sina
-h tang a
■+- cot a
oo
— cota
H- cos a — tang a
— sec a
— cosec a
(aAr-H)*H-a
H- sina
— sina
■+■ sina
sina
— sma
-+-cosa
-f-cosa
cos a
—cos a
— cos a
-f-coséca -f-séca
-f- tang a
— tanga
-H (&ng a
— tang a
H- cot a
-f- tang a
— tang a
•—cota
-J-coseca
oo
— cosec a
— séca
— sec a
-4- sec a
-f- sec a
■+■ sec a
— séc a
■+■ tang a — sec a
— cosec a
-h cot a -f-coséca
— cot a
cota
— cot a
•+■ cota
wmm
:oseca
-f-coséc.
-Kosécal
—cosec al
80 TAIfHHti
5^. Explication de ce tableau. Pour plus de simplicité, l'on a désigné par «■ la demi - circonférence ou l'arc de 2000 ( c'est une notation déjà employée en Géométrie , pour représenter le rapport de la circonférence au diamètre, c'est-à-dire la demi^ circonférence dont le rayon est 1 ) j a représente d'ailleurs un arc moindre que le quart de circonférence, et k un nombre
entier quelconque. Dès lors , - v exprime le quart de la cir-
conférence , ou ioo°; - «• les trois quarte ou 3oo°; 2jt la cir-
conférence entière ou 4o°0; 2&r un nombre quelconque de circonférences; (aA-f-i)îrou afor-t-jr, un nombre entier de circonférences, plus une demi-circonférence (*).
La première colonne verticale comprend tous les arcs que Ton peut 9 voir besoin de considérer. Ainsi , par exemple ,
-«*-f-a exprime un arc tel que AGC, plus grand que le
quart de la circonférence et moindre que la moitié; % + a* un arc tel que AGBC", plus grand que la ûk/m'-cir conférence et moindre que les trois quarts; et ainsi des autres.
La première colonne horizontale contient les lettres initiales de chacune des six lignes trigonométriques , et chacune des petites cases, la valeur corrélative de Tune des lignes trigonométriques qui correspond à un arc donné.
Cela posé , veut-on avoir , par exemple , la valeur de la tangente d'un arc tel que AGC (fig* 44) ^
Gomme cet arc est compris entre ioo° et 200°, il peut être
représenté, soit par - *• + a , soit par * — a.
Premier cas : descendez dans la colonne verticale intitulée
(*) Ordinairement on suppose h positif; mais A peut aussi bien exprimer ma nombre entier négatif; car on a
6in(*-2Àflr4-a) = — sin (?£?•— <z) = -|-aina=:«n(2/rjr-|-a). •
Pareillement ,
cos (— aAjr + a) = cos (aA«r — a) = •+• cos a s 00s (aÀir-+> a).
lang , jusqu'à la colonne horizontale qui correspond à -«•-{- a, et vous trouverez dans la petite case commune, — cot a.
En effet, l'arc -*■ + a a pour supplément, -«• — a, puisque ces deux arcs réunis forment- r, ou la demi-circonférence; donc
(n°5a) sinf- w + aj = sinf- «• — aj = 4-
cosf- * •+■ a) = — cosf-*-— aj = — sina; et par conséquent,
cosa.
tangf-7r-f-tf)=
sin
cosa
sin a cos
Second cas : Descendez dans la même colonne verticale j jus» quJà la colonne horizontale qui correspond dur — a, et vous trouves dans la petite case commune , — tang a.
En effet , w — a ayant pour supplément a , il s'ensuit que
sin («• — a) = + sin a, cos («• — a) = — cos a;
, . , .sin (• — a) -f- sin a
donc tang (r— a) = ; J = = — tang a.
° cos(*r — a) — cosa
On trouverait de même sec f - w + a j = + coséc a, cot (a* — a) =— ^cota, etc, ..
58. Première remarque. Il résulte, tant de la figure que de l'inspection du tableau, que les lignes trigonométriques de tous les arcs plus grands que le quart de la circonférence ont les mêmes valeurs numériques, que celles des arcs plus petits; il n'y a que les signes qui soient les uns positifs > les autres négatifs. Sur les six lignes, il y en a toujours quatre négatives et deux positives.
Il faut encore observer que, si Tare renferme dans' son expression écrite un nombre impair de quarts de circonférence , la
9% dAtwihikatiok
ligue trigonomé trique que Von considère, étant directe, se change dans la ligne indirecte correspondante, et réciproquement. Cest ainsi qu'on reconnaît que
tangf- *• + a\ =rr + cot tf,
cosécf- w + a J ^s — séc a.
