tang - a = 1/ — 7— — • °a V i -f- cosa

Dans cette première expression, multiplions , sous le radical, haut et bas, par 1 + cos a, puis par 1 — cos a\ il vient

1 / 1 — cos* a sin a

a°- tang -a y (I+cosa)» — , + cosa*

1 /( 1 — • cos a)* 1 — cosa

3°. tang -asl/ —- = — :

0 2 V 1 — cos* a sin a

» AV1BJBS FOBXULKS. ÎOI

Ces diverse» expressions sont souvent employées dans les applications trigonométriques. La dernière se déduit d'ailleurs facilement de celle qui avait été obtenue dans le n° précédent

En effet, celle-ci peut être mise sous la forme

i — 1 4- [/ 1 + tang'a

tang - a= ~- :

° 2 tang a

mais (n° 5o) tang a == E— - , y i + tangaa = séc a =

cos a w cos a '

i .i cos a i — cosa

donc tang - a = : = — : .

2 sm a sin a

cosa

Les élèves feront bien de s'exercer h la recherche dès tangentes du triple j du tiers, etc., d'un arc, ainsi qu'à la discussion des formules qui y sont relatives. C'est un moyen de leur rendre familières les valeurs corrélatives des lignes trigonométriques. Ils peuvent également rechercher les cptangentes , sécantes ,jcosécântes, de la somme ou de la différence de deux arcs, du double, du triple, etc., et de\la moitié, du tiers.* . d'un arc.

74- Les formules (A) et (B) du n° 6i donnent encore lieu à quelques résultais utiles dans les applications de la Trigonométrie.

Reprenons d'abord les valeurs de sin (a -f- b) et de sin (a —A).,

sin (a + b) = sin a cos b -}- sin 6 cos a , sin (a— b) se sin a cos 6 — sin fc cos a. .

Si Ton ajoute ces deux égalités et qu'on les retranche l'une de l'autre , il vient

sin (o + J) -f- sin (a — b) = 2sin a cos b \ sin (a + A) -— sin (a— b) = 2sin 6 cos a;

d'où, en -divisant ces deux dernières l'une par l'autre, et ob—

sin a ^ cos A . . i

servant que -=sz tang ar -m — r = cot o sas - » ,

^ cos a ^ smô tang h

,0a AUTOBS FORMULES.

sm (g 4- b) + sin (q — b) ^ tang a

sin (a+£) — sin (a — A) """ ta^V ' ' : ^

Comme les formules (A) et (B) sont Traies quels que soient les arcs a et b , il en est nécessairement de même de la relation (C).

Cela posé, soient p et q deux arcs quelconques (p étant

On peut toujours regarder le plus grand p comme la somme de deux autres arcs a et b, le second q comme la différence de ces mêmes arcs. En effet , si Ton pose

« + *=/>, i .Ienrésulte f paraddition, *a=p + q> a — o = qy) ( par soustraction, nb =p — q -f

d'oii ! 2

Or, si l'on substitue ces valeurs de a + ^ a - A, a et* dans la formule (C) , on obtient la nouvelle relation

aîn p + sin g tang ±(P + g), m,

smp — sin y tang£(// — Ç)

ce qui démontre que la somme des sinus dé deux arcs est à la différence de ces mimes sinus * comme la tangente de la demi» somme des arcs est à la tangente de leur demùdiffèrence. Combinons de la même manière les deux formules

cos (a + A) = dos a cos b — sin a sin A, cos (a — b) = cos a cos b + sin a sin b.

Il résulte d'abord de leur addition et de leur soustraction,

cos (a — > b) 4- cos (a -f- A) = acos a cos A, cos ,(a — A) — cos (a + A) = 2sin a sin A.

Divisant ces deux égalités membre à membre , on obtient '

cos(a — A)+cos(a+ b) , cota .__

7 jX ; — p— = cot a cot A= r 7... (E)

cos(a— A) — cos (a -f- b) tango

Soient maintenant , r d'où <

la relation précédente détient

résultat qu'on pourrait traduire dans un énoncé analogue au précédent

75. Ces formules servent principalement à remplacer certaines expressions trigonométriques par d'autres auxquelles les logarithmes puissent s'appliquer.

