C.= M' 8ioft ^ + M* cos*<p

D = aMc sin 0 — aM'b cos d oo^ -$- iWa cos 9 sin 9,

E =s aM'i sînp -4- aM'a cos p,

F = Me» + M'i* + MV + P.

Or, on sait (n° 356) que la nature de la courbe représentée par l'équation (2), dépend principalement do la quantité B* — 4AC, qui, suivant qu'elle est négative, positive ou nulle , correspond à une ellipse, une hyperbole, ou une parabole, ou bien,, à l*une des variété* de ces courbes..

En calculant cette expression, ou obtient, toute réduction faite,

— M'M* cos» fl — ■ MM' sin» 8 sin* <p — MM* sin» ô cos* <p.

Cela posé , si la surface est un ellipsoïde., les trois coefliciens M, M', M" sont positifs, et l'expression précédente est essentiellement négative. Donc l'intersection d'un ellipsoïde par un plan est toujours une ellipse x ou l'une des variétés de * cette courbe.

Mais pour les hyperboloïdesà une ou deux nappes, deux des trois cœfficiens sont positifs et le troisième négatif; ou bien,. l'un est positif et les deux antres négatifs; ainsi l'expression cj -dessus renfermant des termes positifs,Qt négatifs, peut, suivant les valeurs numériques de M, M', M", q> et 6, devenir positive, négative ou égale à o. L'intersection d'un hyperboloïde par un plan peut donc être une hjperbole, une ellipse ou une parabole.

La surface conique qui, comme nous Pavons vu, est une variété de ce genre de surfaces, donné également lieu à ces trois genres de courbes* ( Voyez n°* 267 et suivans. )

496. En reprenant les mêmes calculs par rapport au paraboloïde, dont l'équation générale est

fao DK8 DlFFia. WTKRSaCT. ft'ûNS SURFACE DU SECOND DBOfté. ^

on obtient, pour lés coefficient de y*, xy, x*,

A = M sin* 9 + M' cos* 6 cos* p,

B = — aM' cos fl sin ? oos f , ,

C •-= M' sm% *;

d'où B* — 4AC =* — 4MM' sin* 9 sin4 «•

Dans le cas du paraboloïde elliptique , les ooefficîens M, M* sont de mime signe ; ainsi B* — 4A.C est essentiellement négatif* et l'intersection est généralement une ellipse.

Si cependant on suppose sin 9 = o , ou sin 8 = o, il en résulte B* — 4AC = o, et -l'intersection est une parabole.

L'hypothèse sin 9 = 0 correspond (n° 453) au cas ou la trace du plan sécant sur le plan des xy, est parallèle à l'axe des x ; ce qui exige que le plan sécant soit lui-même parallèle à cet axe.

L'hypothèse sin 6 = o signifie que le plan sécant doit être parallèle au plan des xy.

D'où l'on peut conclure que les intersections d'un paraboloïde elliptique ne peuvent être que des ellipses, des paraboles ou des variétés de ces courbes.

Quant au paraboloïde hyperbolique » comme M, M' sont de signes contraires, B9 — ^Â.C ou — MM' sin* I sin* $> ne peut être que positif ou égal à o. Donc les intersections ne sauraient jamais être des ellipses ou des variétés de ces courbes. (Voyez ce qui a été dit n° ^cp.. )

497* Soyons comment il faudrait placer le plan sécant, par rapport à l'ellipsoïde et aux deux hyperboloïdes, pour que les intersections fussent des circonférences de cercle.

Pour cela f on doit (n° %g5) poser B = oetA=C;ce qui donne les deux équations de condition

(M* — M') cos 6 sin $ cos ? = o (1)

M sin*ô •+- M' cos* 9 cos* f! *,,.,*. «. «A , x

• *m* «a • * >==M'sin*f -f-M'cos*f. ..(a) -+- M* cos* 9 sin* <p\ T <r \ #

Comme, en général , M" est différent de M', l'équation (1) ne

DES 3&CTIONS ClAÇVU$M£$f etc. 62 Y

peot être satisfaite que par. les trois byppthèses oot <so, sinf 35=0, cosfsso, que nous allons examiner successivement. ' -

i°. cas 0 = o, d'où sin « 25= a j Péquatiou (a) devient

M Œ.jr SÎB» ? + »T. CÛS« f $

- ou remplaçant sin*?, coa*£ par leurs valeur* ■ ■■ ,*"?»{ — ,

1 4- tang* 9f

M ('i+tang»9)=M^tang*^+M*jd'oitaiig?=±Y/g^ ;

a°. sin f =» o, d'où coa f «*s p j on.trouve pou l'équation (2)

M sin* < 4- M' cos' f = M",

o» M tang'l-f- M' = M* (1 + Ung» 6);

donc taog«a=±i/?1''-*"v

3°. enfin, co* ? = o , d'où sin 9 =5 1 ; l'équation (2). s? réduit à

Msînt* + M"cosfté = M', ou *Mtaiig*l+Mff = M'(i+tang»a);

donc «-e'=VïT=Tr

Discutons ces valeurs de.taug 9 et de tang *, qui peuvent être réelles ou imaginaires , suivant l|s hypothèses qu'on peut faire sur les coefficiens M* M', M*.

Or, si l'on multiplie entre elles les quantités sous le radical ,