Mais si le nombre des quarts de circonférence est pair, la ligne que l'on considère a la même valeur, à l'exception du signe, qui peut être différent , que la ligne de même nom de Parc a.
Ainsi, cos(aw — a)= +cosa; tapg(9r + û)=+tanga.
5g. Seconde remarque. Des six lignes trigonométriques principales , deux, savoir, le sinus et le cosinus, sont toujours comprises entre deux limites déterminées + i et — i. Elles peuvent passer par tous les états de grandeur depuis o jusqu'à + i et depuis o jusqu'à — i ; mais elles ne dépassent jamais ces limites. ( II est bien entendu que le rayon est supposé égalai.)
Deux autres, la sécante et la cosécante, peuvent devenir aussi grandes que Ton veut ; mais elles ont -f- 1 et — i pour limites de décroissement, c'est-à dire qu'elles croissent positivement depuis + i jusqu'à Y infini positif * et négativement depuis —* i jusqu'à V infini négatif; elles ne peuvent avoir de valeurs comprises entre ■+> i et — i*
Les deux dernières enfin, la tangente et la co tangente , sont susceptibles de recevoir toutes les valeurs imaginables depuis o jusqu'à l 'infini positif 'et depuis o jusqu'à Y infini négatif
Cette remarque nous sera d'une très grande utilité dans les applications de la Trigonométrie.
Nous ne saurions trop recommander aux commençans de se bien pénétrer des «lelails dans lesquels nous venons d'entrer sur, les valeurs corrélatives des lignes trigonométriques.
DES TOHKUI2S MUNCTPALM. v 83
Détermination des formules principales.
60. Une des questions fondamentales de la Trigonométrie f celle d'où dépend la constr action des tables , consiste à déterminer le sinus et le cosinus de la somme ou de la différence de deux arcêj connaissant déjà le sinus et le cosinus de chacun de ees arcs.
Soient p et q denx arcs donnés, p + q la somme de ces arcs* Appelons a , b , c les cordes qui soutendent respectivement les arcs ap , *q et a(p -f- q). Comme on a tu (n° 47) que £• «ûum tf*2*ii arc «st la moitié de la corde qui soutend l'arc double* on a nécessairement /'
asasinp, 6=2sin<7, c = a sin (p «+• 9). Gela posé, la formule du n° 39 , savoir ,
c = — \Zb*— b* + — i/4rm — a% ar v ^ar ^
devient , par la substitution des valeurs de a , 6 , c ,
asin(p+9)=ij£ j/4r--4«n'9+^5 1/4*— <•*>.
ou simplifiant,
sin (p + </) = ^ Vr* — sin^ + ^ t/r. sîn.,,.
Mais en vertu de la relation sin* a + cos* a = r*, on a
l^r* — sin'q = cos (7, f/r* — sin*p = cos p j
donc enfin .m(p + 9) = SÎnP Xm,' + ^ XcogP.
Soient maintenant p et 7 deux arcs donnés (p désignant le plus grand), p — q leur différence. Appelons c la corde qui soutend Tare ap, £ celle qui soutend Parc a<y, et eniin a celle de Parc a(p — «7).
On a , en vertu du n° 47 1
84 DfaEKMlKATIOK
«as a sin p, £ = ? sine/, aaaiin (p*— *?)•
Or , on a obtenu ( n° 4^) , pour la formule qui donne la corde de la différence de deux arcs ,
ar ^ ar ^ .
Si, dans cette formule, on remplace a,b,c par leurs râleurs, il vient
a sin (p— <7)= — -^ t/ 4r* — 4 sin" q ^ t/4ra— 4«n>,
•n , simplifiant et faisant usage de sin* a-)- cos* a = r%
. , N sinpXcosa — sin a X cos p sin (p — ç) = — £ *— 2 L
Pour obtenir les valeurs de cos (p -f- q) et de cos (p — q) , il suffit de substituer ioo°+p au lieu de p dans les formules précédentes, ce qui donne d'abord ( tableau n* 56 ) ,
sin ( t oo*+ p+ q) ss cos (p + ç) , sin ( i oo+p— q)*scos(p— q\
sin (ioo°+p) = cospf cos(ioo°+p)= — sinpj
«t les formules deviennent
\ . x cos p X cos a — sin p X sin q «os (p + 9).= ,
v cos p X cos a + sin p X sin q cos (p — q) = — ^ •*-- £ £ .
