Construction des équations du second degré à une seule

Quoique les règles établies précédemment suffisent, à la riur pour la construction des résultats auxquels on est cont par la résolution d'une équation , soit du in, soit du a' Té, puisque ces résultats sont toujours, ou des expression* lonneUtSj ou des expressions irrationnelles du second degré, 'est pas inutile de faire connaître une construction déduite l'équation elle-même, sans qu'on soit obligé de résoudre te dernière , parce qu'il y a des circonstances où cette consction donne lieu à une solution plus simple et plus élégante problème.

lemarquons d'abord que, toute équation du second degré ivattt être ramenée à la forme

&±.px = ±;q,

s signes des différent termes sont mis en évidence ) , sa istructiou exige qu'on la rende homogène. Or, par bjpose , x exprime une certaine ligne; donc il faut que p resente aussi une ligne et q une surface qu'on peut toujours ■poser transformée en un carré k%; et alors l'équation de-

DES ÉQUATIONS DU SECOND DBORfi. *3

Tient

x* ± px = ±. k* \ .

ce qui donne lieu, par rapport aux signes, aux quatre équations suivantes :

xa + px = + k*. . . (i), x* + px = — fc*. . . (3),

x* — px = + *'•• • (a) > x* — px = — &• . • . (4) •

D'ailleurs, il est aisé de voir que les racines des deux équations (i) et (3) ne diffèrent que par le signe , de celles des équations (a) et (4)î et comme, pour le moment, nous ne voulons que connaître en lignes les valeur» absolues des racines, il s'ensuit que la question se réduit à construire les racines des équations (2) et (4).

Considérons donc, en premier lieUj l'équation (a)

OU xa — pxss + ft9;

Elle peut être mise sous la forme x( x — p) := + fc* ; et traduite en Géométrie , elle revient à cet énoncé : Construire un rectangle connaissant la différence p de ses côtés contigus, et sa surface k*. Car, si l'on appelle x le plus grand côté, x— p exprime le plus petit; x(x — p) est une seconde expression de sa surface qu'on a déjà supposée égale à un carré donné A*.

Cela posé, pour résoudre ce problème, décrivez sur une droite AB = p (fig. 16) , comme diamètre, une circonférence entière; Fig. 16. élevez au point A une perpendiculaire AC = k , et menez par le centre O la sécante COO. Vous aurez CD pour la racine positive de Féquation, et CE pour la valeur absolue de là racine négative.

En effet, on a évidemment la proportion

CD : ac :: ac : ce, ou cd : k :: k : cd — p>

ce qui donne CD (CD — p) = k% ;

d'où l'on voit que CD vérifie l'équation

La proportion CD : AC : : AC : CE >

Ftg. 17.

revient encore à celle-ci : CE -j-p l k II k t CE , d'où résulte l'égalité CE (CE + p) = *»,

ou bien encore , — CE (— CE — p) = k*;

donc —CE vérifie aussi l'équation x(x — p) = k*.

iV. B. Il est évident que la construction précédente est toujours possible; et, en effet, les deux racines de la proposée sont nécessairement réelles, quelles que soient les grandeurs de p et k.

Les racines de l'équation (1) ou

x* + px = *• • seraient d'ailleurs — CD et + CE.

Soit, en second lieuj l'équation (4) ou

x*~ px = — £*.

On peut, en changeant les signes, la ramener à x(p— x)=ir*; et, sous cette nouvelle forme, elle est la traduction algébrique de cet énoncé : Construire un rectangle connaissant la somme p de deux côtés contigus et sa surface ka. Car, si l'on appelle x l'un quelconque des côtés, p — x est l'expression du second ; ainsi sa surface a pour valeur x(pr—x), et l'on obtient l'équation ci-dessus.

Pour la construire , décrivez sur une droite AB = p (fig. 17), comme diamètre , une demi -circonférence; élevez au point A une perpendiculaire AC = k , et menez par le point C la droite CD parallèle à ÀB; abaissez enfin la perpendiculaire DG« Vous obtiendrez AG et GB pour les deux racines de la proposée.

En effet, cette construction donne évidemment la proportion

AG : JDG :: DG : GB, ou bien AG : k II k : p — AG ; d'où l'on déduit l'égalité AG (p — AG) = *•,

qui , comparée avec l'équation x (p — x) = J&%

donne évidemment x = AG.

La même proportion revient encore à p — GB ; k : ; k l GB,

BBS EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. %5

d'où fon déduit l'égalité x GB(p— SB) sa k\

qui , comparée à l'équation x{p — x) = k%

donne également x=GB.

Les deux racines de l'équation (3) ou x* +px= — ft* (qui sont négatives), seraient représentées par — AG et — GB. N. B. La construction ne donnerait aucun résultat, si Ton

avait fc>-, puisqu'alors la parallèle CD ne rencontrerait

plus la circonférence ; et en effet , dans le cas de k > - , d'où

A* > y , les deux racines sont imaginaires.

Si l'on avait & = -, ou /i,=~, la parallèle CD deviendrait tangente au point I , et les deux racines seraient égales à AO et OB. '

18. Seholie général. Les principes que nous venons d'établir abnt suffi sans pour la construction de tous les problèmes dont les équations conduisent à des résultats rationnels , ou k des exprès- ..«ions irrationnelles du second degré. Nous ajouterons cependant une observation; c'est que, dans chaque problème, il faut tâcher de faire servir la figure de l'énoncé à la construction des résultats; car c'est ordinairement dans la liaison plus ou moins directe entre la construction et la figure, que consiste le plus ou moins d'élégance de la solution du problème«par le secours de l'Algèbre : les problèmes suivans en fourniront des exemples.

§ II. Résolution de diverses questions relatives à la

ligné droite et au cercle.

C'est en proposant d'abord quelques problèmes particuliers et faisant ensuite quelques réflexions sur la manière dont ces problèmes ont été résolus , qu'on peut initier les commençant dans les méthodes de 1' Application.

• 19. Premier problème. Inscrire un carré dans un triangle