La relation (8) donne coséc a = \^i + cot* a
1% VAXXUBS
3*. La relation (7) donne sina = — 7 — =s „ y — - — " : 4°. De la relation (4) on tire
V ' cot'a cota
5°. Enfin , la formule (3) donne
1 cet g cosa = — — = #/ ~.
sec a yï+cot û
Si y dans ces formules, on veut introduire le rayon r, il ne s'agira que de rétablir Y homogénéité, et l'on aura , d'après la règle établie (n° i5),
tanga=— =— , cosécas t/r*-j-cot*a,sin
. rVV-f-cot'a -» " »„__Z^°ta $ec a = — * e* cos 0 =
cota V> + cot*a
Il en serait de même pour toute autre ligne donnée à priori*
Détermination des valeurs corrélatives.
Si. Nous avons maintenant à nous occuper d'une des que»* tions les plus délicates de la Trigonométrie : elle a pour objet de déterminer les valeurs corrélatives des lignes trigonométriques d'un arc, en supposant que cet arc passe par tous les états de grandeur par rapport à la circonférence entière. Dans la dénomination de valeurs corrélatives , nous comprenons nonseulement l'idée des rapports numériques du si nus, cosinus, etc., avec le rayon, mais encore celle des signes qui correspondent aux diverses situations que ces lignes peuvent avoir les unes à l'égard des autres. (Caenot, Traité de la Corrélation des figures. )
11 semble, au premier abord, qu'il doive nous suffire de considérer des arcs compris depuis o° jusqu'à 2000, puisque ,
ooxaiLATnrxs. 73
dans les figures rectilignes ordinaires , chacun des angles qu'elles renferment est moindre que deux angles droits. Cependant les géomètres , dans la résolution des questions de haute analyse* ont été conduits à rechercher quelles peuvent être les lignes trigonométriques, même des arcs plus grands qu'une circonférence entière.
Pour fixer les idées sur cette question, nous supposerons qu'une droite de longueur finie , et dont l'une des extrémités est en O {fig. 44)* étant d*abord couchée sur OA , tourne ensuite autour de ce point et toujours dans le même sens, de manière à prendre successivement les positions OG, OB, OG', OA; qu'après être revenue dans la position primitive O A , elle continue encore son mouvement. Il est clair que, dans ce mouvement continu , la droite OA engendrera tous les angles possibles, et que l'extrémité A parcourra successivement tous les points de la circonférence AGBG'A. En outre , comme la droite mobile, après avoir fait le tour entier , continue son mouvement, l'arc ainsi parcouru se composera d'un nombre entier de circonférences (nombre qui peut toutefois être nul) , plus d'une partie quelconque de circonférence.
Or, c'est dans la détermination des lignes trigonomitriques des arcs de cette espèce que consiste la question proposée.
Nous nous occuperons d'abord spécialement du sinus et du cosinus, comme étant les lignes les plus usuelles. Les formules (2) , (3) , (5) et (7) du n° 5o , feront ensuite connaître les valeurs correspondantes des quatre autres lignes.
52. Lorsque le point décrivant est en A, ou bien lorsque l'arc est nulj il est évident que le sinus est lui-même nul, et«que le Cosinus est égal au rayon.
A mesure que le point décrivant s'élève au-dessus de AB, le sinus augmente et le cosinus diminue , jusqu'à ce que le point décrivant soit arrivé en G, auquel cas le sinus devient égal au rayon * et le cosinus est nul.
D'où l'on voit que l'arc croissant depuis o° jusqu'à ioo°, le sinus augmente d'une manière continue depuis o jusqu'à 1 ; et au contraire le cosinus diminue depuis 1 jusqu'à o.
1 4 YAIOTBS
Supposons actuellement le point décrivant arrivé en C; le sinus est alors CD', et, suivant la seconde définition du cosinus, le cosinus est OD'. Mais, si par le point G on mène CC parallèle à AB, on a évidemment ACssCB, supplément de AC (on sait que le supplément d'un arc est ce qui lui manque pour valoir aoo° ou la demi circonférence); on a aussi C& = CD, et OD'= OD.
Donc, i °. le sinus d'un arc plus grand que i oo° et moindre que 200°, est le même que le sinus de son supplément.
2°. Comme les deux distances OD7 et OD sont égales, mais qu'elles sont comptées en sens contraires par rapport au pointO, il s'ensuit (n° 26) qu'elles doivent être affectées de signes contraires. Ainsi le cosinus» d'un arc compris entre ioo° et aoo* est égal et de signe contraire au cosinus de son supplément.