La démonstration qui vient d'être exposée est remarquable en ce qu'elle se rattache au premier point de vue sous lequel on a d'abord envisagé la Trigonométrie, et qui consistait (n° 4^ ) à faire entrer les arcs dans le calcul par le moyen de leurs cordes.
Elle est d'ailleurs générale , puisqu'on établit les relations entre les cordes, en supposant leurs arcs dans un rapport quel* conque avec la circonférence ; cependant , comme on est obligé d'admettre des résultats qui sont, jusqu'à un certain point, étrangers à la Trigonométrie telle qu'on l'envisage actuellement ,
Bit FORMULES FBIMCirALXS. 86
nous allons donner une autre démonstration pins directe et plus simple , puisqu'elle n'est fondée que sur les premiers principes de la Géométrie.
61. Autre démonstration. Soit AG un quart de cercle décrit arec un rayon déterminé OA [fig. 46) ; appelons a et 6 deux arcs Fîf . 4& donnés sur cette circonférence, a étant le plus grand. Prenons sur AG, AB — a, BC= b, d'où ABC = a + 6; portons BG de B en C, ce qui donne AC = a — b. Tirons la corde CC et le rayon OB qui est nécessairement perpendiculaire à CC et en son milieu I, puis abaissons les perpendiculaires BP,CQ et C'Q'.
On a nécessairement, d'après les définitions du sinus et du cosinus,
BP=sina, OP=cosa, CI=sin 3,OI ~cosi, GQ=sin (a-f-i)f OQ=cos(a+A),C/Q' = sin(a— -A), OQ' = cos (a — b).
Cela posé , il faut tâcher d'exprimer les quatre dernières lignes en fonction des quatre autres et dm rayon.
Or, si par le point 1 nous menons IL perpendiculaire et IH parallèle à OA, nous formons ainsi des triangles semblables OBP, OIL, OH* qui, comparés deux à deux, conduisent aux relations demandées.
En effet , la figure donne d'abord
CQ = sin (a + b) = BQ+ CH = IL+ CH, OQ=cos(a + i)=OL— LQ=OL— IH;
soit d'ailleurs mené CH' parallèle à AO, jusqu'à sa rencontre en H' avec IL; les deux triangles CI H', CI H sont égaux comme ayant un côté égal (Cl = CI) adjacent à deux angles égaux; ce qui donne IH' = CH, Cil' = IH = Q'L.
Donc Ctf = sin (a — b) = H'L as IL — IH' = IL — CH,
Otf = cos (a— b) = OL +LQ== OL + IH ;
d'où l'on voit qu'en dernière analyse, la question est ramenée à déterminer les quatre lignes IL, OL, CH, IH.
Or, les triangles semblables OBP, OIL donnent les deu* proportions
86 d£termlnation
il : bp * 01 : ob, ou il : sina :: <*»& : r, ol : op :: 01 : ob, ou ol : cosa :: cos * : n
j> vu iij .*. tT sina X oosà „ cosa X cos 6 a ou Ion déduit IL = OL = .
En second lieu , les triangles OBP , GIH sont semblables , comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires; ainsi l'on a les deux proportions
ch : op :: ci : ob, ou gh : cosa :: sin b : rr
IH : BP :: Cl : OB, ou IH : sina :: sinfr : r;
« , „ ". ^„ cosa X sin b TTT sina X sin & d ou Ion tire CH = ■ , IH » .
Substituant ces valeurs dans les expressions de sin (a -f- A) , sin (a — b) , cos (a + 5) , cos (a — • b) , on obtient enfin
• 0 i ix sina oosft ±: sin & cosa ,.x
sin (a db a) = , (A)
/ i »v cosa cos bzn sina sin A .wx
cos (a ± i) ses ^ ; — y (B)
formules dans lesquelles les signes supérieurs se correspondent, ainsi que les signes inférieurs.
62. Dans la construction précédente, on a supposé chacun des arcs, et même leur somme, moindre que le quart de circonférence; mais on pourrait, par des constructions analogues , vérifier l'exactitude des formules dans tous les cas; seulement, il faudrait avoir égard aux valeurs corrélatives des lignes. Contentons* nous d'examiner l'un de ces nouveaux cas, celui où l'un des arcs étant plus grand que 1000, la somme est plus grande que aoo°, et la différence aussi plus grande que loo0.
