SUR LA LIGNE DROITS ET LE CERCLE

Le point I étant déterminé, on mène par ce point , EF parallèle à BC, et EG, FH perpendiculaires <*BC; ce qui. donne GEFH pour le carré demandé.

20. Remarque. Dans l'analyse de ce problème, nous avons eu le soin de n'établir les notations algébriques , qu'après avoir reconnu quelles étaient les données absolument nécessaires. Ainsi , nous n'avons eu besoin de faire entrer, en considération que la base et la hauteur du triangle, quoique les deux autres côtés fussent également connus. C'est une attention qu'on doit toujours avoir pour éviter les notations inutiles.

ai. Second Problème. Étant donné* déposition et de grandeur un cercle X (Jig. 19) et une droite AB, trouver sur le F)g*i9« cercle un point M tel que ^ si on le joint aux extrémités de la droite AB , et qu'on tire la corde DE * cette corde soit parallèle à AB.

' (Nous considérons particulièrement ici le cas où la droite AB est extérieure au cercle.)

Solution. Remarquous d'abord que , si le point D était fixé de position sur le cercle, il en serait de même des deux, lignes AM, BM, et par conséquent, de la droite DE. Or, le point D serait connu si, en abaissant la perpendiculaire DG, on pouvait déterminer la distance AG.

Du point G, centre du cercle, abaissons la perpendiculaire CF,et posons AB = a, AF = i, CF = c, CD = r, AG=x, DG =y ; il en résulte GF = DI = b — x, CI = c —y.

(Quoique l'introduction d'une seconde inconnue DG ou yy puisse sembler inutile a la détermination du point D , elle n'en est pas moins nécessaire pour la commodité du calcul.)

Ces notations étant convenues, observons que le triangle rectangle. CDI donne d'abord /

CD = DI + CI , ou bien r%= (i — x)»+ (c — y)*. ... (1)

première équation entre les inconnues x} y et les lignes connues b , c9r.

Pour en obtenir une seconde, nous considérerons les deux

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triangles MAB et MDE, ils sont semblables et donnent la

proportion MA : MD :: AB : DE;

toh Pon déduit MA : AD :: AB : AB — DE,

00, multipliant les deux premiers termes par AD,

ma x ad : ad* :: ab : ab — de.

Or, quoique nous ne connaissions pas les longueurs de MA et AD, le rectangle MA X AD n'en est pas moins connu; car si , du point A qui est déterminé de position , nous menons la tangente AL, ce qui est permis, nous ayons, d'après un théo-

* rème de Géométrie, MAX AD = AL = ma (en désignant par m la nouvelle ligne connue AL).

On a d'ailleurs

AD = x* + y, . AB=a, DE = 2DI = 2 (6 -~- x); d'où AB — DE = <x — 26 + 21?.

Ainsi , la proportion ci-dessus devient

m* : x» + y* :: a : a — 26 + 2x; d'où l'on tire m\a — 26 + 2x) = a(x* +jr%) ; (2)

telle est la seconde équation du problème.

On peut faire subir quelques simplifications aux équations (i)et(2).

i°. L'équation (1) étant développée, devient

x*+y =2&x 4- 2cy — (6*+ c* — r*);

on a d'ailleurs pour la seconde,

Cela posé, i°. le triangle ACF (fig. 19) donne ÂC=o*-t-c*,

et le triangle ACL, AL*ou roa=AC — LC = b% + c* — r\

m* 2°. La quantité — estune troisième proportionnelle qu'on peut

supposer construite , et en posant — = 11 , il en résulte m% = an.