma* + N* + Bty + Nff* + D = o;

on pourrait, dans ce cas, chercher à opérer l'évanouissement de quelques termes; mais cela est inutile pour la détermination de la surface représentée par cette équation. En effet , posons successivement !

Z ^— ^ ri , Xê •■■— K } 2$ —■— ri , • • • •

SUHVAQBS CYLINDEIQUS& DU SEOOtCD DBGlli. 6o3

ce qui revient à couper la surface par une suite de plans parallèles an plan des xy ; l'équation devient, pour ces différentes hypothèses ,

d'où il suit que les intersections de la surface par des plans horizontaux sont des droites parallèles entre elles. Ainsi (n° 4&0 la surface est encore de la nature des surfaces cylindriques; et si l'on veut connaître une directrice de cette surface, il suffit de poser ysso, par exemple, dans son équation. K vient , par cette hypothèse ,

équation qui exprime une parabole située dans le plan des xz.

Donc , enfin , la surface n'est autre chute qu'an* surface cylindrique à base parabolique.

477. En réfléchissant sur 1» discussion précédente, on doit conclure que toutes les surfaces du second degré se trouvent implicitement renfermées dans les deux classes d'équations

à l'exception de celles qui correspondent aux équations

Mz* + M'y* + N* + N> + D = o , Mz' + Ns +N'j-+N'j?+D=o,

et que nous avons reconnu appartenir a des surfaces cylindriques à hase elliptique , hyperbolique ou parabolique.

478. If. B. Il est bien entendu que nous comprenons dans ces trois variétés générales , celles qui (n° 356) correspondent aux variétés de l'ellipse , de l'hyperbole et de la parabole. Ainsi + lorsque l'ellipse se réduit à un cercle ou à un point , la surface cylindrique devient un cylindre k base circulaire, ou une seule droite. Si l'hyperbole dégénère en un système de deux droites qui se coupent, la surface cylindrique se réduit à nn système de deux plane qui se coupent. Enfin , quand la parabole se

6of wu<WH§àtom Qtft'ttfttftf!» c*nthx.

réduit à demr^tètaft p*r*ttele* An a vue seule droite, la surface cyhuàriqae<tle*i*hVÙn tytâtrte d* deux plans parallèle* QnumplanuuiaBÏv > '< »l *Ou.iJ -' ?; »• '

470. Avanade6 jîasser'a laîmicuMion de chacune des équations ■»'M.^'^Ï^ ^'* '"

nous ferons quelques observations générales sur la nature des surfaces qu'eile^r^ oa de

plans coordonnés auxquels , les aurfaogs . sont , .actuellement

rapportées. . ■', â. " J .■ - .

Fa£KiiR£M£2iTf l'équation (1) ne ^enfarmatoi plus Jes termes du premier degré en x , y , a, reste la, même lorsqu'on y change

+ *i +,y*' + * en ~*> T~ y* T*s- <* 9** Prou'e <!•* toute droite menée par. la nouvelle origine et terminée de part

et d'autre par la surface , est divisée en deux parties égales en ee point. Donc (n° 3.^5) toutes lee surfaces comprises émis l'équation (1 ) ont un centre* qui n'est autre chose tjue l'origine actuelle des coordonnées*

Remarquons d'ailleurs que l'équation, pourrait îeufamei les rectangles des variables ainsi que les carrés» sans que la surface cessât d'avoir un centre , et d'être rapportée à ce centre comme origine , puisque la, condition caractéristique du centre serait I encore remplie. On pourrait même supposer la surface rappor-

tée a des axes obliques menés par cette origine.

Ainsi » dans le cas d'axes quelconques , une équation telle que

dont plusieurs coefficiens peuvent Aire nuls, représente une surface qui a un centre; et ce centre est l'origine.

SBoocrnnoHiTy on appelle plan diamétral d'une surface, nn plan qui divise en deux parties égales toutes les cordes de la surface parallèles entre elles et menées sous une direction quelconque. Or, d'après la ferme de l'équation (1) qui , étant résolue suoceasiveraetït par rapport à chacune des variables,

donne deux valeur» égalée; & dtf *!gftaf *itttfcimYoai*a*t0 variable, il est évident que chacun (C^sjftafatelplmtt doordonnés divise en deux parties égales toutes les cocdea, menées parai*' lèlemeut à l'intersection commune .des deux autres, J)onc ces trois plans sont des plans diamétraux; de plus, on peut lot regarder comme formant un système de plané diamétraux

conjugués pe*p*o4iwkliW la dé-

finition donnée (nd a58) d'un système de deux, diamètre» çon-

«^ .. / . '\ p,»,',.,i:V"î>J.'»8.«jp

TamntofftNim». Considérons t équation (ij. Puis/jue le troisième ternie change de signe, lorsqu'on remplace + a?> +J"> + *, par — x, —y, — *> il s'ensuit qu/ç l'origine actuelle des coordonnées n'est pas un centre. On a vu d'ailleurs (n° 474) que, dès qu'un de* carrés manque en même temps que les rectangles , il est impossible de faire disparaître à la fois les trois termes du premier degré ; donc lès surfaces représentées par. l'équation (a) sont des surfaces dépourvues de centre» . Observons encore que , des" trois plans &ordônnés,.deux seulasnent , les plant des aryet'des xz, peuvent être regardés comme des pians diamétraux * puisque le premier divise en deux parties égales tontes le» cWfea parallèles af Taxe des z, et le second, tontes les cordas parallèles à ?axe dés y. ' ''

Concluons de œ qui «vient Whte dit, qu'élis surfaces du second degré ae partagent en deux classes distinctes, savoir : les surfaces qui ont xm casrttfc efrfe* surfaces dépourvues de centre.