Soient
Fig. 47- AB=a, BC=BC'=6 ; d'où ÀBC=a+6 , ÀC'=a— b {fig. fa ).
Tirons d'ailleurs , comme dans le cas précédent , le rayon OB
. et la corde GC; puis abaissons les perpendiculaires BP, CQ,CQ\
Enfin, menons la perpendiculaire IL et la parallèle IH jusqu'à
sa rencontre avec GQ prolongé , puis la parallèle CH* jusqu'à
sa rencontre avec IL.
DIS VOHMffLBS PaOTCUALBâ. 87
Cela fait, observons d'abord que les ares AB, AC étant compris entre ioo° et aoo°, ils ont up sinus positif et un cosinus mgMtf; ainsi. •»•• BPssssina; co6a=— OP, ou
OP=— cosa; CQ'sssin (a— V) ; cos (a — 6) = — OQ'i ou 0Qr =— cos (a — b).
Quant à Parc ABC, dont le sinus et le cosinus sont à la fois négatif* > on a
CQ=— sin(a + *), OQs=— -cos(a + *).
Maintenant, la figure donne
OQ te — sin (a 4. h) = CEI . — HQ = CH — IL, OQ = — coe (a + b) = OL + LQ = OL 4- IB , * GQ'— sin (a — b) =H'L = [H'I + IL = CH + IL, OQ'= — cos (a — b) = OL — LQ' = OL — Iti.
Il ne s'agit donc phts que de calculer CH , IH , IL et OL , au moyen de triangles semblables OBP, CIH et OBP , OÏL.
Calculons seulement CH et IL, qui doivent servir à la détermination de sin (a + &).
Les triangles dont nous venons de parler donnent
'CH : op :: ci : Ob, ou ch :— cosa :: sinb : r, il : bp :; oi : ob, ou il : sin* :: co$b • r,
i» • m* — co*fl X sinb . . Ti. sina X cosft d ou CH es —— . et IL as .
Substituant ces valeurs dans l'expression de CQ , on trouve
. , . ,* — cos te x sin 6 sina X cosfr — sin (a + b) = ■■»— ■ .
ou, changeant les signes,
• * \ ia *tna X cos A -4" smb X cosa sin (a + b) = ■ .
■ On retrouverait de la même manière les trois autres formules.
2V. B. Quoique , en apparence , l'expression de sin (a 4~ b) soit la somme de deux quantités* elle «présente réellement une différence , parce que , daQs le produit si» b X cos a , cos a
88 ÀtJTBES FORMULES.
est négatif, comme étant le cosinus d'an arc compris entre ioo° et 2oo°. On ferait des remarques analogues par rapport aux trois autres expressions. Gela prouve d'ailleurs la nécessité d'avoir égard aux valeurs corrélatives, lorsqu'on veut que les formules soient applicables à tous les cas.
Conséquences des FORMULE* (A) et (B). Dans tout ce qui Ta suivre, nous supposerons r= i , pour abréger les calculs. Cela n'offre aucun inconvénient , puisqu'on sera toujours le maître de rétablir r dans les résultats , d'après les règles de l'homogénéité (n° 26).
63. i°. Détermination du sinus et du cosinus d'un multiple quelconque d'un arc, en fonction du sinus et du cosinus de cet arc.
Reprenons les valeurs de sin (a + b) et de cos (a ■+■ A), qui > dans l'hypothèse de r = t , deviennent
sin (a-J- A) =3 sin a cos A + sin A cosa, cos (a -J- A) == cos a cos b — • sin a sin A.
Supposons d'abord b -r a ; il en résulte
sin 2a = 2 sin a cosa , cos 2a == 003*0. — sin'a,
formules qui donnent le sinus et le cosinus du double d'un art, en fonction du sinus et du cosinus de cet arc* Sort maintenant b = 2a ; il vient
sin 3a = sina cos 2a -+• sin 2a cosa, cos 3a s= cosa cos aa — sina sin 2a ;
ou bien , mettant à la place de sin 2a , cos 2a , leurs valeurs et
réduisant 9
sin 3a = 3 sina cos"a — sin3a,
cos 3a = cos*a — 3 cosa sin'a.
