CHAPITRE I

Développement dîme première méthode tes questions de Géométrie par le

i. Introduction. On a vu, en Géométrie, que les lignes, les • surfaits et les solides peuvent, aussi bien que toutes les autres grandeurs | être exprimées par des nombres; il suffit, en effet, pour cela , de prendre pour unité l'une de ces grandeurs géométriques. Cest ainsi , par exemple, que \/i exprime la diagonale d'un carré dont le côté est égal a i . De même , si 4 et 3 représentent les nombres d'unités linéaires contenues dans les deux £Ôtés d'un rectangle, 4x3 ou îa exprime le nombre d'unités de superficie contenues dans ce rectangle, ou, en d'autres termes ) la surface de ce rectangle. De même encore, 4x3x5 ou 6c exprime la solidité d'un parallélépipède dont les trois arêtes oontîguës sont représentées par 4, 3 et 5.

,« Fou désigne par a, 6, c les nombres ^uni-* nés contenues dans les arêtes contîgnës d'un parallèle pâpêtâe, d£, ce, 6c exprimeront les grandenrs de trois de ses faces, et ebe sa solidité.

On voit dune que P Algèbre , dont les méthodes sent applià taaies les questions numériques possibles, peut aussi à résoudre les questions relatives aux grandeurs* que Ton rfure en Oeoeautf nv

a. Qa il s'agisse, par exemple, de déterminer la grandeur d'une lizne d'après la connaissance d'une ou de plusieurs au— très lîznes comprises avec la première « dans une même figure. O. suppose le prcbUme résolu, et ton tâche , à F aide de quel" epses prcposi:icns de Gécmétrie, dont l'existence est déjà étabiie, et qui ent quelque rapport avec t énoncé du preblinu), oj) tdcke , dis -je, d'exprimer par des équation* les relations qui existent entre les données (représentées , soit par des lettres, soit par des ck&res) et les inconnues, toujours représentées par des lettres. Oa résout ces équations, et l'on obtiens ainsi les exprès- . siens des lignes cherchées au moyen des ligne* connues, exprèssLz.is qu'ié faut ensuite traduire en Géométrie. *

Si la question proposée est un théorème a démontrer, on traduit algébriquement les relations qui existant jutre les dif- /crédites par lies Je ta Jîgute, ce qui conduit à des équations azixiuelUs enjait subir diverses trans/lrmations, dont la derzitre Jcane lieu au t/iévrrme énoncé.

Ea un mot, traduire en Algtbrt les questions de Géométrie, et .réciproquement, traduire en Gécmétrie les résultats obtenus par f Algèbre, tel est le but qu'on se propose dans P Application bk L'iLLGÈsax a la Gioxèrmis.

DêTeloppons ces notions générales sur quelques exemples.

3. Proposons-nous d'abord de rechercher Us propriétés* prin*dftzùs dis triangle rectangle et du triangle obliquangie, en» parlant de ce seul principe , que deux triangles équianglem oui leurs côtés homologues proportionnels, eé sont par coneèque ut semblables*

^iNTaoDuonow. 3

un triangle BA.C. (fig. 1) rectangle en A. Du point k ^G*1, abaissons AD perpendiculaire sur BC, et posons BC = a, AC = b, AB = c, AD = £, BD = i» et DC=sn. . Les deux triangles BAC, ADC sont rectangles , l'un en A, l'autre en D ; de plus , ils ont l'angle G commun ; donc le 3e angle ABC du premier est égal au 3e angle DAC du second, et les dt»ux triangles sont semblables. Il en est de même des triangles BAC , ADB.

* Ainsi, comparant les côtés homologues , et employant les notations qui tiennent d'être établies , on obtient les trois

proportions

a - b :: b : n, ) r b* = an (O,

a : c ::*c : m, / d'où l'on déduit / c* = ani (a),

a : c :: b : A, } />c=aA (3),

égalités auxquelles on peut réunir celle-ci : a = m + ?t. . . (4)>

qui existe nécessairement entre les deux segmens BD et DG

Ces quatre équations renferment implicitement toutes les propriétés ^es triangles rectangles ; et il ne s'agit que de les faire ressortir par des transformations convenablement exécutées.

