DES TRIANGLES QUELCONQUE». I

i trouvée n° 65 ; on en déduit cos a = i — 2 sin* - a ,

ou mettant C au lieu de û, cos C =s 1 — 2 sin*- C.

. Portons cette valeur dans celle de c; il Tient

c = l/ a* + &*— 2aô (1 — 2 sin* - C) , expression qui peut se mettre sous la forme

. c= v/(a— i)â+4a*sin*-C;

et déjà , par cette transformation, la quantité soumise au radical est réduite à deux termes.

Actuellement , multiplions en avant du radical, par a — b, et divisons sous le radical, par (a— A)*; il en résulte

4a6sin*£C M m et si nous posons , = tang* ç,

« , * 2 sin | C /— j-

d'où tang <p = g J^ t/aA,

la valeur de c devient c=(a — b) yi+ tang* <p ;

mais on a vu (n° 5o) que y 1 -|- tang* 9 = séc p = ;

donc enfin c = .

cos$

D'où Ton voit que la valeur de c s'obtiendrait facilement par logarithmes, si l'on connaissait l'angle p. Or, l'expression de tang <p , établie plus baut , peut elle-même être calculée par logarithmes; on a

loglangp = log2 + logsin-CH — loga+£log£ — log(a — b).

i3o lisOLUTlOK

L'angle f étant ainsi déterminé , on trouve pour c f

log c =3 log (a — b) — log cos p,

on plutôt, log c= log (a — b) + 10 — log cos f,

a i— b parce que l'expression c = n'étant pas homogène,

on doit la rendre telle, ce qui donne c =— — .

^ cosf

( Il n'y a rien à changer à l'expression tang f = — — -r- l/«A,

qui est évidemment homogène.)

Il est à remarquer que si, dans la râleur

log c = (a — b) — log cos ?, pour éviter la soustraètion, l'on a recours aux complément , elle devient

log c = log (a— A) + comp log cosf, qui est identique avec la formule

log c = log (a — A) + 10 — log cos ç ; c'est-à-dire qu'en opérant par les complémens, sur la formule

c — on trouve , sans être obligé de retrancher 10 , le

cos ç D

même résultat que celui qui correspond à l'expression rendue

homogène. »

Le côté c une fois connu , l'on obtient les angles A et B par

les formules log sin À = log si a C + log a — log c ,

log sin B es log sin G + log b — log c;

et si les calculs de cette méthode ont été exacts , les trois angles' A,B,C doivent satisfaire k la relation A + B -f- C = 200*.

99. N. B. Nous observerons, à cette occasion , quetcetté même relation ne saurait servir à vérifier les calculs de la première méthode, parce que les angles A et B n'ont pas été déterminés indépendamment l'un de l'autre , mais au moyen des relation»

i (A — B) = n , i (A + B) = i oo° — - C , dont la dernière

DBS TAUBtCH» QUELCONQUES. l3l

n'est autre choie que la relation A-f-B + C» 2000.

Ainsi , quand bien même on aurait commis une erreur en déterminant n, ce qui forme le calcul principal de la méthode, les angles A, B, C n'en vérifieraient pas moins cette relation.

Les deux expressions A=ioo°— -C+n, Bssioo* C n

donnent en effet, par leur addition, À +6=200° — C, ou A + B + C = 2000, que n soit exact ou inexact.

100. Voyons ce que deviennent les formules de la seconde méthode y dans le cas particulier de a = b.

D'abord ,1a fbrWe tangos — — j- \/ab devient

tang q> = — ; et puisquejla tangente est infinie, $ est un

angle droit;fon a donecos ç=o, et c ou —= -.

0 7 cosf o

Pour interpréter ce dernier résultat, remarquons qu'afin de

rendre la valeur de c calculable par logarithmes , on a élé

conduit à' multiplier cette valeur, haut et bas, par a— i; il

n'est donc pas surprenant'qu'on ait c = -, lorsque l'on pose

û = i, d'où a— 6 = 0.

Si l'on veut 'obtenir la vraie valeur de c, il faut remonter k l'expression c = %/(a — b)% + frb tin* -C 9 laquelle devient,

dans Phypothèse'de a = &, c'= l/ fya* sina -C=s 2<zsin- C , comme on Fa trouvé d'après la ir* méthode.