Eh termes abrégés , sin (2000— a) =sin a\ cos (2000— à) =— cosa (a désignant l'arc CB ou AC).
On peut encore motiver le changement de signe du cosinus de la manière suivante :
Le cosinus d'un arc étant le sinus du complément de cet arc, si l'arc est égal à 1 oo° + a, le complément est 1 oo° — ( 1 oo°+ a), ou bien, —a; c'est-à-dire que ce complément est un arc négatif.
Fig. 45. Or y si l'on considère un arc AM' (fig. 45) égal à AM, mais; situé en sens contraire de AM , on a évidemment (n° 26)
sin AM' = — 8În AM , ou sin— a = — sin a.
Remarquons, en passant, que le cosinus OP est le même pour les deux arcs AM' et AM ; donc cos — a =3 -f- cos a.
Revenons à notre objet : à mesure que le point décrivant se j?ig# ai rapproche du point B (Jlg. 44) > ou que l'arc augmente depuis ioo° jusqu'à 200°, le sinus diminue et le cosinus augmente* mais négativement; et lorsque le point décrivant tombe en B > le sinus redevient nul* et le cosinus est égal à — 1.
Soit le point décrivant arrivé en C*. Tirons le rayon C'O et prolongeons-le jusqu'à sa rencontre en C avec la circonférence; puis abaissons les perpendiculaires CD' et CD; on a nécessaire-
OORBiliATITES. 7®
ment BCsssAC, CTy =CD et OD'=OD. Mais comme CIÏ est compté, par rapport au diamètre AB, en sens contraire de CD , et qu'il en est de même de Off et OD , par rapport an point O , on peut conclure que le sinus et le oc- $inm d'un arc plus grand que aoo* et moindre que 3oo°, sont égaux et de signes contraires au sinus et au cosinus de Fore,, dont celui que l'on considère surpasse 2000. En termes abrégés ,
sin (aoo° + a) = — sin a j cos (200° «+■ d) =r. — cos a.
Lorsque le point décrivant est en G', le sinus devient égal d — 1 , et le cosinus redevient nul.
Soit le point décrivant arrivé en C", ce qui donne un arc AGBG'C", compris entre 3oo° et 4°°° ; " l>on abaisse la perpendiculaire CTD, et qu'on la prolonge jusqu'en G , on aura
AC=AC et C~D = CDy
d'ailleurs le cosinus OD est commun aux deux arcs AGBG'CT et AG. Ainsi , le sinus d'un arc compris entre 3oo° et 4oo° est égal et de signe contraire au sinus de l'arc dont celui que Von considère est surpassé par la circonférence entière j et le cosinus est le même pour les deux arcs; ou bien
sin (4oo° — à) = — sin a ; cos (4oo* — a) sas cos a.
Enfin, lorsque le point décrivant revient en A, auquel "cas l'arc parcouru est égal à une circonférence entière , le sinus et le cosinus redeviennent les mêmes que pour Tare nul; et si l'on suppose que ce point , après avoir parcouru une ou plusieurs circonférences, repasse par les ménves positions, il est évident que les sinus et cosinus reprendront les valeurs qui ont déjà été assignées,
53. Voyons maintenant ce que deviennent la tangente et K cotangente, dans les mêmes circonstances.
La formule tang a = prouve que si l'arc est nul*
la tangente est aussi nulUj puisque l'on a
76 ' TAUUM
sin 0 = 0 et cos 0=1,
L'arc augmentant la tangente augmente aussi , puisque le sinus augmente et que le cosinus diminue; elle augmente même très rapidement, et lorsqu'on suppose l'arc égal à 100% comme
on a sin ioo°= 1, et cos ioo°=o, il en résulte tang ioo°=- ;
c'est-à-dire que la tangente devient infinie. Gela est d'ailleurs évident d'après la figure , car alors la perpendiculaire élevée à l'extrémité À est parallèle au rayon qui passe par l'autre extrémité de l'arc.
Au-delà de ioo° et en-deçà de 200°, la tangente devient négative et diminue numériquement, puisque le sinus et le cosinus sont de signes contraires , et que le sinus diminue, tandis que le cosinus augmente 3 si l'arc devient égal à 200% la tangente redevient nulle, car sin aoo°= o j cos 200° = — 1 •
Pour un arc compris entre 2000 et 3oo°, la tangente redevient positive, puisque le sinus et le cosinus sont tous les deux négatifs) elle augmente d'ailleurs numériquement jusqu'à ce que l'arc soit égal à 3oo°, auquel cas la tangente est égale à V infini négatif car sin 3oo° = — 1 , cos 3oo° = o.
