A— cosa î .^"-/i+cosa

-a=z£ I/ . . • cos-a=:±:\/ »

a Va a V a

1— sin'a,

(65,66) { «DIa=±V/^V^^

cos-fls=zfc\/ --p-i/i— sin*a, a V a^a '

(69) sin3 5 a — ^ sin r a + ^ sin a =

(70,7,) tang(a±&)==tang>a±tai^, w " ' &v ' i zp tang a tang A '

a tang a 1 —tang* a

tang 2a = ^j-r j

' ^ I06 COKSTllUCTION

' i — i dbj/i-htang8 a /T^i (7.,73> tang;*** ^ = VTÏ

&^Mk

-!-coda

-f-cosa cos a

sin a '

sin (a + 4) + «in- (a — 6) = a sin a cos 6>

sin (a + 4) — sin (a -*— £) = 2 sin ft cos a ,

«os (a •{• b) -f. cos (a — b) = a cos a cos o,

cos (a -+■ b) — *cos (a -f- b) = 2 sin a sin i,

- sinp-f sin? tangî(p-f-</) , cos9+oosp cotj(p+<f) ' sinp— sin(/ tang£(p — (7) " * ' cos? — cosp tang~(p— «7)

(Dans toutes ces formules, on a supposé le rayon égal à l'unité; s'il en était autrement, il faudrait le rétablir d'après la règle du n° 26).-

Construction des Tables trigonométriques \

78. Nous pouvons .maintenant faire connaître les moyens qui ont été employés pour dresser des tables trigonométriques.

On appelle ainsi, des tables renfermant d'une part, tous les arcs depuis o° jusqu'à ioo°; et de l'autre, les valeurs- des sinus, cosinus, tangentes , etc. , correspondantes à ces arcs. 11 suffit d'ailleurs qu'elles ne comprennent que les lignes trigonométriques des arcs moindres que 100e, puisque, d'après le tableau n° 56, celles des arcs plus grands sont numériquement les mêmes que les lignes trigonométriques des arcs plus petits.

Nous adopterons, dans tout ce qui va suivre, la division centésimale, c'est-à-dire que nous supposerons le quart de circonférence ou le quadrant* j divisé en 100 parties égales , appelées grades Ou degrés (1000); chaque degré divisé en 100 minutes (100'); chaque minute divisée en 100 secondes (100"). Enfin, nous admettrons qu'on ne veuille former que des tables dans lesquelles les arcs croissent de minute en minute.

Gela posé , d'après les formules précédemment établies , il

BBS TABLES. . tÙ9]

est clair qu'il suffit de calculer la valeur de sin i'. En effet,

la formule cos a =1/1 ~-*sîa* a donne d'abord la valeur correspondante de co* i'.

Connaissant les valeurs de sin i' et eos i', on obtiendra celles des sinus et cosinus de a', 3', 4 • • •» en faisant successivement dans les formules

sin aa =& a sio a cos a ,* eos la = cos* a — sin* a,

sin (a + b) — sin a cos b + sin 6 cos a , * cos (a -f- ^) = cos a cos 6 '— sin <z sin b,

a=i', puis £ = i', a', 3', 4';»->. et a*n8* de «uïte , jusqu'à toooo' ou 100°.

Quant aux autres ligues trigonométriques , on déduira facilement leurs valeurs des formules

. fin a i , i i

tangassr ■ , cota = — •— , séca= 9 coseca=—. — •

eos a tanga cos a sin a.

On peut toutefois calculer d'une manière plus simple les sinus et cosinus , à l'aide des formules

sin (a + b) + sin (a — b) = asih a cos by cos {a -f- b) — cos (a — b) = a cos a coe 6,

comprises dans le tableau n° 77.

Elles peuvent être mises sous la forme

sin (fl + i) = sin a X a cos b + sin (a — i) X — 1 , eos (a + b) = cos a X a cos fc 4- cos (a — b) X — 1 >

et ai l'on y fait a= mft, elles deviennent

sin (m + 0 i == sin mi X 2 cos i + sin (m — 1) b X — 1 > coa(m-f- i)è =:cosmAx acos£-r-cos(m — 1)6 X — 1 ;

ce qui démontre que pour avoir le sinus d'un multiple quel* conque (m+ 0 b# de l'arc b, il faut multiplier lés sinus des multiple 8 immédiatement inférieurs * mh et (m — i)b, respectivement par les quantités constantes acosb et — 1 , puis ajouter ces résultats avec leurs signes. Même loi de formation pour le cosinus»

D'après cela , soit fait b=i' dans les formules; puis successivement ro = i , a, i. ... ; il en résulte

sin 2' = sin 1' X Scos 1'. — o = atin î^ cos 1';

OOS 2' = COS i' X 2 COS V + I X — I = 3 COS* l' I f

fin 3' s=s sin a' x a cos i' + sin 1' X — i9

cos 3'%r= cos a' X 2 cos 1' 4- cos >' X -7 1,

sin 4' ss sin 3' X acos i' + sin a' X — if

cos '4' =9 cos 3' X a cos 1' + 00s a' X — 1 ,

et ainsi de suite.

iV. /?. Ceux qui ont déjà quelques notions des séries récurrentes 1 reconnaîtront sans peine que la série des sinus forme une suite récurrente dont V échelle de relation se compose des deux quantités 200s 1' et — 1 ; il en est de même de la série des cosinus.