101. Comme le troisième cas est un des plus importans de la résolution des triangles; nous allons appliquer les formules à un exemple particulier que nous traiterons successivement par les deux méthodes.

Soient a = 45»», 4g, b = 34" ,58, 0 = 69* 28'.

l32 RESOLUTION

Première méthode. .Lçs formules sont logtang -(A — B) = log(a— 6) + logcot-C — log(a + i),

log c = log sin G + log a— log sin À. j Voyons ce qu'elles deviennent dans le cas dont il s'agit :

« -a-f- fc = 80,07 ; « — 4= 10,91 $

A + B = 2oo° — 69°28' = i3o°72'; -(A + B) = 65° 36'.

Cela posé, l'on a log(a — i) = log 10,91 = 1,0378248 logcot-C=logtang-(A+B)=logtang65°36' = 10,2182093

corap. log (a + i) = c. log 80,07= 8 , 0965302

Donc log tang - ( A — B) = 9 , 3525643

(On a supprime U dixnine du résultat , comme provenant du complément que Ton a pris.)

d»0Ji -(A — B) = l4° 10';

mais on a déjà - (A + B) = 65° 36' ;

donc A = 79° 46' et B = 5t°2Ô/.

Il reste à déterminer c.

On a log sin C= log sin 690 28'= 9, 947343 1

loga = log 45,49= 1,6579159 comp. log sin A = corap. log sîn 790 46' = o ,0230079

d'où log c = 1 ,6282669;

et par conséquent , c = 42,488 = 42>49 •

'• Seconde méthode. On a pour les formules,

log tang f= log a + logsin -C + - loga +- log&i— log(a— b),

DES TKIANOJUSS QUELCONQUE

log c = log (a — b) + x o — log cos ^ , log sîn A= log sîn C + log a — log c, log sin B = log sin C + log b — log c , A -f B + C = 2oo°.

Cherchons d'abord la valeur de log tang <p.

log 2 = o,3oio3oo log sin -C = idg sîn 34°64' = 9>7i4°5ï9

- log a = - log 45,49 = o , 8289579

- log b = i log 34,58 sss o, 7694*25

comp. log (a — £) = comp log 10,91 = 8,9621752

donc log tang ^ = 10,5756275; d'où log cot 9 = 20 — log tang ç = 9, 4^43725 .

Cherchant dans la table Parc correspondant , on trouve f = 83° 47 •

Pour calculer c, Ton a log (a — b) = 1 ,0378248 comp. log cos <p = c. log cos 83° 47' = °»59o4983

donc logc= i,628323i; d'où c = 4M93 = 4*>49

Il reste à déterminer À et B.

i°. log sin C = log sin 690 28' = 9,9473431

log a = log 45,49 = 1 ,6579159 comp. log c = c. log 42>49 = 8,3717133.

donc log sin A =s 9,976972s*,

d'où A = 79" 45\

l34 BiflOLUTlOK

*: log sin Cs= log ain 69*28' =3 g,g47343*

. log b = log 34 , 58 = 1 ,5388a5o comp log c = c. log 4^,49 ~ 8,3717133

donc log sin B = 9,8578814? d'où B s= 5i° 26'

Le résultat présente une erreur de 1'.

Quoique la première méthode soit plus simple que la seconde, celle-ci a toutefois un avantage, c'est de présenter immédiate— ment un moyen de vérification. Au reste, rien n'empêche , dans lu seconde méthode, de s'arrête? à la valeur de c, seulement pour vérifier les calculs de la première.

102. Quatrième et dernier cas. Étant donnés les trois côtés a, b,cf déterminer les angles À, B, C.

Les trois formules du second principe (n° 92) donnent

COsA = 7 , COSD= , COSC=r F"*"" f

ibc 2ac aab

mais comme ces expressions ne sont pas calculables par logarithmes, il faut tâcher de les transformer en d'autres qui remplissent ces conditions.

Considérons en particulier la première, cos A= , — " >

et ajoutons 1 aux deux membres ; il vient

,+cosA=i+ — g; =V— -3,

(b -+- c •+• a) (b + c — nbc

On voit déjà que , par cette transformation , le second membre ne renferme que des multiplications et des divisions à effectuer.

Maintenant , si l'on se rappelle ( n° 65 ) que'

1>ES TRIANOLS9 QTTILOONQ0FJ. ll5