Ces formules font connaître le sinus et le cosinus du triple d'un arc, en Jonction du sinus et du cosinus de cet arc* Soit encore b = 3a ; on obtient »
sin 4a — sina cos 3a -+- sin 3a cosa > cos 4° = <*>*<* cos 3a — sina sin 3a ;
▲UTBBS ruBjrous. 69
ou, remplaçant sin 3a, cos 3a par leurs valeurs et réduisant ,
. sin 4a = 4 5'n a COfi3 û — 4 cos a sin3 c, cos4^ = cos*a — 6 cos* a sin* a + sin4 a.
D'où Ton voit qu'on pourrait obtenir ainsi successivetnent le sinus et le cosinus d'un multiple quelconque d'un arc, au moyen du sinus et du cosinus de l'arc simple.
64. Remarque. Les valeurs de sin 2a, sin 3a, sin 4<* •*.••• prouvent que, si le sinus augmente en même temps que l'arc (tant que cet arc est au-dessous de ioo°), son accroissement n'est pas proportionnel à celui de l'arc ( le mot proportionnel étant pris ici dans le sens d'une proportion géométrique).
En effet, dans l'hypothèse de r= 1 , cos a est toujours compris entre o et 1 ; ainsi , cos a, cos*a, ooé3a, sont des fractions. Donc 2 sin a cos a n'est qu'une partie de 2 sin a. Il en est de même de 3 sin a cos*a , et à plus forte raison , de 3 sin a cos*a — sinsa , etc. ...
On le voit également d après la formule
sin (a •+- 6) =sina coêb -f- sinb cos a,
puisque cos a et cosfr étant des fractions proprement dites , sin (a •+> b) n'est qu'une partie de sin a -f- sin b.
On reconnaît même par là que les sinus croissent beaucoup moins rapidement que les arcs.
65. Détermination du sinus et du cosinus de la moitié d'un arc.
1" Méthode. Combinons la formule cos 2a = cos*a — si n'a
avec la relation (1) du n° 5o 1 =x co*9a+ sin*a.
On trouve d'abord , en les ajoutant , 1 -f- cos 2a = 2cosfa ;
d, < « 111 .„.. - 1+ cos 2a M / i-f> cos 2a
'ou Ton déduit cosVx = — : , et cosass 1 / ^ ;
puis, en les soustrayant , 1 — cos 2a t= sin'a;
9* AimSt FORMULSS.
, . , i — cos aa . . 4 / 1 — cos m
donc sra'a =s et sin a=c l / f ■ *.
comme les arcs a et aa sont liés entre eux de telle manière que le premier est la moitié du second , rien n'empêche de
remplacer %a par a ,et par conséquent , a par - a\ ce qui ôtane
les deux formules
i A+cosa i /i
dont chacune comprend implicitement Au* valeurs » a cause du double signe qui est censé placé aurdevani du radical.
66. a* Méthode- D'après la marche qui Tient d'être suivie. Tare dont on demandait le sinus et le cosinus était supposé donné par son cosinus , puisque les résultats ne renferment que cette seule ligne. Si l'arc était donné par son sinus, il faudrait opérer de la manière suivante :
On aurait recours a la formulé sin na = asina cosa, dans laquelle on remplacerait cos a par |/f — sin'a; ce qui donnerait sin aa = a sin a l/* — sin*ar
d'oh , élevant au carré , sin* 4a = 4 «inâ<* • (* — stti'a);
ou, effectuant les calculs et ordonnant,
ëvofa — sin*a sas — 7 ain'aa,
équation du 4* degré résoluble à la manière de celles du a* degré.
Soit d'abord sinVx =y, d'où sine = dl |/y ; il vient .y1 — ■ y — — 7 8»n'ao > donc ^ =-î-y i- sinêaa,
et par conséquent, sine as zb \f - :fc- l/* — «****«*
▲UTBBS *OBM0US. 9T
ou remplaçant aa par a et a par - a,
sin - a = ±: i/ - de - v i — sin'a. 2 V a a
Si , dans la formule sin 2a = 2 sin a cos a , on substituait
V" 1 — oos'a au Heu de sin a , on trouverait par une opération analogue,
-a = ±. l/irfcil/i— «n'a. a V a a
cos
iVL 2?. Ces deux résultats , qui ont été obtenus indépendamment l'un de Pautre , sont identiques 5 mais comme sin - a et
cos - a sont liés entre eux par ta relation sin* - a + cos* - a = 1 ,
il s'ensuit que, si l'on prend le signe supérieur du second radical pour le sinus , on doit prendre le signe inférieur pour le cosinus , et réciproquement 5 c'est-à-dire qu'on doit avoir
