INTRODUCTION. ', O
trie, on parvient <4>uvènt à résoudre des questions qui, autre- # ment, exigeraient des»niisonnemens difficiles et compliqués. , /
8t Eu réfléchissant sur la* manière dont la dernière ques- • tion vient d'être traitée, ou voit que là résolution d'un pro- -
M blême ^e Géométrie par le secours^ de, l'Algèbre se compose de trois parties principales :
l°. Traduit* algébriquement J'énonce du problème j Ott le* mettre en équation; » .
» 2*. Résoudre V équation ou les équations j suivant que l'é- ' nonce renferme une ou plusieurs inconnues. ,
' * 3°. Construire ou évaluer en lignes les expressions algébriques •
■ auxquelles on est parvenu. * .
' Souvent^ il fauf y joindre une 4* partie' qui a pour objet la * discussion du problème ,,-ou l'examen de toutes les circons- ' tances qui y sont relatives. {Voyez le n° 5.) . . «t
Or, il en est des problèmes de Géométrie comme des pro~ #< *
' blêmes d* Algèbre, cfest-à-dire qu'il n'existe pas de règles bien fixes pour mettre un problème en, équation. Le précepte Çtabli en^ Algèbre est également applicable {voyez n° a) aux pro- • Mtiïus de Géométrie; mais la manière de le mettre en pratique ^ varie suivant les diffiérens problèmes qu'on peut avoir à résoudre. Cependant, npus développerons dans le troisième cba-. pitre une méthode générale à ce sujet. Dans celui-ci, nous n'emploierons que des artifices particuliers à chaque problème,
• parce que ces* méthodes, quoique indirectes, donnant .souvent des solutions plus simple/et plus élégantes que la méthode générale, il es^jiétoessaire de les faire connaître.
Les équations une foia obtenues, on peut les résoudre d'après les méthodes que «fournît l'Algèbre. Toutefois, les commençans ne sauraient trop s*e*ercer a faire les calculs adroitement, en cherchant à dégager1 le plus simplement possible les inconnues, dés équations qui ont été. établies.
' Quant à la troisième partie, qui a pour objet de construire les expressions des inconnues , les règles à suivre sont faciles et en petit nombre. Cest donc par le développement de cette dernière partie qu'il convient de commencer.
# § I". Construction des expressions algébriques.
gt Nous ne considérerons, dans tout ce qui Ta suivre, que des expressions rationnelles au irrationnelles du second degre^, c'està-dire des résultats provenant d'équations du premier ou do. .second degré.
Les expressions élémentaires^ c'est-à-dire les expressions à la construction desquelles on peut ramener toutes les autres, sont4 au nombre de six, savoir : *
(a, t, c, A... exprimant des nombres d'unités linéaires cou* ténues dans des lignes données).
I °. Soi t à construire l'expression <r s= a— &+ c— d -f- e . » .
C£ résultat, pouvant être mis sous la forme
* représente la différence entre la somme faite des lignes <*$ cr e. « . • , et la somme faite des lignes b , d. . . . *
D'abord , pour obtenir une ligne égale à a -f- c +*?+•••• ; Fig. 5- prenez sur une ligne indéfinie AX ( fig. 5 ) , et à partir du
point A"> ÀB = a, BC = c, CD sz « ; vous aurei ainsi
AD = a -+• c -f- *.
Porte* ensuite de D f*rs A, DE=6* EF=<£, ce qui donne
DF = i+d;
il en résulte nécessairement AF =sx a + e "4" * — * (^ + <0 — *• .On peut, avec la même facilité, construire les expressions * ar = 3a, a; = 5&....; tout se réduit * porter la ligne a ou 6 à la suite d'elle-même, plusieurs fois.
On a vu d'ailleurs | en Géométrie > le moyeu de diviser use droite donnée en a, 3, 4# 5« • • t parties égale»; ainsi ^ il ne
« „ Ola EXfBBSflKmS AUB&HIQUES. . , # ••II #"
serait pas plus difficile de construire les résultats x = ^r,
Par exemple , pour construire la dernière expression , il
suffit de diviser & en *] parties égales et de prendre 3 de ces parties; ou bien , de prendre une ligne égale à 3a > qu'on diviserait ensuite en 7 parties égales.
' 3°. i&h* d construire le résultat x=z — :
On en déduit la proportion c l a II b '. x \
d'où Ton voit que x est une 4" proportionnelle aux trois" lignes données c, a et i. J
Pour l'obtenir > forme* un angle indéfini XkY (fig. 6), et à Fig. partir du point A., prenez sur AX , AB =s c , AC = a , puis sur AT, AD*= b. Tire» BD */ mtf/ie?z par le point C, CE />a- « ~ rallèle à BD. La ligne AE sera la ligne cherchée.
