CD

b sinA

La relation précédente devient donc *

b sin A b sin A

a =3 — — ou - s» r.

Ainsi , log b + log sin A — log à , ou log sinB = logrs±= io.

D'eu l'on Toit qu'on parvient à log sin B = io , lorsqu'on suppose entre les données a , b , À , la relation </== ■ ; : on,

géométriquement* le côté a égal k la perpendiculaire abaissée du point C sur AX.

Enfin, on peut avoir

- b sin A b sin A .

a<-7-, ou — — >r; ,

il en résulte log b •+- log *in A — log a, ou log sin B > io.

C'est le cas où l'arc de cercle n'atteint pas la droite AX 0%T-,54)> puisque alors pn a a<CD;

96. Troisième cas. Étant donnés deux côtés a, b, et l'angle compris C, trouver A, B et c.

On ne peut, pour ce cas, foire immédiatement usage du iw principe , parce que la relation (1) n'existant qu'entre les

i*6 néaoLrrrtùtf

parties opposées du triangle, on aurait toujours deux inconnues dans l'une quelconque des proportions qu'elle fournit. Cependant, ce principe, combiné avec la proposition du n° 76 f donne lieu à une formule qui fait connaître en même temps les deux angles A et B.

En .effet, de la proportion sin. A : sût B :; a l hM

on déduit sin À + sinB t sin À — sinB :: a+A ta — A;

mais, en vertu du théorème n° 76, on a

sin A + sin B : sin A — sin B : ! tang - (A+B) : tang - (A— B).

Comparant entre elles ces deux dernières proportions, on obtient

a + b\a — b :: tan#-(A + B) :tang-(A — B).

Cela posé, comme l'angle C est donné, et qu'on a d'ailleurs* A+B=aoo? — C, U en résulte i(A + B)s=s 100 — - Ci

ainsi, l'angle- (A -f- B) est connu, et l'on a

tang -(À + B) = cot-C.

Les trois premiers termes de la proportion précédente étant connus, on pourra calculer le quatrième terme, savoir:

tang - (A + B), et par suite déterminer l'arc - (A — B) ;

la formule logarithmique est

logtang-(A— B)=log(a — A)+logcotiC — log(a + *)-

Soit donc - (A — B) = n ,

n désignant un nombre de degrés connu. Comme on a déjà

DU TBIAM0LS5 QUKLCONQTTE5. 12J

, 5<A+B)=ioo«--Cf

On obtient , par addition , A t= i oo° — - C + n,

et par soustraction, B = ioo°— - G — ».

Connaissant les angles A,B,C, on trouve le 3* côté c par la formule log c = log a + log sin Ç — log sîn À,

ou par celle-ci > log c = log b + log sin C — log sin B.

97. Discussion* La construction d'un triangle dont deux côtés et l'angle compris sont donnés , est toujours possible ; et en effet» la formule principale d'où dépend, dans ce cas, la détermination des angles À et B, renferme une tangente comme inconnue; or , on sait qu'une tangente peut passer par tous les états de grandeur.

Considérons le. cas particulier de atsi; la formule qui

donna tang - ( A — - B) , devient

tang-(A — B) = o; d'où -(A — B), on n =50; ee qui réduit (es valeurs de A et B à

A=ioo° — ic, Bssioo»— -C.

Cela doit être, puisque le triangle est isoscèle.

Quant à lavaient* de c, l'on a ca- — .—: mais

^ un A

sinA = sin(ioo* — iC)ŒS€OsiC; et (n*63)

sinC ss a sin -C X cos-C

Substituant ces deux valeurs, on trouve

c = 2a sin - G.

ia8 résolution •

C'est ce qu'indique la figure correspondante à ce cas parti-» Fig. 55. culicr. Soit ACB (Jig. 55) un triangle isoscèle, savoir :BC=AC ou a = b\ il en résulte ÀssB; et si l'on abaisse la perpendiculaire CD, on a

DCB = DCAsb-C: d'où A = B =s* ioo°->-ic.

D'ailleurs le triangle rectangle ADC donne (n* 85)

BD, ou -c = BCXsinBCD=asiniC:

et par conséquent , csaisin-C.

98. Quoique la méthode qui vient d'être exposée pour résoudre le troisième cas, soit très simple, et la seule même dont on se serve ordinairement, nous croyons devoir en faire connaître une. seconde, qui consiste à déterminer d'abord le 3* côté c en fonction des données, et à en déduire ensuite les angles, parce qu'elle donne, lieu à des transformations trigonométriqnes que les jeunes gêna ne sauraient se rendre trop familières.

La formule du n° 92 donne c ^c \/a% + ^*— aa& cos C ,

et fait connaître immédiatement c en fonction, des données a, ft, C. A la vérité, cette valeur, dans son état actuel, ne se prête pas à l'emploi des logarithmes; mais on peut lui faire subir une transformation ayant pour objet de la ramener à une autre qui ne contienne que des symboles de multiplication, division et extraction de racine ; ou bien , si la nouvelle expression renferme encore les signes. + et —, ces signes ne doivent réunir' que des termes du premier degré.

Dans l'expression ci-dessus, la quantité soumise au radical renfermant trois termes , il faut d'abord tâcher d'en diminuer le nombre.

Pour cela , nous avons recours à la formule sin* - ar=

1 — cosa