Première remarque. Comme les questions relatives anx

. triangles rectangles se réduisent à celles-ci : deux des cinq

choses, B, C, a, b, c, étant données, trouver les trois autres,

et que 5 quantités combinées 2 à 2 ou 3 a 3 , donnent

ou 10 combinaisons | il s'ensuit que cette question générale présente en apparence dix casdifférens; mais en les analysant, on reconnaît qu'ils rentrent dans les quatre cas que nous venons d'examiner.

En effet y il faut d'abord faire abstraction de celui où Pon donne les deux angles B et C , puisque, dans ce cas, le triangle est indéterminé; c'est-à-dire qu'il y a une infinité de triangles { tons seinblaUles entre eux ) qui satisfont à la question.

Quant aux autres cas , ils sont compris sons deux hypothèses

principales : on donne un côté et un angle, on bien , deux cotée.

Dans Ul première hypothèse , le côté donné peut être Vhypc-

t tènuse, oe qui offre les deux combinaisons û, B j a, C, qui

rentrent évidemment dans l'énoncé du premier cas.

Si le côté donné est un côté de l'angle droit, on a les quatre combinaisons £,B|&,C|c,B[ c,C,quiaont comprises dans Ténoncé du second cas,

Dans&à deuxième hypothèse, l'un des côtés donnés peut être V hypoténuse, ce qui donne les deux combinaisons a, A | a, c\ et celles-ci rentrent dans le troisième.

Enfin, on peut donner les deux côté* de l'angle droit, ce qui • n'offre qu'une seule combinaison correspondante au quatrième , cas, savoir > b> c.

* go. Seconde remarque. En réfléchissant sur ces niasses ques-

I ' lions , on reconnaît facilement qu'un triangle rectangle est

* • toujours possible avec les données de chacun des cas examinés

n* 88 j à l'exception du troisième, il faut, dans ce cas, pour

12? »4«0LUW0IC ■

que le triangle soit possible, que le côté de l'angle droit ait une valeur numérique moindre que l'hypoténuse. Si le contraire avait lieu, la construction géométrique ferait ressortir l'impossibilité du triangle; or , je dis qu'il en est de même 4e la résolution par la Trigonométrie.

En effet', la formule qui donne ; dans ce cas , la valeur de l'angle B , étant log sîn B = log b + 10 — log a; si l'on a

b > a , il s'ensuit log b > log a $ d'où log b — log a > o j

et par conséquent, log sin B 2> 10 ; ce qui est impossible , puisqu'un sinus doit toujours être moindre que le rayon.

Dans les trois autres cas , il est aisé de voir que les formules donnent des valeurs toujours admissibles.

En général , les expressions

sina>r, cosa>r, séca<r, coséca<V,

^ulogsina>io,logcx)sa>iOjlogséca<Oo, log coeéca< to, sont, en Trigonométrie, des symboles d'absurdité, «omrae le

sont en Algèbre , les expressions telles que l/— a.

C'est une remarque que nous avons déjà faite dans le n° 5g , où nous avons observé que les tangente et cotangente n'offrent pas de caractère semblable, parce que ces lignes peuvent passer par tous les \è tats.de grandeur.

De* triangles quelconques.

La résolution des triangles quelconques repose également sur deux principes dont voici les démonstrations.

91 . Premier principe. Dans tout triangle, les sinus des angles sont entre eux respectivement comme les côtés opposés à ces angles. * '

Fig. 53. 50 jt ABC (Jig. 53 ) un triangle acutangle ou obtusangte en G

Du point B , abaissons la perpendiculaire BD sur le coté op- * posé AC , prolongé si cela est nécessaire.

En appliquant aux deux triangle* rectangles ADB, BDC, le principe du n° 84, o» a les ^cjhx proportions

DES TBIAMOUS ÇBJfcCOftQITXS. 121

r!«î»A::c:BD,l ,, , ., . „ csmA nn csinC

r:rinC::a:BD;Jdoulonl,rcBD = — -> BD= — '

et par conséquent , sin A 7 sî» C II a l c ,

Lorsque l'angle C est obtus , c'est l'angle BCD qui entre dans la seconde proportion ; mais comme (n° 5a) deux angles s*pplétneus Tua de l'autre ont même sinus , il en résulte. ..%... sin BCD = sîn BCA = sin G ; et la troisième proportion n'en subsiste pas moins.

En considérant les deux angles A, B, et abaissant du point C une perpendiculaire sur AB, on trouverait encore

sin A : sin B :: a : b*

Cette proportion et la troisième peuvent être réunies ainsi ,

sin A : sinB S sin C II a l b î c; (i)

ce qui démontre le principe énoncé.

92. Second principe. Dans tout triangle, le carré de l'un quelconque des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres j moins le double produit de ces deux côtés et du cosinus de L3 angle opposé au premier côté. ( Le rayon est ici supposé égal à Y unité.)

Considérons la même figure tfig* 53)\ on a, d'après un théorème connji,

AB = BC*+ ZC*— aAC X CDi 00 c* = a» + b* — ib X CD ;

mais dans le triangle rectangle BDC , on a (n° 85), CD 7=x a 00s C ; ' donc , en substituant , c9 = a* -+- b* — lab X cos C . . . . (2) Si l'angle C était obtus , on aurait d'abord

T5afcs BC'+ AC*+ 2AC X CD, ou c* = a* -f b* + %b X CD.

Or , le triangle rectangle BDC donnerait CD =a X cos BCD ; mais comme BCD = 900* -~- BCAe=2oo0-~ C, il en résulte

fia «édOLOTtoff

(n*5a) cos BCD s*— cos € (deux angles tuppléJneuS l'u» de l'autre ont des cosinus égaux et de signes contraires) ; ainsi, CD = aX — cosCcs — a x cos C ; et par conséquent, c* = a? -\- b* — lab cos C; d'où l'on Toit que* le principe énoncé est Traî , quelle que soit la nature de l'angle C.

