AB X CD = CB X AD + AC X BD

ou y employant les notations convenues ,

2cr=al/4r*— 6* + *|/4r« — a1..*. (A)

Telle est la relation générale qui existe entre les côtés d'un triangle et le rayon du cercle circonscrit.

Cette formule renfermant quatre quantités a, b, c, r, on peut se proposer de déterminer Yune quelconque an mojen des trois autres; et cela donne lieu à différens problèmes que nous allons successivement résoudre et discuter.

39. i°. Étant données dans un cercle dont le rayon est connu, les perdes de deux mrcsj on demande la corde de là somme de <** deuM ares.

Soient X (fig. 3g) le cercle donné, AC ^ CB les cordes aussi données j AB sera la corde de la somme des deux arcs.

Ou connaît donc dans la formule (A) les quantités a, h1 rv et il ne s'agit que d'obtenir c.

6û • BIS0V881ON

Or , cette formule donne immédiatement

c==— Vkf — A* H VV1 — a* (B)

4o. a°. Déterminer la cordé du doublé d'un arc* connaissant la cordé de cet arc.

Fig* 4°* Soit fait dans la formule (B) , b = a (fig. 4° ) > *l°r* c exprime évidemment la corde du double de l'arc soutendu par a ou b ; et il Tient

4i. 3°. Réciproquement , déterminer la corde de la moitié d'un arc* connaissant la corde de cet arc.

Dans la formule (G) , les quantités c et a étant liées entre elles de manière que l'une est. la corde du double de l'arc soutendu par l'autre , il s'ensuit que, réciproquement , la se- * conde a est la corde de la moitié de l'arc soutendu par la première c. Ainsi , tout se réduit à déterminer a en fonction de c y d'après la formule (G).

Or, si l'on chasse le dénominateur et qu'on élève les deux membres au carré; il vient

cV* = 4<iV — a* , ou , ordonnant , a* — 4<*V = — c*r*.

Donc a* = a** ±. {/£r* — c V ,

ou bien , a% = r(ar ± V fa* — c") >

et par conséquent, a = Vr (ar dt V/4r" — c") . . • . (D) .

(Nous ne mettons point ici le double signe devant le premier radical , parce que nous n'avons besoin que de la valeur numérique de a. )

L'expression de a qu'on vient d'obtenir présente deux valeurs essentiellement différentes, et cela doit être.

En effet , la corde AB appartient non-seulement à l'arc AGB,

de* rmovLàaxs. 61

mais encore à l'arc ADB; ainsi , lorsqu'on demande la corde de la moitié de l'arc soutendn par la corde AB, il n'y a pas plus de raison pour trouver ÀC, corde de la moitié de ACB, que AD, corde de la moitié de ADB.

Toutefois, si l'on suppose d'avance que l'arc soutendu par la corde donnée AB est moindre qu'une demi-circonférence, il faudra prendre pour a la plus petite des deux valeurs cidessus , c'est-à-dire celle qui correspond au signe inférieur du radical , et l'on aura

a = VV(ar — \/fr* — c*).

Le contraire aurait lieu, si l'arc donné était plus grand qu'une demi- circonférence, et il faudrait prendre pour a,

a = y/rfar + ^ ty* 4. c»)#

Il est d'ailleurs facile de se convaincre que si AC est exprimé par la première de ce« valeurs, AD est représenté par la seconde.

En effet, le triangle rectangle CAD donne

AD = VV — Âc*;

mais, par hypothèse, AC ss ar* — r VV* — &\

donc AD = \/ar* + r V ty* — «*•

4*. 4°a Étant données les cordes de deux arcsj trouver la corde de leur différence (Jig. 40- Fig. *>.

Soient AB = c, AC ss b les deux cordes données, et proposons-nous de déterminer CB ou a, qui n'est autre chose que la corde de la différence des arcs soutendus par c et b.