En effet , on m , d'après cette construction ,
■» ah
AB:AC:;àD:àE, ou bien, c\a\\b\ AE ; d'où AE=— =x.
Autrement. Sur une ligne indéfinie AX > prenez AB=rc, fig.
ÀC — eu Du point B tirez une droite quelconque BT et prenez ■ BD sir b. Joignes AD^ ** |iar le point G menez CE parallèle à BY* La ligue CE sera la ligne demandée. Car on aura
ab : ac :: bd : ce, ou c : a :: b : ce. ,
3°. L expression x = — , ou x =
est une 3'
proportionnelle aux deux lignes a et c, puisqu'on en déduit
La construction est donc la même que celle de l'expression ' précédente.
On peut toutefois, dans certaines circonstances, lui substituer celle-ci:
OOKSTlUCTIOlf
*%• •■ êstr une ligné AB = c (Jtg. 8) , comme diamètre* décrit**
umé demi-circonférence; du point A. comme centre * et avec un
•rayon AC égal à*, décrivez un arc de certle oui rencontre ta
• demi-circonférence au point C} puis abaisse* la' perpendicu- .
taire CD sur AB. Von* aures AD pour la 3* proportionnelle
demandée. '
En effet, le triangle rectangle ACB «donne
ab:ac::ac:ad, on c:a::a:AD; d'où ad=««-=x. >
N. B. Ce mode de construction suppose évidemment que Pou ait a<^c. En outre, on ne l'emploie avec avantage qu'autant que, dans la figure du problème, il existe déjà une demicirconJerenoe décrite sur c comme diamètre , parce qu'alors il n'y a réellement que la perpendiculaire CD à abaisser. .
4°. Le résultat x= ^ ab exprime une moyenne propor- * ' tionnelle entre a et b j car on en déduit , %
x* = aX&| d'où alxllxlb.
Fi* 9. Pour la construire, prenez sur une ligne indéfinie AX
" ififr 9) deux parties AB = a , BC = b\ puis sur la somme AC
de ces deux parties j comme diamètre* décrive* une demi-circon-
fèrence et élevé* la perpendiculaire BD. Vous aurez BD'pour la
1 ligue cherchée.
En effet, le triangle rectangle ADC donne
AB:DB::DB:BC, ou a:DB::DB:4-, d'où DB= j/a*=x.
Fig.10. Autrement. Sur une ligne AB = a (fig. 10), décrive* une • demi-circonférence; prenez sur AB une partie AC = b* et éle-
vez en C la perpendiculaire CD. La corde AD est la ligne \ demandée. ' •
Car le triangle rectangle ADB donne
AB : AD :: AD : AC, ou a! AD;; AD: b ; donc AD as ^ab. •
lin]
* DES EXPRESSIONS AxaiBBigtnu. l3
5°. X = V'aï+b* exprime l'hypoténuse d'an triangle rec- • tanglç dont les deux côtés de l'angle droit sont a et b. ^
Format un pngle droit CAB {fig. 1 1 ); puis prenez AB=a,% Fîg.u. AC =ab,et tire* l'hypoténuse BC; vous aurez ,
se
= VaB+~AC — yV-f-6'
6°. x=» f/«* — ^a e*t l'un des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont Puyjpoténuse est a et l'autre côlé &.•
Premiers construction. Tracez un angle droit X AT (fig 1 a) ; ffg. w- *ur AX prenez AB =& , puis, du point B comme centre ^,e$ avec a /wztr rayon ., décrivez un arc de cercle qui coupe AT » /» u/s point>€u Vous ailrez ^C pour la ligue demandée. ,
En effet, cette construction donne
AO
= y Bc'-t A»* ou bien, AC s= i/o* — *ft = *•
Seconde construction. Sur AB=±a (fig, i3) , comme dût- F. '-" . mètre a décrivez une 4emi*circonférence; à partir du point • A , prenez, une corde AC=6. L'autre corde CET sera la ligne demandée. Cela est évident. '. *
Troisième construction. L'expression f/ a* — b* peut se
«iettre#ous la forme V(a-\-*b)(a — T>), et représente une moyenne proportionnelle entre les deux lignes a + Jeta— fc. •
Sur une ligne indéfinie AX , prenez AB = a (fig. i£) >et por- 'jrç- ,* te* b A B «h C, puis de B eh D, Décrivez sur AC , comme diamètre j une aimi-clrconférence, et élevez au point D /a perpen- \
diculaire DE» Vous aurez la corde AE pour la ligne demandée.