Si le rayon était différent de l'unité , il faudrait le rétablir dans la formule, et l'on aurait, d'après la règle relative à l'homogénéité»

. » . l. aa&XcosC e* = a* + b% — ;

mais c'est principalement sous là première forme que nous ferons usage de cette relation.

De même que c est exprimé dans cette formule , au moyen de à et b , on pourrait également chercher b en fonction de a et c , ou a en fonction de b et cj ce qui donnerait les deux '"nouvelles relations '

6* = a1 ■+■ c* — aac X cos B, a* =c *■ + c* — ibc X cos A.

93. Arant de passer à l'examen des différons cas relatifs a la résolution des triangles quelconques, commençons par en déterminer te nombre.

Or, la question générale ayant pour but de déterminer ùvi* quelconques des six choses A , B9 C, a\ b> c , connaissant les trois autres, comme 6 quantités combinées 3 à 3 donnent

£--£ ou 20 combinaisons , il s'ensuit que cette question

offre en apparence vingt cas différens , mais une analyse suc" cincte les réduit k quatre, comme nous allons le voir*

Nous devons d'abord faire abstraction de celui ou l'on donne les angles A, B, C, et qui est indéterminé.

Maintenant, on peut donner

i*. Uncôtéetdéux angles \, ce qui offre les tz eu/combinaisons

uss 1*iA»Qim tiowveaxqiJj*. ia3

Il est d'ailleurs indifférait que loi deux angles donnés soient À et B, À et C, on B et C, puisque la relation A+B+Csaoo% fait connaître immédiatement le troisième. II suffit seulement que la somme des deux angles soit donnée moindre que 200* ;

a*. Deux côtés et V angle opposé à fum de est césés; «e qui présente sûr oombinaisons

t / a, b% A 1 a, c, A 1 bf c, B 1

et les calculs effectué* pour Pune d'elles dotant s'applique* aux cinq autres; *

3°. Deux côté* et fengle compris; ce qui donne les trois combinaisons a>b, C\a,c^B\ b> c, A;

4°. Enfin, les truie côtés; et dernier eus n'offre qu'une a*u!e combinaison.

On a donc en tout 19 Oombinaisons, qui se réduisent à quatre cas différent

94* PuBiaBa. cas. On donne un côté a et deux angles A et B,

il faut trouver C, b et c. On a d'abord pour l'augle C , C sa aoo° — (À -f- B> Ensuite, les proportions sin A : s?n B :: a \ b

et sin A ?sinC II a le, donnent

log b s» log a + l<y sin B «— log sin A* et log c = log a + log sin C — log sin Aj

ces formules font connaître log b, log c, et par suite b,c.

o5. Sxoowd cas. Étant donnée deux ùMs a, b et t 'angle A opposé à l'un d'eux, trouver B, C et c.

On obtient d'abord l'angle B par la proportion

sin A: sînB liai b9 * qui donne logstn B =log sin A -f» log b — log fr. % Connaissant lqi deux-angles 4 «* B, on en déduit

1*4 ftéaoLHWOîf *••

puis, pour déterminer c, l'on a r

logcsloga+logsioG — fegsiaA*

Discussion. Ce second cas offre diverses circonstances qu'if est important d'examiner.

Gomme l'angle B est ici déterminé par son sinus , et que . deux angles supplément l'un de l'autre ont même sinus, il s'en- • suit que, log sin B étant calculé d'après la formule ci-dessus r on peut prendre pour valeur correspondante de l'angle cherché, soit l'angle aigu B qui se trouve 4*°* 1* table, soit son supplément aoo° — B. #

Ces. deux, valeura étant transportées dans les formules qui donnent C et c, fourniront également deux valeurs pour ^chacune de ces grandeurs* D'où l'on voit que la question est, en général, susceptible de deux solutions.

Eu effet,. la construction géométrique donne lien aux deux F'o- 54* triangles ABC, ÀB'C (Jïg. 54) , dont l'un est acutangle en B, et l'autre obtusangle en B'.

L'indétermination cesse lorsqu'on sait d'avance de quelle espèce est l'angle inconnu B, c'est-à-dire s'il est aigu ou obtus. Dans le premier cas, on prend pour valeur correspondante a log sin B, l'angle aigu de la table; et, dans le second cas, on prend son supplément

II n'y a d'ailleurs qu'une solution dans deux circonstances principales : .

i°. Lorsque, l'angle A étant aigu, on donne a^>b-7 car alors, comme au plus grand côté doit être opposé le plus grand angle * il est clair qu'on doit avoir A>B : on ne peut donc prendre pour B , que l'angle aigu de la table ; .

2°. Lorsque l'angle A est obtus; car, dans ce cas, B ne. peut être qu'un angle aigu.

En6n, il est deux autres circonstances particulières ou la question n'est susceptible que d'une solution, on n'en admet^ aucune» C'est lorsqu'on trouve pour log sin B, ^ *

log sin B= io, ou logsinB^io.

IttS THlANOfcg* QVBLeOKQUJU. 1*5

Pour savoir si cela peut arriver, et quand cela Arrive, revenons sur la construction géométrique {fig* 54 ). j . Il peut se faire que Tare de cercle décrit du point C comme centre, qui rencontre généralement AX en deux points, ne fasse que toucher cette droite.

Dans ce cas , les deux triangles ABC, AB'C se réduisent an seul triangle rectangle ADC. T-âehons d'exprimer algébriquement cette condition. On doit avoir évidemment CB ou a = CD.

Mais le triangle rectangle ADC donne (n° 84)