DES TABLES. III

SID l'cr 0,OOOl5707g63,

jusqu'au onzième chiffre décimal inclusivement.

jCette approximation est plus que suffisante pour la sinus de l' lui-même; mais elle est nécessaire pour la détermination des autres sinus qui, comme on l'a tu, dépendent de celui-là, ainsi que du cosinus de 1'. Les erreurs se multipliant sans cesse, finissent par reflue» sur le 10', 9% 89. . . . chiffre décimal.

Notre intention était de ne donner ici qu'une idée de la manière dont les tables trigonométrîques ont pu être construites. Mais il existe des méthodes beaucoup plus expéditives, fondées sur les séries qui donnent le développement du sinus et du cosinus d'un arc en fonction de cet arc. (Voyez Algèbre, cinquième édition , chap. X , n° 44°*) On trouve même à la fin de ce chapitre une méthode pour calculer le rapport de la circonférence au diamètre , rapport qui a servi de base aux calculs précédent.

82. Première remarque sur la composition des tables centésimales* et sur la manière d'en faire usage.

Comme dans toutes les applications trigonométriques, les calcols se font par logarithmes, on a jugé à propos de placer dans les tables les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes, etc., au lieu de ce* lignes elles-mêmes. En outre , leurs logarithmes ont été calculés, non dans l'hypothèse de r= i> mais dans celle de r= io,G ou «oooooooooo j et en voici la raison :

En supposant r'= 1 , ce qui donnerait logr •= o, on aurait pour les sinus et cosinus , des logarithmes négatifs,, puisque ces lignes sont toujours plus petites que le rayon; il en serait de même pour les tangentes des arcs moindres que 5o° et pour les cotangentes des arcs plus grands. Quant aux sécantes et cosé— cantes, leurs logarithmes seraient toujours positifs, car on a vu qu'elles sont toujours plus grandes que le rayon ; mais ces deux dernières lignes sont employées fort rarement.

Pour obvier à cet inconvénient, on a conçu le rayon des tables, qui ne cesse pas d'être l'unité trigonométrique , rapporté lui-même à une autre unité beaucoup plus petite , et l'on

na cojfmvcnoN .

a supposé le rayon représenté par 1010, l'unité nouvelle étant celle des tables de logarithmes ordinaires.

. Or, si l'on considère un angle quelconque BOA (fig. 5i) du sommet duquel, on ait décrit deux .arcs de cercle a et a' avec les rayons r et /, et qu'on mène les perpendiculaires BP, AT et B'P', A'T', on aura évidemment la proportion

BPO B'P' H OA : OA' ou sin a : smâ' :: r : r*:

ce qui démontre t}ue les sinus d'un même angle j correspondant à deux rayons diffèrent j sont proportionnels à ces rayons.

Même résultat pour les autres" lignes trigcmométriques.

D'après cela, soient r= 1 et /= io10; il en résulte

sîn q' = sin a X 1 o19' d'où log sin a's=s log sin a + *o , cosa/==cosaX io10; d'où logcosa' = logcosa-|-io,

et ainsi des autres lignes. , . '

D'où l'on voit que, po«r .obtenir les logarithmes dfes lignes trigonométriquesdans le cas de r = io,Q, il faut augmenter de 10 unités ceux qui ont été calculés pour ç x= i . -

Par ce moyen , on est assuré que tons les logarithmes sont positif** quelque petits que soient les arcs. En effet, §oit , par exemple , le plus petit arc de la table , ou 1'.

On a trouvé pour son sinus, . . sin 1 '=*o, 000 1 5^0 7963.. . ,

d'où log sin 1' = log 15907 ,g63 ~ 8 = — 3 ,8o388oi ;

(on cherche log 15707,963 dans les tables ordinaires)";

donc log sin i' + io=— 3,8o388oi + 10 = + 6,1961199.

Tel est le logarithme qui se trouve dans les tables centésimales.

On aurait même pu supposer seulement r= 10* = 10000; mais on a préféré l'hypothèse r= 1010, parce que les logarithmes ne sont alors autre chose que les complément arithmétiques ordinaires des logarithmes calculés dans le cas de /■ = 1 ; et il en résulte de grands avantages dans les applications , comme nous le verrons plus loin.