Car il résulte de cette construction,
AÊSrs=ACxAD=(a+6)(a— i); * .
d'où . AE= t/(a + 6) (a — b) = x.
1 o. De la construction des expressions y aa-f- i* et v aa— A* , il est facile de déduire «elle du résultat * '
OOMT»HOT101l
x = v/û*— *a + eft — d* + e*— . .
• ?lgi5*# D'abord, «wj» AB=a (fig. i5), co/nai* diamètre j décrit** f *i *ww* demi-circonférence ^ et à partir du poipf, A, prm** uœ - ' • corcfe*AC=ô; puis tirez l'autre corde BC. Vous aure**-
BC= t/iF^T?. ' * .
Soit posé 1/0* — ^ = »»; il en résulte c* — 6* =
etJa valeur de X devient x=!k /na-Hc* — d*-^- *• - • •
Prolonge* ensuite AC ûPtt/i* /Ktrti* CD zsr'ic , puw tires. BD; Tous aurez , •
. Soit . \/a%— *» + c*fi=n; d,oùô•— 6«+c* = »%
; il en résulte x-=^yn%^dk + e%....x t
-i? f Maintenant , *i*r BD, comme diamètre, décrivez une d* micirconférence ; prenez une corde DE=rf , et tirez BE. Vous aurez
' *• BE== V^n%^di=\/âT^T:+cT^à^. ' '
Continuez ainsi cette suite de constructions jusqu'à ce que . vous soyez parvenu» au dernier ries carré» qui entrent sous le radical de la valeur de x. " •
1 1 . La construction précédente sert principalement a évaluer en lignes les radicaux numériques.
Soitj pour premier exemple, à ^construire x*é=. |/i5.
On peut d'abord mettre cette expression sousjk forme. . . .
x= y 5 x3, et elle représente ainsi une moyenne proportionnelle entre 5 et 3.
Mais il est plus simple de la transformer -en cette autre ex- ; pression: xsac V/16 — 1 ■= V^(4)* — *•
Alors tout se réduit à construire un triangle rectangle dont l'hypoténuse est 4> et l'un des côtés est égal ai. - *
On trouvera de même
1 des Bxpaiwatr» AfcoiaRigvEs. tt
L'artifice consiste à décomposer le nombre sous le radical, flans la somme algébrique -de plusieurs carrés, ce qui est tôt* •jours possible. ,
On démontre même Ans l'analyse * algébrique , que toutnombre entier, s'il n'est pas un carré, est décomposante dans la somme de deux * trois ou quatre carrés au plus.
îa. Noua sommes actuellement en état de construire 1*» expiassions afgébriques les plus compliquées. Commençons par les monômes rationnels.
Soit proposée l'expression x = --^ — .
On. peut la mettre sous la forme x = — -y»X -•
* Tkàb • * •
Or, —7- exprime évidemment une Sf proportionnelle a«x
trois lignes* J, 2a et 4.
aaZ%
Soit donc cette ligne construite, et posons —j- = mj* il en
résulte xsi: i7» X - , qui exprime encore une ^proportion-* ize//e auxtrois ligneste , n» et c.
Soit encore à construire x =
ao'iV
^t. " * .* . „ , ûa* a b b c
Cfttte expression retient à ^^"gXjX/X/X-'
D abord, ^j, ou — ^ — exprime k#i* 4 proportionnelle aux lignes 3J, 2a et à. . "
Posant r- = m, ona
Or m * % ^présente une 4* vropoHwmelk wx lignes à
m et a.
Soit
it mX^=n, il en résulte * •
» • En continuant ainsi, l'on parviendra, à l'aide de aW? 4** * proportionnelles, à nue dernière ligne qui /•présentera la valeur proposée.
N. B. Xq «oroér* ife» 4° propordamnetes est toujours marqué par le degré, ou par la somme des exposons du dénorrsd*mteur. * • # m
# i3. Passons aux expressions fractionnaires polynômes.
%a*—Za*b+b%c So* à construire as = fl,aflfe + b. - -
* On peut d'abord l'écrire ainsi : - .
/ * Si ^ a^rès avoir supprimé le facteur a commun aux deux
termes, on pose — = ro, — = n, il en «suite , » * a a ».