Soit, par exemple , à calculer numériquement l'expression

sin 3o° «4- sin 16° v. siu3o° — sini6°'

on posera .*-S£ i d'où t±3 = a3", Z=* =* ,•■

Substituant ces valeurs dans la relation (D), on 'aura

__ gin 3o° + sin »6° tang a3°

~ sin 3o° — sin 1 6° tang 70 '

et par Conséquent , log x = log tang a3° — log tang 7* ;

d'où l'on voit qu'on peut obtenir le logarithme du nombre cherché , par le moyen d'une simple soustraction.

Soit encore l'expression x = sin a5ft -f- cos fyf} à calculer numériquement (on verra bientôt que les tables ne renferment que les logarithmes des lignes trigonométriques).

Observons d'abord que cos 47° — sm ( 1000— 47°) = sin 53° ; cfe qui donne pour la taleur de x , x = sin 53° + sin a5°.

Mais on a trouvé précédemment,

sin (a + *) + «in (a — b) =s asin a cos b..

Io4 AUTMES VOBMVUS.

Po»nt a+hf,S=sSt' ] Uenrésulte { J ~ *%

donc 8in 53° + sin a5° = 2sin 390 cofi i4°;

et par conséquent , log x = log 2 + log sin 39° «+■ log cos 14*

76. La formule (D), dont nous ferons usage dans la résolution des triangles, se démontre très simplement par la Géométrie.

Soit décrite une circonférence de cercle avec un rayon Fig. 49* OA (Jig. 49) égal à celui des tables. Tirons le diamètre AA% et prenons , à partir du point A, AB =p, AC= q\ puis abaissons BP, CQ perpendiculaires sur AA', en prolongeant BP jusqu'à sa rencontre en Bf avec la circonférence? menons d'ailleurs CI parallèle à AA'. ' .

Il résulte évidemment de cette première construction

CQ = sin AC = sin q, BP = BT =sin p, DB' = sin/) -f- sin q, BD = sin p — sin q»

Joignons maintenant le point I aux points B et B'; du même . point I comme centre et avec le rayon du cercle, décrivons un arc qui coupe CI en E , et élevons à CI la perpendiculaire GEF.

Comnie on a AB = AB' =p , AC = q> il en résulte CAB'rrrp-f q,CB=ïp — q, EF = tangEIF= tangi (p+$r),

EGstang- (n — q).

Or, en vertu d'un théorème connu de Géométrie , les trois lignes Bï, B'I, CI coupent les deux parallèles GF, BBf en parties proportionnelles. On a donc

db' : db :: ef : EG;

ou bien , remplaçant ces lignes par leurs valeurs ,

sinp + sinq tsinp — swq :: tang - (p + tf ) ! tang*(p — y). C.Q.F.D.

mé

AUTHBS VOBXULMS* to5

77; N«us croyons devoir réunir en un tableau les différentes formules obtenues dans les numéros prèoédens, en y joignant les relations qui existent entre les lignes trigonométriqaes d'un même arc. Les jeunes gens pourront alors le consulter au besoin. *

TABLEAU

Des Formules principales de la Trigonométrie >

Avec l'indication des numéros d'où on les a tirées.

sine

sin\* + cos*a = 1 , tang a =

c#sa'

séca= , sécV* =. 1 + tanjfa ,

(5o) ( COsa

v x ^ cos a 1

cot a = -. — , cot a = ^ ,

sinû • tang a

coséc a== -: — , coséc'a = 1 + cot'a , sin a

//» c % f "n (û— ^0 = sin a cos b ± sin b cos a , (60,61) \ ) ' . '

( cos (alto) = cos a cos 0 q= sin a sin a ,

ifiW \ ùnzasssisinacosa cos2a=cos'a — sin'a,

l sin3a=3sina cosBa— -sin3a . • co$3a=cos3a — 3cosasin°a,