CHAPITRE II

Trigonométrie rectitigne.

45. Introduction. Dans tontes les questions précédentes , il a suffi, pour leur résolution , d'établir4 des relations entre des lignes droites. Mais comme, en Géométrie, on considère non-seulement les grandeurs des lignes , mais encore leurs inclinaisons mutuelles, il s'ensuit que , pour certains problèmes , la détermination d'une ligne doit dépendre nécessairement de la grandeur d'un ou de plusieurs angles*

Soit , pour exemple, la question suivante : Une droite AB {fig. 43) étant donnée de longueur,, ainsi que les angles CAB, pjgs 43. CB A qu'elle forme avec deux droites indéfinies AC , BC , on demande la hauteur CD à laquelle les deux lignes AG , BG se rencontrent.

11 est bien évident que la valeur de CD dépend explicitement de la grandeur de AB et de celle des angles GAB , CBA ; et si l'on -veut appliquer le calcul à la détermination de CD , on est conduit à rechercher des relations numériques entre ces différentes grandeurs , dont les unes sont des lignes droites et les autres sont angulaires. .

Au premier abord , on a de la peine à concevoir comment en peut faire entrer les angles dans les calculs. Ce pendant les géomètres y sont parvenus, en substituant aux angles ou aux arcs qui leur servent de mesure les grandeurs de certaines lignes droites ayant une liaison intime avec eux.

Ils avaient d'abord imaginé de substituer aux arcs décrits aTec un rayon déterminé et constant pour tous, les cordes qui s les sou tendent; et, pour cela, ils avaient construit des tablas renfermant, d'une part, les grandeurs des arcs exprimées en degrés, minutes, secondes, etc., et de l'autre, les valeurs des

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cordes , ou plutôt, les rapports de ces cordée avec le rayon. Au moyen de cet tables on pouvait toujours , un arc étant donné > déterminer la corde correspondante , et réciproquement , une corde étant donnée ^ déterminer l'arc ou l'angle correspondant. Ainsi la résolution d'un problème se réduisait , en* dernière analyse , à former des relations entre des lignes droites. Il est d'ailleurs facile de concevoir la formation de pareilles tables : c'est en partant d'un arc dont la corde est connue (par exemple, du 6e de la circonférence , qui , comme on le sait , est sou tendu par le rayon), et faisant ensuite usage des formules qui ont été établies à la fin du chapitre précédent , et qui donnent la corde de la moitié d'un arCj la corde de la somme ou de la différence de deux arcsj la corde du double d'un arc, etc

Mais , depuis, on a beaucoup simplifié la question , en remplaçant les cordes par d'autres droites dont le calcul n'est pas plus difficile , et que l'on compare plus aisément aux côtés des figures.

46. C'est dans la détermination des rapports de ces lignes avec le rayon du cercle dont elles font partie * et dans l'application des tables qui renferment ces rapports j à la résolution numérique des triangles (dont toute figure rectiligne se compose) y que consiste la trioonom£tbie.

Cette branche des Mathématiques peut être regardée comme faisant partie de l'application , puisqu'elle fournit de nouveaux matériaux pour la résolution des question* de Géométrie par le secours de l'Algèbre. Nous ne pouvions d'ailleurs placer la Trigonométrie en tête de cet ouvrage , parce qu'où verra que plusieurs des principes établis dans le chapitre précédent, tels que le principe sur l'homogénéité , le principe sur les changemens de signe correspondans aux différences de position , seront continuellement .rappelés dans celui-ci.

DUS LIGNES TMOONOMXTRIQUES. 67

j Ier. Relations entre les lignes trigonomé triques. Détermination des formules principales. Construction des tables.

47. Commençons par faire connaître la nature des lignée trigonométriques * c'est-à-dire de ces lignes que l'on est convenu d'introduire dans le calcul à la place des arcs on des angles.

Soient AGBG' (Jig. 44 ) une circonférence décrite avec nn Fig. 44. rayon OA pris pour unité,, AC l'arc qui mesure un angle AOC, ayant un rapport quelconque avec l'angle droit AOG.

Du point C abaissons CD perpendiculaire sur le rayon OA , et CE perpendiculaire sur le rayon OG. Elevons au point A la perpendiculaire AT prolongée jusqu'à sa rencontre avec OC, et au point G la perpendiculaire GS prolongée aussi jusqu'à sa rencontre avec OC.

Cela posé , l'on appelle sinus d'un arc ou d'un angle, la perpendiculaire CD abaissée de l'une des extrémités C d'un arc sur le rayon qui passe par Foutre extrémité A.

11 résulte de cette définition que le sinus d'un arc est la moitié de la corde qui soute nd Varc double. En effet, prolongeons CD jusqu'à sa rencontre en C* avec la circonférence ; on sait que le rayon OA perpendiculaire sur une corde CC, divise cette corde en deux parties égales , ainsi que Tare soutendu ; donc CD est moitié de CC, qui soutend un arc double de AC

La tangents d'un arc est ' la perpendiculaire AT élevée à V une des extrémités d'un arc* eu prolongée jusqu'à sa rencontre avec le rayon qui passe par Vautre extrémité.

La sicANTX est la partie OT du rayon prolongé * comprise entre le centre et la tangente.

Comme on appelle complément d'un arc celui qui , joint au premier , forme un quart de circonférence , il s'ensuit que les lignes CE, GS, OS, représentent le sinus j la tangente et, la sécante du complément CG de Varc AC , et on les nomme,