' a(aa — - Zb -f- m) } * a — 26 + » ' •
* • et cette expression représente alors uni 4° proportionnelle aux *roi* lignes a — afc + n , a et ia — 3ft -f» m. * * •
Quant aux deux lignes m et n , on peut les construire facilement , d'après ce qui a été dit plus haut.
L'artifice de ces transformations consiste à mettre ' en évidence j au numérateur et au dénominateur, tous les facteurs littéraux, moins un, gin entrent dans Vun des termes. *
Il faut toutefois avoir le soin de* faire ressortir la lettre qui
DBS EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. 17
entre le plus de fois comme facteur dans les deux termes de la fraction , parce qu'alors il y a moins de constructions partielles* à cause des réductions qui se présentent; mais ces simplifications demandent de l'habitude.
On trouvera pareillement que l'expression
e4 — zc?b+*ab%c — b*cd A . a(m — n+2c — p)
x=z — y- — — — 77-;-; — r> revient kx = — ^ ^SJL
2a6* — 36J — 4bc*+c*d 2a— 36 — q+r '
en mettant le facteur ab* en évidence au numérateur et le facteur b* en évidence au dénominateur, puis posant
a3 239 cd 4e* c*d
m=F> *=T' p — ^9 '=Tf rs=s TF'
Ces dernières expressions étant construites, on en déduit la valeur de x, qui est une 4* proportionnelle aux trois ligne» 2a — 36 — q-\-rya et m — n -f- 2c — p.
On peut remarquer qu'il y a beaucoup d'analogie entre ces transformations et celles qu'on exécute pour rendre les expressions algébriques calculables par logarithmes.
i4« Considérons maintenant les expressions radicales du second degré. v
Soit , premièrement, l'expression x = \/a% — bd*
On peut la mettre sous la forme x — 1/ a(a — — J;
et si l'on pose — = m, ligne facile à construire, il en résulte
expression qui représente une moyenne proportionnelle entre les deux lignes a et a — m.
Autrement. Soit fait »*= bd, il vient x= {/a*— n*\
d'où l'on voit qu'après avoir construit une moyenne proportionnelle n entre b et d, il suffit de déterminer l'un des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant pour hypoténuse a, et n pour autre côté.
lS COKSTRUCTIOH
... , /a3 — aà'c + SA»
Soit , on second lien, x= W —~r .
Cette expression revient à celle-ci :
=vA
Ha-b)
quantité qu'on pent construire aisément «J'après ce qui a été d n° i3.
Désignant donc cette quantité ou cette ligne par m, ou ob tient x = \/b x m, expression facile à construire-
En général, pour toute expression radicale du second de gré, il suffit de mtttrten évident* , sous le radical > un denfac leurs littéraux qui entrent dont les termes du numérateur , ■ par exemple; le second facteur sous le radical est alors uj* expression rationnelle qu'il faut construire et désigner ensuit par m; 1s question se réduit finalement à construire ta valeu.
N. B. Si l'on avait une expression telle que x =a \J -
coefficient a
il faudrait commencer par faire passer le coefficient a sous \i radical, ce qui donnerait
Remarque importante sur FuouoGÉiiiiTt.
■ 5. Dans toutes les expressions que nous nous sommes proposé de construire, nous avons supposé,
i". Tous les termes du numérateur, tic même degré entn
DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. I£
eux, ainsi que tous ceux du dénominateur; 2°. le degré du numérateur plus grand que celui du dénominateur, d'une unité < pour les expressions rationnelles, et de deux unités pour les radicaux.
Une expression est dite homogène, lorsque ces deux conditions sont remplies; et elles le sont, toutes les fois que, dans la traduction algébrique de l'énoncé du problème , on a désigné par une lettre chacune des lignes qu'on a dû faire entrer en considération. 11 suffit, pour se convaincre de la vérité de cette assertion , de réfléchir sur la nature des relations que fournit la Géométrie pour la mise d'un problème en équation. Ce sont, en effet, ou des proportions entre des lignes exprimées chacune ' par une lettre; ou bien, des égalités entre des surfaces (telles que la proposition du carré de . l'hypoténuse et celles qui en dépendent). Mais une surface est toujours exprimée , soit par le carré d'une ligne , comme aa, soit par le produit de deux lignes, comme ab\ donc les équations du problème doivent être elles-mêmes homogènes, c'est-à-dire que tous leurs termes doivent être de même degré. D'ailleurs, on sait que toutes les transformations exécutées sur des quantités homogènes conduisent nécessairement à des résultats homogènes.
