Seconde remarque. Les Tables centésimales de Callet, que
Dtft TABURrf. t | 3
Kftus supposons entre les mains des élèves, ne renferment en apparence que les sinus , tangentes et cosinus des arcs compris depuis l' jusqu'à 5o°; mais elles n'en donnent pas moins les sinus, tangentes et cosinus des arcs plus grands , aussi bien que les trois autres lignes trigonométriques.
En effet, pour le sinus et le cosinus, on observe que le sinns d'nn arc pins grand que 5o° est égal au cosinus du complément, qui est alors plus petit tjue 5o°, et réciproquement.
Cest ainsi que gin 6g° 47' = 00s 3o» 53' ,
cos 780 25' = sin 2i° 75'.
Les logarithmes de ces lignes sont donc compris dans les tables.
Comme: on a cota== — : — , il en résulte
tang a
log cot a= 2 log r*-— log tang a = io-f- 10 — Jog lange, et réciproquement , log tang c=2io-f 10 — Jog cot a.
Cela posé , soit d'abord à trouver log tang 65° 48' ; on a log tang 65? 48'= log cot 34° Sa7» 10 +10 — log tang 34° 5z'.
Pareillement! log cot 23° 38'= 10 + 10 — log tang 23° 38T.
Enfin , log cot 5*]° 29' =3 log tang 4»° 7 1 '. *
Ces logarithmes peuvent donc s'obtenir facilement d'après la table. Pour avoir la tangente d'un arc plus grand que 5o°, cherchez le logarithme de la tangente du complément; prenez» en le complément arithmétique à 10, et ajoutez 10 unités au résultat. Même opération pour la cotangente d'un arc plus petit que 5o°; et le logarithme de la cotangente d'un arc plus grand que 5o° se trouve immédiatement : c'est le logarithme de la tangente du complément.
Quant aux sécante et cpaécante , comme on a
séc a = — - et ooséc a =a -a — -t cosa sina
I | 4 SMOLOTION
il en résulte togsécas=io+ 10 — logcoaa,
log coséc a = 10 + 10 — log sin a ;
c'est-à-dire qu'il faut ajouter 10 unités* soit au complément de log cos a , soit au complément de log sin a , pour avoir les logarithmes de la sécante et de la cosécante.
Au moyen de ces explications , les commemçans peuvent aisément résoudre ces deux questions, qui constituent l'usage des {tables :
i°. Un arc étant donné en degrés et minutes,, trouver le logu— rithme de l'une quelconque de ses lignes trigono métriques.
a°. Réciproquement , le logarithme de l'une de ces lignes étant donné* trouver l'arc correspondant en degrés et minutes. Si Ton demandait un plus grand degré d'approximation , il faudrait entrer dans de nouveaux détails qui nous entraîneraient beaucoup trop loin.
$ II. Résolution des Triangles. Applications des
Tables trigonométriques.
On a vu , en Géométrie , que des six choses qui composent un triangle , savoir : les trois angles et les trois côtés, trois quel** conques étant données (pourvu que parmi les choses données il y ait au moins un côté ) , l'on peut toujours obtenir graphiquement les trois autres. Actuellement, nous nous proposons de traiter la même question par le calcul, en commençant par les triangles rectangles.
Des Triangles rectangles*
La résolution de ces triangles repose sur quelques principes que nous allons d'abord démontrer.
84» Panera vhikcifb. Dans tout triangle rectangle , le rayon des tables est au sinus de l'un des angles aigus* comme Fhypaténuse est au côté opposé à cet angle; ou bien , le rayon des tables est au cosinus de fun des angles aigus, comme l'hypoténuse est au côté de V angle droit* adjacent à cet angle.
DIS TBUKGtSS QUELCONQUES. Il5
En effet, soU'un triangle BAC (Jfe 5a) rectangle en A. (8n:~ ***£• 5*« ▼ant les notations dont nous sommes déjà contenus n° 35, Mous appellerons À, B, C les trois angles^, et a, b9 c les côtés respectivement opposés k ces angles; A sera l'angle die/it et à l'hypoténuse.)
Cela posé ,- dn peint B comme centre et a*ee utt rayon BD égal a celui des tables > décrivons un- are de cercle s et du point D » abaissons le. sinus DE de Pangle B ; BE en est le cosinus.
On a évidemment les proportions
bd : de :: bc : ca, ou r ; sinB :: a : 4,.... (i) bd : be :: bc : ba, wr : omB :: a : c*.... (*)
ce qui démontre les dcu* parties dû principe cî-dessus.
Comme on a B w ioo° — C,. il en résulte sinB «as cesC# et eosB =5 sin C ; et les deux proportions détiennent
r : cosC :: a : *, r : sînC ;: a : c,
lesquelles s'énoncent de la même manière, par rapport à l'angle C
85. N. B. Jfarsqn'on supposera i , le* lèlntion* (i) et (a) fournissent les égalités & = a sinB, cssacosB, qu'on peut traduire ainsi : l'un quelconque des cotée de l'angle droit est égal <i Fhjtpotdnuse multipliée par le sinus de Pangle opposé à ce côté., ou par le cosinus de V angle adjacent.
Nous, aurons souvent occasion de rappeler le principe sous cet énoncé, qui est le plus concis.
86. Second muncife. Dans tout triangle rectangle , le rayon des tables est à le* tangente de F un des angles aigus* comme le côté de F angle droit* adjacent à cet angle* est au côté opposé.
En eflfet, menons au point G (Jtg. 5a) la tangente GH de Pangle B; on a la proportion
bg : gh :: ba : ac, ' ou r : tangB :: c : *;.... (3)
c'est le principe énoncé.
