Supposons d'ab«^'My^/P^i«0i*t>«rW^i

L'équation <*>du *° 4^d«^t^ap»^<f^bni *Wk les sigsesen évidence, . , . t .

Ms» + MV — MV =ç -*- P „. f*) -, •

Or, sî Von fait suot^sh^enV * tk «J'y -A**1,0 ï =** y> il vient pour

x = * ... ^%±^^^^%(ùT^nhir^^ (3) ^ = C . . . Ma* — MV = *^m5Hfl+l P). .« (4)

a = y . , . My.rr Mfc=* -r flirt/ fit* P). * . (5)

Les équations (4) et'(5) prouvent que toute section faite dans la surface, parallèlement au plan des xz9 ou au plan des xy, est une hyperbole dont' l'aie ffaasVers^ esta* îri gé1 luttant une parallèle al'axe dos *; »-. ' f" «" -'-«

Quant à l'équation (3), elle représente évidemment une ellipse réelle, tant que l*ôn'dôiinVJSjii' urfeSaîeur positive ou

négative , numériaaement plus grândV que 1/ Tjpî œ qui veut

; * ...iry^:. ' jp

dire que , si aux deux distances OA = 1 / 7^ , O 4f = — • / —

Xfig* 248)> on imagine deux plans parallèles au plan des y*9 la Fig,*43. surface n'a aucun point compris entre ces* plans; mais elle

6fO HTOfiEB©J*ÏDI A JOax KâBFEB.

s'étend indé6i>jment à droite et à {fauche de ces deux plans, dans le sens des x positifs et dans le sens des x négatifs; d'ot l'on peut conclure que cette purface se compose de deux parties distinctes*. é^Ies Cjl, oppqsé^. On l'appelle pour cette raison, et à cause de la nature devses intersections par des plans parallèles/à deux' des plans1 coordonnés! Hypxeboloïm à deux nappes. "*'

Les trois sections principales s'obtiennent en faisant socoatsivement dans l'équation (a), x = o , y = o , z = o \ ce qui donne

M«* + M'y =* — P, M** — MV = — P,

M'y — MV = — P.

La première section est imaginaire; mais les deux antres sont des hyperboles MAM' et rnLrn', NÀN' et nkri> rapportées à l'axe des x comme axe transverse.

Soit posé

aAsssav/îî" aB ,== 2 \/w* aC = a v/s''

il en résulte M" = J, M' = |„ M = ^;

d'où, substituant dans l'équation (a) et réduisant,

A'BV + A*C*y — B»CV = — À'BH?. '

Des trois lignes aA, aB, aC appelées les axes principaux de la surface, la première seulement a ses deux extrémités A, À' (fig. 248) placées sut* la surface. Quant aux deux autres, on convient de les représenter sur la figure par deux distances BB'9 CC', comptées sur les axes des y et des z\ mais les ^ points B, B', C, C, n'appartiennent pas à la surface, comme dans l'ellipsoïde. En un mot, l'hyper boloïde à deux nappes a un seul axe tréÊi&verse et deux autres non transperses.

485. Soit actuellement M , M' positifs et M% P négatif** l'équation (1) devient

WYratBOLOlItt A Vftê fTAYVV. 6l I

M*» + M'y» — IttV = + P*

et Ton en déduit successivement pour

* = «... M** + foV "^ rtv> p, '

, = C ... M* -^^-j^+P, 2 .= y ... My-HVss — My» + P*

La première équation représente une ellipse toujours réelle, « quel que soit «c; et les deux autres, des hyperboles rapportées à l'axe des x , comme axe transirent > ou non transvtrse, suivant que l'on a

On roit donc que, dans le cas actuel, il n'existe aucune di»* continuité dans la surface qui, pour cette raison, porte le nom d'HYPKRBOLOÏDE à une seule nappe.

Les hypothèses successives x === o , y = o , s x= o £fig. «49) * Fig. a fa. donnent

L'ellipse représentée par la première équation, est la plus petite de toutes celles qu'on obtient en coupant la surface par des plans parallèles au plan des y m. * i

Les deux autres équations expriment des hy perbolet situées, l'une dans le plan des x% , l'autre cîails le plan des xy9 et ayant pour axe non trans verse * l'axe des x. Ceci su Ait pour donner une idée assez exacte de la surface dont deux axes principaux sont transverses * et le troisième est non transverse.

En posant*

on trouve M" = —, M' = j^, M = ^;

6ia BvuwAcm uamuns du mem> raoai.

d'où , substituant dans Péquatian ,

A*B V + A*Cy — B'CV = + A'B'C*.

486. Ca$ particuliers des deux byperboloïdes. Premièrement, seit M d= MTr d'où CsB; les équations

des deux surfaces se réduisent*

AV •+* Ay -*• B«x*«= — A*B*, AV + Ay — B»jc* = + AW;

<se qui donne ** + y* = F (*).

Donc les deux byperboloïdes deviennent des surlaces de révoi ut ion autour de Taxe des x.