: .i°. Les égalités (i) et (a) j ou plutôt les proportions qui y

' ont conduit , nous apprennent que chaque côté de l'angle droit est moyen proportionnel entre l'hypoténuse entière et le seg-

• ment adjacent. C'est une des propriétés principales du triangle

'rectangle. >

, a\ Ajoutons membre à membre les égalités ( 1) et (a) ; il vient

„ . b% + c* = atn -f- an = a(m + ri),

ou , à cause de l'égalité (4) , b* + c' = a*.

Ce qui démontre que, dans tout triangle rectangle* le carré de ? hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit C'est la propriété caractéristique du triangle rectangle.

3°. Multiplions les mêmes égalités (1) et (a), membre à membre \ on obtient 63ca = a*mn ;

4 « mnoiwcTiON.

mais l'égalité (3) donne aussi JVssaflr*;

donc a*mn=a*h*9 et par conséquent, h*=mn> ou bien, I

m l h II h l n»

Ainsi , la perpendiculaire abaissée du sommet de V angle droit sur ¥ hypoténuse est moyenne proportionnelle entre les deux segmens de V hypoténuse.

4°. Divisons membre à membre les égalités (i) et (a); il fû

A* ait

^=— -, d'où *•:«»::»: m;

cr am

c'est-à-dire que les carrés construits sur les côtés de F angle sont entre eux comme les segmens de l'hypoténuse.

En un mot , tonte transformation exécutée sûr les égalités (i)y (a)* (3) et (4), conduirait à un résultat qui, traduit géométriquement y ne serait autre chose qu'on théor%me ou «ne vérité plus ou moins remarquable.

4. Observons d'ailleurs, en passant, que, comme ces quatre équations renferment six quantités a, b} c, h, m et n , il s'ensuit que deux quelconques d'entre elles étant données] on peut se proposer de déterminer les quatre autres, à' l'aide de ces équations. . '

Supposons, par exemple, que connaissant l'hypoténuse BC et la perpendiculaire AD, il s* agisse de déterminer les deux côtés » de l'angle droit et les deux segmens.

Les équations (1) , (a) et (4) donnent d'abord, comme on Fa

déjà vu, &* + *'*=<*•>

mais si l'on double l'égalité (3) , on a aie = aaA ;

d'où , faisant successivement la somme et la différence de ces

deux-c, Ion déduit { (*c)' = «■-**;

.et par conséquent,

b+c=y'a*+zah, b — c=|/a1 — aa/r.

Connaissant la somme b + c et la différence b — c des

1 urntODUCTiOK. 5

deux aftfs fr et c, il est facile d'obtenir chacun d'eux en particulier.

On *, d'après un théorème connu , pour le plus grand côté (qu'on peut toujours supposer exprimé par 4),

et pour le plus petit c ,

Quant aux deux segmens, ils sont donnés immédiatement par les équations (i) et (2), puisque b, c et a sont maintenant connus.

5. Remarque. La seconde partie des deux valeurs de b et c nous apprend que, pour que. le triangle puisse exister avec les données établies , il faut que l'on ait

•a* > aaA, ou au moins, a* =s iah ;

d'où l'on tire

, A<— , ou tout au plus, A = -;

car autrement les valeurs de b et de c seraient imaginaires.

En effet, pour construire un triangle rectangle , connaissant ^hypoténuse et la perpendiculaire abaissée du sommet de V angle droit > on peut employer le moyen suivant :

Décrivez sur l'hypoténuse BC {fig. 2) comme diamètre une ». demi- circonférence; élevez au point B une perpendiculaire Bit égale à la perpendiculaire donnée; menez HL parallèle à BC; et les deux triangles ABC, Â'BC satisfont également à la question.

Or, pour que le problème soit possible , il faut évidemment

que BH soit plus petit que - BC, ou, tout au plus, égal à.