Discussion des résultats trouvés par les deux méthodes
Il est à remarquer que chacun des deux derniers résultats comprend quatre valeurs, tandis que ceux de la première méthode n'en renferment que cUux > qui sont même numérique" ment égales.
Pour expliquer cette circonstance, nous observerons que lorsqu'un arc a est donné par son cosinus , on se donne en même temps les arcs a&r -f- a , *kw—a, puisque (tableau n° 56) l'on a.
cos (aArdza) = cosa.
Donc, si l'on demande sin - a on cos -a en fonction de*
€p AUTRE» FORMULKS.
cos a , le calcul doit donner en même temps les sinus des moitiés de tous les arcs compris dans l'expression générale ^ afor dtia (j& étant un nombre entier quelconque qui peut être nul) , ou bien , les cosinus de ces mêmes moitiés ; c'est-à-dire qu'on doit obtenir tontes les valeurs comprises dans
(afer ± a\ , /aft r ±: a\ • \ ou dans cos f — — — - J.
sm
Gela posé, soit d'abord k un nombre pair, ait'; il vient ^ ,in (^^4) = .in (a*V ± ?) = db «a 2 . . . (u« 56)
ou cos f2 --r- ) = cos (tJs'w ±i - J = + cos -.
Soit maintenant k un nombre impair , zkf + 1 *, on a
m\ 1 ) = sm^d=-^ = ^:sin5,
(âh V + 2ir ±: a\ / , a\ a
z J =cosf wdb-J = — cos-.
On voit donc que les valeurs correspondantes, soit au sinus, soit au cosinus de la moitié d'un arc , sont au nombre de deux égales et de signes contraires.
Supposons actuellement que l'arc a soit donné par son sinus.
Gomme en vertu du tableau n° 56 , on a
sin (ihr + a) = sin a et sin (jit* + x -— a) = sin a,
il s'ensuit que le même calcul doit donner les sinus ou les cosinus des moitiés de tous les arcs compris dans les deux expressions afor +a; 2^w -(-*■ — a\ c'est-à-dire qu'on doit obtenir en même temps toutes les valeurs comprises dans
(2*ir + a\ . /2ihr •+■ w — a\ —r~j et 8in v — 1 — >
■ — J et cos ( — ^— — — J.
sin
AVTMM& lOXMULH. 93
Ne considérons d'abord que les deux expressions dn sinus. Soit k= *k'; il vient
in (^ - j= sin (j>A *■ + -J = + sin -,
(LU'* -f- * — a\ . /*• a\ , a
s ) = sin( -— - 1 = 4- cos -.
Soit fi = 2&' -f- i ; on a
s.n ^ ; j = sin [w + - ) = -sin -,
- fW* + 3*- — a\ . /3 a\ a
8in n i ssssin ( - ir — - V = — cos-.
On obtient donc ainsi quatre râleurs différentes ,
+ sm -, + cos -, — sin -, — cos — .
En opérant sur les expressions du cosinus , on trouverait également quatre valeurs qui seraient
+ cos -, + sm -v —cos-, — sin-.
Ces résultats s'accordent d'ailleurs évidemment avec ceux du n*66»
Il nous reste cependant encore une difficulté à résoudra j c'est de déterminer parmi les quatre systèmes de valeurs du sinus et du cosinus j quel est celui qu'on doit prendre,, lorsque l'on a en vue de calculer le sinus et le cosinus de la moitié d'un arc particulier ; car il est certain qu'un même arc ne peut avoir qu'un seul sinus et un seul cosinus.
Supposons, pour fixer les idées, l'arc a au-dessous de ioo°, ce qui est le cas ordinaire. On a alors
-a<*5oô et ioo° — -a">5o°:
d'où l'on déduit
sin - a < sin 5o*, et sin ( loo* — — a J on m - a > sin 5o#.
"94 AUTftX» FOKK0LK8.
On Toit donc que, dans ce cas, le sinus est pins petit que le cosinus ; d'ailleurs leurs expressions doivent être positives.
Ainsi, des quatre systèmes de résultats obtenus n° 66 , celui •qui satisfait à la question est
.1 Ai
sin- a = y - — ~K« — sinâa>
cos-o = \/- + - l/i — »"** a.
Ce système rentre dans celui du n° 65, lorsqu'on remplaee )/ 1 — stn* a par sa râleur cos a ; car on trouve
cosa
sm - a = \/ - — - cos a = w ,
- a = \/ - + - cos as \/
cosa
Cest sous cette dernière forme que nous aurons souvent oc*
casion de rappeler les valeurs de sin - a et cos -a.
68. La Géométrie fournit une démonstration très simple de ces deux formules.
Fig. 48. Soient AB=a, BP=sina, OP=cosa 0%r. 48). Divisons en deux parties égales les arcs AB et BD , aux points C et C; puis tirons les cordes AB , BD et les rayons OC , OC ; il résulte évidemment de cette construction,
BlasstnBCs8in-a,B(r=^BCDc=:-(aoo0~a)srioo0~'a;
d'où BI' = OI = cos - a.
Cela posé, les triangles rectangles ABP, DBP donnent AB=asinia= VAP+BP = ^(r — cos a)' -h si»1 a r
BD s= acos - as» VW+ BP*ssi |/(r — oos a)m + sin» a .