Discussion de l'équation 'aïï+aïy+Jfig^fij&o... (i)

48o. Afin de déterminer les différens genres de surfaces représentées par l'équation (i), nôui ferons successivement (n° 453)

xxzconétj yzéconst* * ié±const/'

ce qui reviendra à couper 1a surface 1 par des- plans respectivement parallèles à chacun des trois» {dan*j*botdo«Mé*; mais on sait (n* a56) que la nature de ces interaattîena dépend surtout des signes dont les coefficiens M, M', M' sont affectés; ainsi nous sommes conduits à faire les hypothèses suivantes :

606 SMrlMOÏKfl.

i°. M * M',, M" positifs à la fois»

Dans cette hypothèse générale, le dernier terme P peut être lui-même négatif , égal U, ou positif.

Soit d'abord F négatif, et mettons le signe en évidence j Péquation devient

M^ + My + MVs£=P... (a)

Cela posé, faisons successivement dans cette équation,

^ = C, | il en résulte j Mza + M'a?» = P — M'€»,

d'où l'on voit que les intersections de la surface par des plans parallèles aux trois plans coordonnés; sont des ellipses qui deviennent imaginaires, lorsqu'on suppose

■•^* Ak"P >^P

c'est-à-dire, «, C, y positifs ou négatifs, mais numériquement plus grands que y/jp, y/^, y/g.

Ces mêmes ellipses se réduisent à un point, pour les hypothèses

m=B-\/wf '^^vw >mt:k\/&'

puisqu'alors les équations des intersections se réduisent à Ma* + My = o, Ma» + M*x*ss o, M'y + M'x* = o.

La surface que nous considérons est donc limitée dans iom les sens; de plus, elle est inscrite au parallélépipède qui a fkOm* faces les pians

x=±\/ïï" y^y/w' *~-v/sr

La nature des intersections de cette surface avec les plans parallèles aux trois plans coordonnés , loi a fait donner le nom d'xmpsoÏDK. , .

Pour déterminer les trois sections principales * en d'autres termes, les traces de la surface sur les plans coordonnés, il suffit de poser successivement (fig. 247) Fig.347;

x = o, j ( m** + wy = P,

y = o, [ce qui

IM** 4- Wy* = F, Mz* 4- M'V = P , MV4 M"x* = P.

Quant aux points d'intersection avec les trois" axes, on obtient pour

y =5 o, % = o, MV = Pi doù x sa dt t/fpi

* = o, z = o, M'/ = P; ' <Fou , = =h ^J ,

^ = 0,^=0, M*a SB P; d'Où z = ±. ./|J.

Les ligne. AA'-ay/*., W». y/J,- <*'=Vs>

sont ce qu'on appelle les axes principaux de la surface; et leur introduction dans l'équation lui donné une forme symétrique et analogue à celle de l'équation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes.

Posons en effet

■V^Va" aB=Vsf" ^-V»*

il en résulte M'=£, M'=^, M = ^;

d'où, substituant dans l'équation (2), et chassant les dénominateurs,

A»BV+ A'Cy + B^x'sr AWV . . (3) 48i. Cas particuliers. Supposons deux quelconques des trois

coefficient M, M', M* égaux entre en* *, Ji n= M\ par

ce qui donne C es B;

Féqaation devient A*B»s* + A'By + B*** = AW,

ou, divisant par "$, ÀV £ '«.y + BV = À'B*.

Cette équattan > flu'w pen^ mettre sons la frime

«* +y =* p (^ — *)* ou y + «• =• F (*),

caractérise (n° 470) une surface de révolution autour de Taxe des x\ car en faisant x ss çonah on obtient jp -+• s* = consl; ce qui prouve que toute section faite perpendiculairement à Faxe des x9 est «ne circonférence de cercle. Les deux hypothèses successives jrsso, *seo, donnent

AV + B*jc* s=s A*B% A* y* + BV = AfB*.

Ce sont les équations de la génératrice considérée dans deux de ses positions , savoir : dans la plan desxs et dans le plan des xy.

Sx Ton avait M = M*t oa M' = M", on reconnaîtrait de même que la surface serait de révolution autour de Faxe des jr9 ou bien , autour de Paxe des a.

48a. Supposons maintenant M =M' = M*, d'où C=B =A; l'équation (3) se réduit a «• + y% + ** — A-% et représente une surface sphirique dont le centre est à l'origine des coordonnées.

483. Les coefficiens M, M*, H" étant toujours positifs et quelconques, égaux 00 inégaux , on peut avoir P = o, on Y positif.

Dans le premier cas, Féquation devient

Ma* + vay + MV = o,

et n'admet qu'un système unique de valeurs réelles, savoir ,

* = o> y = o, s = o; donc la surface se réduit à un point

H Y PFJlBOLOMi*<UP31W*ï NAPPES . (WH)

Djm» iemotd ,-f équMi<**''> oiîwj *u*gà uW «\M <M «.

:< .3 oui: -~

M** + MV -f MV + P = o, r t

n'admet aucan sjstàmç de vajeurs replies. Ainsi la surface est imaginaire. • ■ "T C «

Concluons '4e «^i^^^^^^^W^ fi\lW\ W positifs à la fois, correspond un seul genre de /surfaces, PElumoÏpb , comprenant coto rofc vartétfi, YZlupiotde dêrêi&lutiÔH, la sphère, un /»//»/ et une surface imaginaire.

• a*. M , W JH&tlfk et W-Oègaty: ' ^