La question est donc ramenée à traiter a comme une incon^ aue, dans la formule (A), et à tâcher de l'en dégager*

Reprenons cette formule

*cr = a \/fyr* — ï* -f b y/^ — a*, et observons que a se trouvant sous le second radical, il faut

6a discussion

commencer par faire disparaître ce radical. Or, de cette fermule on tire , par k transposition,

2cr — a \/ fa* — b% = b {/^r* — a* ; d'où, élevant au carré,

\ 4^,» 4acr y" 4,* -, £* 4. 4a«r» — a'Aa = 4* V — a*b* ; ou , réduisant et ordonnant par rapport à a ,

Cette équation étant résolue, donne

a =±l/4r* — ^zh -v/4^— C (E)

2r xr '

Pour interpréter ce résultat qui comprend deux solutions , nous remarquerons que les cordes données AB, AC appartiennent chacune à deux arcs, savoir :

ACB, ÀDB, pour la corde AB, et AMC, ADBC, pour la corde AG

Ainsi, lorsqu'on demande' la corde de la différence des arcs sou tendus par AB et AC, le même calcul doit donner la corde de la différence entre l'un quelconque des arcs ACB, ADB et Pun quelconque des arcs AMC, ADBC.

Or, si sur l'arc ADB , on prend* une partie AC égale à AC, et qu'on tire la corde BC, on aura

i°. ACB — AMC=CNB qui correspond à la corde CB,

a°. ADB — AMC= ADB — AM'C = C'DB CB ,

3°. ADBC— ACB =ADBC— AM'C — CNB=CDB... CB, 4°. ADBC— ADB = CNB CB;

d'où l'on Toit que les quatre différences sont égales deux à deux et correspondent aux deux cordes CB, CB.

On yoit encore que, si les arcs soutendus par les cordes don-

nées sont supposés plus petits à la foie, ou plus grands à la fois qu'âne demi-circonférence , comme le sont les arcs ACB et AMC, ou ADBC et ADB, la réponse à la question est nécessairement

CB ou a = - \/£r* — b% |/4r*"— c»;

ar ^ - ar ^ 7

mais si les deux arcs soutendus sont supposés Fan plus petit et Pautre plus grand qu'une demi-circonférence, on a pour réponse ,

CB ou a = - Vb* — b% -f -|/4r»— c\

ar ar

■AT. /?. Il est à remarquer que cette dernière formule est identique avec la formule (B) qui donne la* corde de la somme de deux arcs; et cela doit être, car C'B peut être regardée comme la corde de la somme des arcs soutendus par AB et AC.

43. 5°. Étant donnés les trois côtés a,bj c d'un triangle, on demande l'expression du rayon du cercle circonscrit à ce triangle.

L*a difficulté consiste à dégager r de la formule (A).

Or, dans le numéro précédent, on a déjà obtenu, par une première transformation exécutée sur cette formule, l'équation

a% y^r* — b*.a = ft* — et

qui revient k r(a% ■+• ea — b*) = ac {/fr — b*.

Élevant de nouveau les deux membres de celte équation au% carré , on a r* (a% + ca — i9 )• = £a W — a*b*c* ;

d'où l'on déduit r* =

4aV — (aa + c* — b* )â*

* abc

et par conséquent, r = -^=====— ==.

( Le double signe devant le radical est inutile , puisqu'on ne demande que la valeur numérique du rayon.)

64 DIACU8MOK DIS PSOGBLiiriS.

iV. /?. La formule (3) du n° 34, donne

Vfa%c% — (aâ -f- c* — *•)• ss 45 ;

on a donc encore r = .-7^- ,

c'est-à-dire que le myor» </t« cercle circonscrit a pour expression le produit des trois côtés du triangle j divisé par le quadruple de sa surface*

44- Noos ferons connaître, à cette occasion/ la valeur du rayon du cercle inscrit, parce que cette expression pourra aussi être utile dans la suite.

Soit un triangle donné ABC (fig. 4^), et O le centre du F>8' 4a* cercle inscrit à ce triangle. Tirons les lignes OA, OB, OC, et les rayons OP, OQ , OR, que nous désignerons par /.

Les trois triangles ABO, ACO, BCO nous donnent pour

leur surface, ABO = —, ACO as — , BCO = — :

donc, en ajoutant, on a ABC, ou Srsr^r ^— )'j

• § aS

et par conséquent , r =

a^fb + c

Ainsi, le rayon du cercle inscrit à un triangle., a pour e*pression le double de la surface de ce triangle, divisé par son périmètre.

TKtooNOMirjus. 65