AOTB10 JOBMDUI. 96
Effectuant les calculs et observant que sin* a + oos* a=r*y
a sin - a = t/ar* — ar cos a,
a cos - a = |/ar* + ar cos a^
d'où y divisant par a et supposant r = 1 ,
. 1 /i— coa a 1 /T
-f- cos a
69. Détermination du sinus du tiers d'un arc en /onction du sinus de cet arc.
Dans la formule sin 3a = 3 sin a cos* a — sin3 a , trouvée
n° 63 , remplaçons cos a par y \ —sin* a; il vient
sin 3a es 3 sin a (1 — sin* a)— sin3 a =3 3 sin a — 4sin?a,
on ordonnant» sin3a — 7 sin a 4- 7 sin 3a = 0:
ou bien enfin, substituant a et- a au lieu de 3a et de a,
snr 5 a— 7 tin ôa+ ystnasso,
équation du/3? degré qu'il faudrait traiter par les méthodes connues de la résolution numérique , âpres y avoir mis toutefois pour sin a, une valeur numérique quelconque.
Mais, sans nous arrêter à cette résolution, qui n'offrirait aucun intérêt pour notre objet , nous allons faire voir que l'équation a ses treis racines réelles, c'est-à-dire que la question proposée est susceptible de trois solutions.
En effet, on a déjà vu (n° 67) qu'un arc étant donné par son. cosinus, on donne par là même tous les arcs compris dans les expressions afcr-f-a, aÂfl" •+•*■ — d; donc en demandant le sinus du tiers de cet arc, on doit trouver simultanément les valeurs de
g6 AUTRES FORKtTLBS.
sm = et sm — «r
Gela posé , le nombre entier k peut se présenter sous trois formes différentes, 3k', 3*' + i et 3A' — i (*). . Soit d'abord A=3A'', on a pour les deux expressions,
sin^ ^ )i= sm [*k « + 5j = + sin ^
Soit maintenant k = 3&' ■+■ i ; il en résulte . /6fcV + ar + a\ . /a . a\ . / a «\
s,n V — 3 — ;=:8mV3,r+3yî=s,,v~"r~3;'
s=+ïin(i-l)'
valeur identique avec la précédente ;
valeur identique avec la première» Soit enfin fk = 3k' — i ; on obtient
s,nC — 3 — ; — » (-3— ;=-«*(j + v '
»K 3 ) = 8,nV S-^^-'Hs + s)'
valeur identique avec la précédente.
On voit donc que les valeurs se réduisent à trois générale* ment différentes, savoir :
+ sinh +sinG-f)' -SÎ0(I+5)'
Je dis généralement ^ car si Ton avait, par exemple, a=-n-,
(*) On pourrait également supposer k négatif (n°57) et égal à —3 A', — 3Af+i, -3V-i; mais les valeurs qu'on obtiendrait rentreraient dans celles qui correspondent aux trois premières hypothèses.
▲uthbs vormulss. 97
SI en résulterait ? — ? = ? ir\ et les deux i***. valeurs seraient
égales à sin ^or ; la troisième deviendrait
Mais il n'en est pas moins vrai que l'équation ci-dessus a ses trois racines réelles.
On reconnaîtrait , par une analyse absolument semblable, que
si Ton demandait cos ^ a en fonction de sin a , on obtiendrait
«& valeurs différentes :
a cl /k a\ /«r a\
Et en effet, il est aisé de prouver que l'équation d'où dépend la détermination de cos =■ a • est du sixième degré.
Remplaçons dans sin 3a = 3 sin a cos* a — sin3 a , ou sin 3a = sin a (3 cos8 a — sin* a) ,
sin a par sa valeur */* — cos9'aj il vient
sin 3a = f/i — 008*0(4005*0 — 1), ou , élevant au carré pour chasser le radical ,
sin* 3a s (1 — cos* a) (4 cos*a— 1)*, équation qui, développée et ordonnée, devient
16 cos6 a — *4 cos* a + 9 cos* a — 1+ sin* 3a = o. Nous engageons les commençans, pour se familiariser arec
ces sortes de discussions, i rechercher sin x a et cos * a en
fonction de cos a; ils reconnaîtront encore que le sinus doit avoir six valeurs , mais que le cosinus n'en a que trois.
gB AUTIIf FORMULE»»
70. Détermination de la tangente de la somme ou de la différence de deux arcs, en fonction des tangentes de ces arcs.
D'après la relation tane a = , établie n° 5o . on a
r ° cos a'
tang (a ±. b =' ■ «^ ,
0 v cos (a 3z b)
ou, remplaçant sin (a±b), cos (a ±b) par leurs valeurs
. , , . sin a cos 6 db sin fc cos a
tang (a db 0) = ■ E : t— 7 .
0 cos a cos b qz sin a sin b
/ Afin de n'avoir dans le second membre que des tangentes, di-
visons haut et bas par cos a cos b \ il vient
sin a sin A
, .1 x cos a "~~ cos b
tang (a db b) == : r*-- r— 7 ;
0 __ sin a sin 6
cos a cos0
sin a s\n b , .
et comme on a = tang a , ; = tanè b , on obtient enfin
ces a ° cos 6 ° '
0 1 zp tari£ a tang 0
2V. /?. Si le rayou n'était pas égal à l'unité , il faudrait le rétablir dans cette formule , et l'on aurait (n° 26)
tang (a±.b) = -^ — -2 ?-/.
7 1 . Soit fait b = a dans l'expression
tang(a-h^) = tangg^tagg4; &. ^7 ' 1 — tangatangi'
on obtient tang ia = £ :
* ï — tang* a'
cette nouvelle formule donne la valeur de la tangente àudoubie d'an arc en fonction de la tangente de cet arc.
72t. Si l'on y remplace ia par a et a par - a, il vient
