RELATIONS

En effet , comme celles-ci existent pour Umt are moindre que

le quart de circonférence, ou ioo° (en adoptant la division

centésimale) , il s'ensuit qu'elles sont Traies pour l'arc exprimé

par ioo°— a. Ainsi, en remplaçant a par ioo°— a, dans la

formule (2) , on trouve

, • \ rsin(ioo°— a)

tang (ioo#— a) = } — - ^ :

°. ' cos(ioo°— a) '

mais on a tang (ioo° — a) = cot a, sin (ieo°— - a) = cos ay cos(ioo°— a) = sin[ioo° — (ioo° — a)3 = sin a\

, ^ roosa

donc cota=—: .

sina

On reconnaîtra pareillement que les formules

séca = , et séc* a = r* -I- tang* a ,

cos a °

r* deviennent coséc a = -: — . et coséc* a == r* -4- cot* a ,

sina '

par la substitution de ioo° — a à la place de a.

En général, toutes les fois qu'on a obtenu une certaine relation entfe des lignes trïgonomè triques d? un arCj les unes directes* les autres indirectes (n° 47)-» on peut en former une nouvelle par le simple cJiangement des lignes directes en lignes indirectes correspondantes* et réciproquement.

5o. Seconde remarque. Puisque , dans les formules précédentes, le rayon est toujours censé connu, on peut le supposer, pour plus de simplicité, égal à 1; et alors elles deviennent sin* a + cos* a = 1 . . . ♦ (1) séc*a = 1 -f- tang* a. . . (4)

sin a , x cos a ,Cx

cos a sin a

séc a = — .... (3) coséc* a = 1 + cot* a. . . . (8) cos a ' x

cot a s= 7— • • • (5) tang a

coséc a s=s - — . • • (7) sina

1MTRB LES LIONM^TEIOONOM^TRIQUES. 'Jl

Nous mettons à part les formules (4), (6) et (8), parce que

«d'abord (6) est implicitement comprise dans (2), d'après la

remarque précédente; en second lieu, (8) se déduit de (4)»

d'après la même remarque. Quant à la relation (4), elle est une

conséquence de (1), (2) et (3).

En effet, la relation (2) donne

, A . , sin' a cos* a -f- sin* a

i + tang*a=i H — = ;

cos* a cos* a

ou, a cause de la relation (1) , 1 -4- tang* a= — j- ;

COS d

maïs on a déjà séc a = : donc 1 + tang* a = séc* a.

cos a °

Gela posé, il est évident, Q'après l'inspection àps formules (1), (2), (3), (5) et (7), que la valeur numérique du sinus étant connue,, on peut en déduire facilement celles des cinq autres lignes trigonomè triques,

La formule (1) donne cosa= y\ — sin* a, et fait connaître le cosinus; les suivantes donnent les valeurs de tang a, séc a , cot a et coséc a, par de simples divisions.

Généralement, comme ces formules renferment six quantités, il doit, toujours être possible, connaissant Y une quelconque d'entre elles, de déterminer la valeur des cinq autres.

Toutefois, rien n'empêche, dans cette détermination, de faire usage des formules (4), (6) et (8), si la simplicité des calculs l'exige, puisqu'elles sont des conséquences des cinq premières.

Pour nous familiariser avec l'emploi de ces formules , nous supposerons, par exemple, que l'on connaisse j à priori, la valeur de la co tangente j et nous nous proposerons de déterminer chacune des cinq autres lignes,

i°. De la formule (5) on déduit tang a = —— ;

v cot a