HYPERBOLIQUE

Comme lescoefficiens de &* et de y* sont de signes contraires)

6i6 o&iiaiitttot Dbb 'àvuX' paDakoloïdes.

HiypoUitaeMneM? /tÊ»\mtt donner fou à une surface de révolution. D'aîHeoiroyiHWeKTenyrfis fcîent^t que, quelle que soit la | position du phdiJp** lequel ott' coupe cette surface, il est impossible d* obtenir jx>ut\*ëctà6h une courbe limitée, et par conséquent , me «ibotafôrèncéaV cercle.

4g3. Le paratoloîde hyperbolique étant *ne surface assez difficile à se représenter, nous allons faire connaître un moyen de génération, comrmttn àul deuk paraboloïdes, qui sera très propre à donner une idée exacte de l'un et de l'autre. Ce moyen, qui offre beaucoup d'analogie arec celui qui a été employé (n° 42.6) pour le plan , consiste a faire glisser une parabole ayant pour équktîons,

'■yfc'o,' JuV + ïTirrro, parallèleme^lpeUet^a^jntj. sùipaH* une attire parabole,

t=ao, My+N'ôCao,

et de maniçrs quo le «sommet de la première, appelée génératrice, se trouve con*/ animent placé saur la seconde qu'on petit

appeler la directrice f.. . ....

D'après ce mode de génération, il est évident que \es équations de >a génératrice* considérée dans l'une quelconque de ses positions, seront de la forme

y = C, Ms*+ N".r + « = o.

N" Le paramètre de cette parabole mobile, ou-~~"â7> reste

constant; mais comme le sommet qui, d'abord, est situé a l'origine, occupe eosu,ite;une position quelconque sur la directrice, il s'ensuit que la seconde équation doit renfermer un terme « indépendant de x et de y.

Cela posé, remarquons que, pour tout point de la surface, placé sur la même génératrice , la distance au plan des xz et la position du sommet de cette génératrice restent, les mêmes; mais lorsque le point passe d'une génératrice à une autre, les

oi&i&JkTlOV J>Ef toÇVX.V***-******** 617

deux élémens dont nons venons 4e }wfe*icfe*ngei>t nécessaire-» nient ; donc les quantités C et *» qui correspondent à ces été- • mens , sont des quantités çousiantov ensemble et variables ensemble : ainsi elles doivent dépendre d'une certaine manière Tune de l'autre. Or on obtiendra cette relation en exprimant, par Panalyse, que la génératrice et la directrice se rencontrent; ce qui revient Ji dire que les équations

ont lieu en même temps.

D'abord, la valeur z=o, portée dans la seconde deséqua-

lions (1), donne x = — =n#. Substituant ensuite les valeurs

y=zSy ops^~ *- , dans la seconde desà|iiati*ns{«}yon trouve

M'Cm— « = o.... (3)

Telle est la relation qui lie entre elles les quantités a , G, et qui doit exister en même temps que les équations (1) pour toutes les positions de la génératrice, c'est-à-dire pour tous les points de la surface.

Il ne s'agit plus que d'éliminer *, C entre ces trois équations, et pour cela, il suffît de remplacer *y C par leurs valeurs tirées i\e$ équations (1); ce qui donne

My- ( — M**— N'x) = o, ou M^+My+r^o;

c'est l'équation même des deux paraboloïdes.

Lorsqu'on a M, M' {fig. 7t5o) positifs j et K" négatif, les Fig.rôo.

paramètres de la parabole génératrice et de la parabole direc-

M" H* • triée sont — , —, , quantités de mime signe; donc les axes sont

dirigés dans le même sens.

Mais si l'on a M (Jlg. a5i) positif, W négatif et N* négatif, Fïg.aSi,

N" — N* les paramètres sont —, — rrr-, ou de signes contraires; donc N

6l8 DU CINQ OBHBB6 UB SUaFA-ŒS.

les axes do ces paraboles sont dirigés en sens contraire l'on par rapport à l'autre.

494* H résulte de la discussion précédente que les surfaces du second degré se divisent en cinq genres : Tellipsoïpb, ayant pour variétés, Y ellipsoïde de révolution* la sphère, un point ou une surface imaginaire;

L'hypebboloÏde à deux nappes et I'hyfsbboloïdbI une nappe, ayant tous deux pour variétés, VKyperboloïde de révolution et la surface conique de révolution;

Le paraboloïde elliptique, ayant pour variété, le paraboboloide de révolution;

Enfin , le fahaboloïdb hyperbolique, qui n'offre aucanc variété.

Toutefois , les surfaces cylindriques à base elliptique, hyperbolique ou parabolique (n°* fyj& , 476) aont des surfaces qui se rattachent aux par aboi oïd es, puisqu'on les a obtenues en supposant que Vun des carrés, ou deux des carrés, aient disparu en même temps que les rectangles, dans l'équation générale.

495, Cherchons actuellement de quelle nature peuvent être les intersections des surfaces du second degré par des plans situés d'une manière quelconque par rapport à ces surfaces , en considérant d'abord toutes celles qui ont un centre.

Il suffit pour cela (n* 453) de substituer dans l'équation

M*' -f- M'y* + MV -f- P = o, . . . . (1)

a la place des x>jrfzf leurs valeurs tirées des formules

xss« cos 9 •+■ y cos 8 ain Ç *f a> » y = x sin p — y cos 0 cos 9 + 6,

z = y sin- 9 + g-

On obtient , par cette substitution , un résultat de la forme

Ay+B*^ + C*ft + D^ + E*+F==o,... (2)

les coefficiens de cette équation ayant pour valeurs,

Dtf nirafau imtekseot. d'dnb sùai^ce j>tt's£coND usoiié. 619

A = M sînBô + M' cos^fl.cos^+M^.fios^.e sin4?,

B = (M* — M'), a cos fl sit> f c<* ?,