AB ; AE :: AE : EB

Posons AB = a, AE^o;*, d'où E6sa-^x.

La proportion détient a *: x :: x : et «s— * j f

d'où l'on déduit l'équation r* = a* — ax ,

qui, étant résolue, donne

De ces deux valeurs fournies par la résolution de l'équation , la première est la seule susceptible de satisfaire à l'énoncé du problème, tel qu'il a été établi j car la seconde est négative et numériquement pluà grande que a; d'où il suit qu'elle ne peut exprimer une partie de la droite donnée a. Nous verrons plus loin par quelle circonstance cette valeur se rattache à la première, et comment on doit l'interpréter; occupons-nous donc seulement de la valeur *

et voyons ce qu'elle signifie en Géotnétrie :

8 WTBODUCT10N.

Ce résultat âadUqae évidemment que, pour obtenu1 II de x en ligne, 3 faut retrancher la moitié de a de l'expression

%/<**+"/-• Mais, en vertu de la propriété principale du.

triangle rectangle, l/ aa + -r représente l'hypoténuse d'au

triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit sont a

a et -• #

De là il est aisé de conclure la construction suivante :

A ? extrémité Bdela ligne AB=a, élevé* une perpendiculaire»

BG égale à -a, et tires AC; il en résulte

AC

*"Jt

Du point C comme centre, avec, le rayon CB = - , décrivez, un arc de cercle j BD, qui coupe AC au pou»* D ; tous aurez

AD=AC— CD = y/a' + j — ?.

Enfin* rabatte* par un arc de cercle AD de A *» E; et le point £ sera le point demandé*

En effet, on a

AE

= AD-V/*+5-f«

. Il est a remarquer que cette construction à laquelle on est parvenu, est précisément celle qu'on donne dans les élémene de Géométrie. Pour l'obtenir par dçs considérations purement géométriques, il faut une analyse assez délicate, tandis qu'à l'aide des symboles de l'Algèbre , on la trouve facilement et sans aucun effort.

C'est ainsi qu'en appelant l'Algèbre au secours de la Géomé-