Secondement, soient M, M.' positifs. M* négatif, et P

égal ào. ,

L'équation devient M** + M'y* — M"** s= o $

d'où l'on déduit *^ = tt< • -: — £*7i

on bien y *• = F f - Jj

donc (n° 465) la surface se trouve! dans oe cas, dégénérée en une surface conique, dont le centre est à l'origine des coordonnées.

488. En résumant ce qui vient d'être dit par rapport & la seconde hypothèse générale, on voit que cette hypothèse donne lieu à deux genres principaux de surfaces, les hyperboloïdes à une ou deux nappes, renfermant comme variété^, Vhyperboloide de révolution et la surface conique. .

489. Remarque. Nous ne considérerons point ici le tes où deux des coefficiens M, M', M* seraient négatifs, puisqu'en changeant les signes, on retomberait nécessairement sur celui où deux de ces coefficiens sont positifs, P étant d'ailleurs positif ou négatif.

Amsi l'équation M** + Wy*+.M*x* + V=e o, ne renferme réellement que trois genres principaux de surfaces, i

' Discussion de V équation Ml£ + M'y* -f- ATx s= o.

Il peut également se présenter deux cas principaux : M et M' peuvent être de même signe ou de signes oontmwe*.

i*. M, M* positifs* h £*À8.

490. Dans cette première hypothèse, N* peut être indifféremment négatif ou positif. Supposons-le d'abord négatif, et mettons le signe en évidence; Féquation prend la forme

En faisant successivement se =s« , yz=.Cf * = y, on obtient

Msi + MV=N-r«,M«,=Njra: — M'^ M>*r=:N#*~My*.

) La première équation est évidemment celle d'une ellipse toujours réelle, tant que « est positif, et de plus en plus grande à mesure que « augmente. Si l'on suppose * = o , l'ellipse se réduit à un point, et elle devient imaginaire, dès qu'on suppose a négatif. On voit donc que la surface s'étend indéfiniment dans le sens des x positifs, et n'a aucun point a la gauche du plan des yx, auquel elle est tangente, à l'origine même des coordonnées.

Les deux autres équations représentent des paraboles dont l'axe principal est dirigé parallèlement à l'axe des x, et dans le sens des x positifs.

Les paraboles correspondantes a l'hypothèse Yss£, ont toutes

N" le même paramètre jg*f et celles qui répondent h issy, ont

N* pour paramètre constant, =-p.

En posant y = o, puis * = o, on trouve (Jig. a5o )

Fig.?5o.

* = M*' J\=ip«»

pour Jas dan* sections principales, snivant les plans dos xe> et

des xy«

D'après ces donnée», ft est facile de se former une idée nette du nouveau genre de surfaces auquel on a donné le nom

de PAlUgoraÏDE VtfJVTtQtn^

Soit actuellement N* positif, atfqnel cas l'équation revient à

Mt' + liyas — N\r; comme, en changeant x en — x, on la ramené à la forme

il s'ensuit que la surface est la m£me que dans le cas de M" négatif: seulement elle s'étend dans le sens des x négatifs comme elle s'étendait d'abord dans celui des x positifs.

4gi* Le paraboioïde elliptique devient une surface de révolution autour de. l'axe des x, dans le cas particulier de M = M'; car alors on a pour l'équation

*'+**= Mx==FCr)i

ce qui démontre que toute section faite perpendiculairement a l'axe des x,est une circonférence de cercle dont le centre est sur cet axe.

a°, M nps&ifet M' négatif.

492. II nous suffira de considérer' dans cette nouvelle hypothèse, comme dans la précédente, le cas olH* est négatif; puisque si N* était positif, on remplacerait x par — x, ce qui changewU. simplement la situation de la surface, mais non sa nature.

• En mettant les signes en évidence^ on a pour l'équation,

Ma*— My=H*x.

Cela posé, soit fait successivement x = #, y=£, * = y> il vient

PAXABQIXMAt mmmmUWK* s 6*5'

Los deux dernières équatiuns^rapréf^t^incore «les paraboles dont Taxe principal est parallèle à l'axe des a?; mais celles qui correspondent k y=C sont 4irjgées daqs le sens des •

x positifs; et ont pour paramètre. aoultaxit '^ytaiidi* que les

paraboles correspondantes * = >, sotrt à* contraire dirigées dans le sens des x négatifs, et ont pour paramètre constant __N» ' ' " ' ■*"'■'

Quant à la première équation , c'est celle d'une suite d'hyperboles ayant pour axe transverse, une parallèle à l'axe des z , tant que & est positif, et une parallèle à l'axe des y , pour toute valeur négative de «.

Les deux, sections principales par les plans >fcs xt et des xy sont Mft*s=N*x, M'y»=— N"a? (^. 261); c'est à-dire deux- Fîg.aSr paraboles COC , B'OB.

La section par le plan des yz ayant pour équations

/M' a?=o, M**— Aiy=o, ou a=s±:y*/— ,

se réduit à on système de detlx droites qui se coupent à l'origine.

Il est remarquable que les hyperboles représentées par l'équation M** — M'j^ssH**, ont pour asymptotes les deux droites dont l'équation est Ma* — M'y* r= o ; d'où il suit que les plans menés par ces droites et par l'axe des x, déterminent au-dessus et au-dessous du plan des xy deux angles dièdres, qui comprennent la surface tout entière ; et f on peut considérer ces deux plans comme des plans asymptotes, par rapport à la surface.

Ce nouveau genre de surfaces étant caractérisé par des sections paraboliques et hyperboliques, se nomme paraboloïdb