Ainsi , toute la difficulté consiste à déterminer arec le plus grand degré d'approximation possible , le .sinus du plus petit arc de la table, ou sin 1'.

79. Nous commencerons par démontrer qu'un arc quelconque est toujours plue grand que son sinus* mais moindre que sa tangente, Fig. 5o. Soient, en effet , un arc quelconque AB (fig. 5o) ; BP,ÏA et AT le sinus, la corde et la tangente de cet arc.

On a d'abord arc AB > corde AB-, mais corde AB > BP ; donc , à plus forte raison , arc AB > BP.

En second lieu, le secteur circulaire a pour mesure, ....

arc AB X -OA, et le triangle OAT est égal à AT X - OA ; a a

or, le secteur est évidemment plus petit que le triangle jona donc

arc ABX -OA <AT X -OA ; d'où arc AB < AT. a a

On voit en outre, d'après la figure, que plus l'arc diminue,

plus la tangente et le sinus se rapprochent l'un de l'autre, et

par conséquent de Parc qui est compris entre les "deux. Cela

DBS TABLES. 1*g

résulte d'ailleurs de la formule tanc a.='— — , • qui donne

^ cota ^

tanga i , . . , . . '

■ = ", a mesure que rare diminue, le cosinus aussi* a cos a ^ °

mente et se rapproche déplus en plus de l'unité; donc aussi, plus le rapport approche de devenir égal à i. Si l'arc

est très petit , ou . * diffère très peu de Punité.

cos a sm a r

Soit, par exemple, l'arc qui a pour cosinus 0,9g; il vient

tanga 1 100 % 1

sina ~ô^99~99 "^gg'

tang a * soit encore cos a = o ,9999g ; on trouve . ° = i-f-

sma ggggg

Ce rapport diffère donc d'autant moins de l'unité^ que l'arc est plus petit, et il peut en différer d'aussi peu que l'on veut.

Il en est de même des rapports * et -: — , . puisque Parc

rr a sin a * ^

est toujours compris entrer sa tangente et son sinus.

Ainsi nous pouvons établir, comme une vérité mathématique, que les rapports de la tangente au sinus, de la tangente à l'arc , et de Parc au sinus, sont trois quantités qui tendent sans cesse vers l'unité ^ à mesure que Parc diminue; et lorsque l'arc est moindre qu'aucune grandqur donnée , ces rapports diffèrent eux-mêmes de V unité d'une quantité moindre que toute grandeur donnée.

En d'autres termes, ces trois rapports ont pour limite i.'unitb.

Cettp proposition joue un très grand rôle dans la haute analyse (voyez Algèbre , 5* édition , n° 447)-

d 80. Puisqu'un arc étant très petit , Je rapport -: — dif-

ière très peu de l'unité, il s'ensuit que l'arc et le sinus sont aussi très peu différens l'un de l'autre. On peut d'ailleurs /dans

1 J^O -COWSTBUCTION

tous les cas, déterminer an-dessous de quelle quantité se trouve Y erreur commise , lorsqu'on prend l'arc pour le sinus , ou réciproquement.

En effet , la relation tang a > a donne r > a , d'où

° cos a

sin a > a cos a , et, k plus forte raison , sin a]> a cos* a, *

puisque cos a est toujours une fraction.

Mettons au lieu de cos* a sa valeur i — - sin'a ; il en résulte sin <z> a — a sin'a, ou à fortiori \, sin à^> a — a3, puisque Pon a a > sin a ou afl ]> sin* a.

Or, l'inégalité sin a > a — a3 donne a — sin a < a3; ce qui prouve que la 'différence entre Parc et le sinus est moindre que le cube de+ la valeur de l'arc, * '

Soit a= 0,01 (la longueur de l'arc étant évaluée au moyen du rayon ) ) il en résulte a — sin a < o ,00000 1 . Soit encore a =^0,001; il vient a— sin a < 0,000000001.

81. Cela posé, on a vu en Géométrie que, le diamètre étant pris pour unité , la circonférence a pour valeur

Si, comme nous le supposons, ce n'est plus le diamètre» mais bien le rayon , qu'on prend pour l'unité , la valeur de * représente celle de la demi-circonférence j donc

exprime la valeur du quadrant ou de 1000.

Par conséquent , 1 ° = o , o 1 5707963 ,

Comme cette dernière expression est au-dessous de 0,0002, il s'ensuit que (i')3 est moindre que (o,oooa)3 ou 0,000000000008. D'où l'on voit que l'expression de l'arc de 1' représente celle de 6in 1', à une fraction près, moindre que l'unité de l'ordre du onzième chiffre décimal; ainsi l'on a, avec exactitude,