Ainsi , soit x = — - , d'où Àx = B , le résultat auquel on
est parvenu pour l'une des inconnues.
i°. B et A doivent être séparément homogènes;
a°. Gomme x exprime déjà une ligne, il faut que A soit d'un degré moindre d'une unité que B; autrement, l'équation Ax=B ne serait pas homogène. '
Donc enfin, dans l'expression x = ~j- , les deux conditions
énoncées ci-dessus doivent être satisfaites.
Quant aux radicaux du second degré qui peuvent être généralement représentés par x=l/A, comme on en déduit x* = A, et que le premier membre xa exprime une surface, il s'ensuit que le second membre A doit aussi exprimer une sur-
20 OOWTlUCTiOK
face. Donc, si A est fraction ne ire, le degré du numérateur dsît surpasser de deux unités celui du dénominateur.
Mats st , dans la vue de rendre les calculs plus simples, m convient de prendre ponr unité l'une des lignes que l'énoncé àa problème prescrit de faire entrer dans le calcul , comme les diverses puissances de i sont égales a i, le degré de chacun ds ternies où cette ligne se trouvait élevée à diverses puissances, doit nécessairement diminuer d'une ou de plusieurs unités; et, dans le résultat obtenu pour la valeur de l'inconnue , les deu conditions de l'homogénéité doivent, en général, cesser d'exister.
Par exemple , si dans les expressions
ab a<rVc a" — bd
, elles se réduisent à
— gv+jg
on suppose t
'ïZFg'
Cependant, comme la construction de la ligne cherchée dépend des grandeurs de tontes les lignes données , et , en particulier , de la ligne prise pour unité j il faut préalablement h rétablir dans l'expression de x; ce qui n'offre aucune difficulté, car, en désignant cette ligne par une lettre, m, par exemple, il suffit de l'introduire dans les différent termes, comme facteur , il une puissance d'un degré tel que tes deas conditions d'homogénéité soient remplies.
.. ■ .,„ «*— an+3ftc
Ainsi, soit I expression x= r * — .
* a — aA'+i '
qui n'est pas homogène, parce qu'on a supposé l'une des lignes de la question égale à 1 . /
Puisque l'un des termes du numérateur est du 3" degré, et qu'un de ceux dn dénominateur est du 2* degré , tous 'les autres ternies doivent être respectivement ramenés à ces mêmes degrés.
Donc, en désignant par m la ligne prise pour 'unité, ou a
DBS EXPRESSIONS AldéBHIQUES.
a8 — aam* + 36cm pour 1 «pression, x = am^ + m,
ai
qui peut se
construire d'après les règles établies précédemment.
De même, x^^-^^j, devient __-^-^ — .
Soit encore a?
Chacun des termes, sous le radical, devant être du a* degré,
dm1
aef" aefm ce cem* a*f atf on transformera ^ en -^-, ^ en -^-, 3- en 35; et
l'expression deviendra
ST + "jg^ dm7'
Posant alors
'-Ï-T^i «f-^xÇ.
cent
* ce .. „ m* ,, . . /ce m*
F=7x7i do* «"^7*7;
et construisant/», 9, r, d'après les principes connus, on obtiendra pour x la valeur x = v/pa + ça— r* , expression qui rentre dans celle du n° 10.
16. JV. B. Dès qu'on applique l'Algèbre à une question de Géométrie, la représentation des lignes de l'énoncé par des lettres , suppose toujours qu'on ait pris une certaine ligne pour unité; mais il faut distinguer deux cas :
Ou le résultat auquel on parvient, pour l'expression de l'inconnue , est homogène; ou bien , il ne l'est pas.
JJane le premier eaêj la connaissance de la ligne prise pour est indifférente à la construction du résultat.
Dans le tecond, cette ligne est, pour ainsi dire , en évidence,
>n introduction dans le résultat est indispensable pour la ftruction.
n doit donc , jusqu'à un certain point , distinguer deu :cea d'unités linéaires : I'cne qu'on peut appeler Vunité imite; c'est celle qui correspond à des résultats immédiatement logènes, et que la représentation algébrique des lignes sup- ! toujours, au moins d'une manière tacite; I'autke, qui it alors V unité explicite; c'est une des lignes données de ueatiou, que, pour simplifier le calcul, «n a juge' à prode faire égale à i. Son rétablissement dans le résultat calcul est toujours facile , au moyen dés deux condition} unogénéité.
tous aurons sourent, surtout dans le a" chapitre, occasion >pliquer ces derniers principes.
