BD X AC = AB X DC4- AD X BC

Soit menée du point B la droite BE, de manière qu'on ait l'angle CBE égal à l'angle ABD ; il en résulte nécessairement l'angle DBC égal à l'angle ABE.

Cela fait, les deux triangles BCE, ABD sont semblables, comme ayant deux angles égaux , savoir : CBE es AB D , par construction, et BCE = ADB, puisqu'ils sont inscrits et appuyés sur le mgmearc.

On a donc la proportion CE : BC :: AD : BD ; d'où l'on déduit CE X BÔ = BC X AD. . .*. . (1)

Pareillement, les deux triangles ABE, BDC sont semblables, puisque -ABE = DBC, d'après la construction , et que BAE ss BDC» comme appuyés sur le même arc.

dbs ffaeiiiaps. 5$

On a donc la proportiom A£ : AB :: DC : BD*

d'où l'on tire AExBD=ABxDC (a)

Ajoutant l'une à l'autre les égalités (i) et (a) , on obtient (Œ + AE)BD, on ACxBD=BCxAD + ABxDC.

Appliquons ce théorème à la question proposée*

Soient ABC (fig. 3g) le triangle donné, et O le centre du Ffe- 3g. cercle circonscrit.

Tirons le diamètre COD et les cordes AD» BD ; puis faisons , Câpres les notations du n° 34 >

BC = a, AC=&, AB = c et OC = r;

il en résulte AD œ {/^r* — 6% BD = l/4r* — «S puisque les angles CAD, CBD sont droits.

Cela posé , on a, en vertu du théorème précèdent ,