PROBLÈMES

Fig.i8. donné ABC(jîg. 18); c'est-à-dire, trouver sur le côté AB un point £ tel , qu'en menant EF parallèle à BC , et EG 9 FH perpendiculaires sur BC , la figure GEFH soit un carré.

Supposons le problème résolu , et abaissons du sommet A la hauteur AD du triangle. Il est évident que si le point l était déterminé de position, il en serait de même de EF, et par conséquent du carré cherché.

Posons donc DI = EG = EF = x , et tâchons d'obtenir une équation entre cette ligne x et les autres lignes qui , dans la figure, doivent être regardées comme connues : ce sont les trois côtés du triangle et la hauteur AD.

Or , les deux triangles ABC , AEF étant semblables , leurs bases BC , EF sont entre elles comme leurs hauteurs AD , AI ; c'est-à-dire qu'on a la proportion

bc : ef :: ad : ai.

Cela posé , soit BC = a , AD= h ; comme on a d'ailleurs DI = EF=x, il en résulte AI = A — x\ d'où , en substituant ces notations dans la proportion ,

ou bien , ah— ax = hx\ donc x = r •

Cette expression représente évidemment une quatrième proportionnelle aux trois lignes a -f- h , a et h.

Pour la construire , nous ferons usage de l'angle AQjL , parce qu'on a déjà AD = A, et que le point I cherché doit être situé sur AD.

Portons d'abord BC ou a de D en K , et AD ou h de K en L, il en résulte DL= a+h, DK = a; et comme on a déjà DA=/i , il s'ensuit que si l'on Joint le point L au pointa*, et quon mène SI parallèle à LA , le point I sera le point demandé.

En effet , on a la proportion

dl : dk :: da :Di; d'où a + h:a::h :mh

donc

Dl =