Enfin , pour un arc compris entre 3oo° et 4O0°; 'a tangente est négative, puisque le sinus et le cosinus sont de signes contraires ; elle diminue d'ailleurs numériquement jusqu'à ce que
Parc soit égal à 4<>o°; et, dans ce cas, on retrouve tang 4oo°=o.
Quant à la cotangeute, il résulte de cota = , que pour
les signes, les cotangentes suivent la même loi que les tangentes. Pour la marche des valeurs numériques, elle est inverse de celle des tangentes. Ainsi, pour l'arc nul, la eotangente est infinie; pour un arc de ioo°, la cotangente est nulle, etc....
iV. B, Le changement de signe des tangentes et cotangentes peut être motivé indépendamment des formules, et d'après la figure.
En effet, lorsque l'arc est AGC, la tangente correspondante est , d'après la définition , représentée par AT". Or, AT*
coBaibATiroa. 77
est dans une situation contraire à AT, qui est la tangente de AC, supplément de AGC La cotangente est G S', et cette ligne est aussi dans une situation contraire à G5.
Si nous considérons l'arc AGBC, la tangente correspondante est nécessairement représentée par AT, qui est aussi la tangente de AC.
La cotangente est d'ailleurs GS ; ainsi la tangente et la cotangente de AGBC' sont positives.
Pour l'arc AGBG'C*j la tangente redevient AT', et la cotangente GS'; donc elles sont toutes deux négatives*
54- 11 nous reste encore à examiner ce que deviennent la sécante et la cosécante.
Or, les formules séca = . cotée a = -? , prouvent
cos a* sin a r
que, sous le rapport des signes, les sécantes suivent la même loi que les cosinus, et les cosécantes la même loi que les sinus.
Ainsi la sécante d'un arc compris entre o° et 1 oo°, ou entre 3oo° et 4°°°> est positive; la sécante d'un arc compris entre ioo°et 3oo°est négative. La cosécante d'un arc compris entre o° et 2000 est positive; et la cosécante d'un arc compris entre aoo° et 4°o° est négative.
Quant aux valeurs numériques, la sécante est en raison inverse du cosinus, et la cosécante, en raison inverse du sinus.
Ainsi , pour a = o , l'on a cos 0 = 1 et séc 0=1; mais à mesure que l'arc augmente, la sécante augmente j tandis 'que le cosinus diminue jusqu'à ce que l'on soit parvenu à l'arc de 1000, auquel cas la sécante est infinie, tandis que le cosinus est nuîj etc.
Même raisonnement pour la cosécante comparée au sinus.
55. N. B. Le changement de signe de la sécante et de la cosécante ne peut être vérifié au mojen de la figure , comme on Ta (ait pour les autres lignes trigonométriques , parce que ce ne sont plus des distances d'un point variable à un point ou à une droite fixe, comptées sur une même ligne, et qu'alors
78 VALEUBS
on ne saurait leur appliquer le principe du n° 26. Toutefois, ce changement de signe correspond à une circonstance très remarquable. Lorsque l'arc est compris entre o° et ioo°, ou entre 3oo° et 4°°°/ auquel cas la sécante est positive j le point décrivant CouC est situé entre le centre et l'extrémité T ou T' de la sécante. Mais si l'arc est compris entre ioo° et 3oo°, auquel cas la sécante est négative \, le point décrivant C ou C" est placé sur le prolongement de la sécante qui est encore représentée par OT ou OT\ Ce point est donc , en quelque sorte, par rapport au centre , dans un sens opposé à celui du point C ou C. On ferait une observation analogue pour la cosécante.
Ce n'est pas sans motif que nous avons fait usage de la figure pour déterminer les signes des différentes lignes trigonométriques. Comme les formules du n° 48 n'avaient été établies que pour des arcs au-dessous de ioo°, l'accord qui existe entre les résultats qu'elles fournissent et ceux que donne la figure, en vertu du principe (n° 26), prouve l'exactitude de ces formules pour tous les arcs possibles ; et le principe que nous venons de citer en reçoit une nouvelle confirmation.
C'est ainsi que, dans toutes les sciences 3 les faits se fortifient et se confirment les uns au moyen des autres.
56. Comme dans la suite, nous aurons souvent besoin de rappeler les valeurs corrélatives des lignes trigonométriques, nous croyons utile d'en présenter ici un tableau qu'on peut facilement dresser d'après ce qui précède.
coam&ULTTTBs.
TABLEAU
Des valeurs corrélatives des lignes trigonomé triques,
~ir — a
aAw — a
aAsr-H a
sm
