bc

Or , on a trouvé (n° 65) sin - A = \f -

— cos A

mettant dans cette expression la valeur de i — cos A ,

, . . . . i . ■ /(a + b — c) (a — b + c) on obtient sin - A = 1/ - — yf — '-.

2 w £LOC

Soit fait a + b -f- c = *p, d'où a + b — c = np — ac, a + c — b^=znp — a£ j on trouve enfin , toute réduction faite,

8in i A = V EEEQES

2 V bc

Celte formule , qui donne l'angle A par le sinus de sa moitié ,

est tout aussi simple que la valeur de cos - A , et ta l'avantage

d'être plus symétrique; mais nous avons préféré faire connaître d'abord celle-ci, parce qu'elle se déduit plus simplement de la valeur de cos A , et qu'elle est d'ailleurs plus commode pour la . discussion.

On obtiendrait de même,

i38 «iaoLUTicw

a V aà a V aa

•in

a°. Si nous divisons

il en résulte ^ ou tang | A J^=^=3%

et cette nouvelle formule peut être également employée avec avantage,

3°. Enfin , des mêmes valeurs de sin - A et cos - A , on dé-

doit

ou, simplifiant et observant que (n° 63)

sin A = a sin - A cos - A. ,

sin A s= ,

1 oc

résultat auquel on parviendrait également d'après la relation

sin A = l/ 1 — - cos* A , en mettant à la place de cos A sa valeur

7 • (Nous engageons les élèves a faire ce calcul.)

Cette dernière formule est beaucoup moins simple que les précédentes 1 puisque l'on a sept logarithmes à chercher, au lieu de quatre que présentent les autres formules.

io5. Toutefois , elle nous conduit à une conséquence très remarquable, .dont nous aurons plus d'une fois occasion de faire usage.

On a trouvé (n° 36) , en désignant par S la surface d'un triangle , et par ap son périmètre,

D^S TRTAKOLBS QUVLGOffQUE*- 1$$

Cette valeur de S étant substituée dans celle de sîn A, donne

sin A = V- , d'où Ton déduit S = - bc sin A ;

bc s

c est-à-dire que la surface d'un triangle est égale à la moitié du produit de deux des côtés et du sinus de V angle compris entre ces côtés,

Cest, au reste, ce qu'on peut vérifier facilement d'après la

figure* On a en effet (fig. 53) ABC = ' AQX BD = ±b X BD; *** 53.

mais le triangle rectangle ADB}donne (n° 85) BD = c sin A , doue ABCss -b X csin A = -6csin A.

106. Nous pouvons maintenant résoudre la question du n°4£« qui a servi d'introduction à la Trigonométrie.

Il s'agissait de calculer la hauteur CD (Jig, 43) dans le triangle Fig- 4- ACB, connaissant la base AB = c et les angles adjacens A et B.

On a d'abord C= 3oo° — (A+ B) , d'où sin C=sin (A -f B) \

le principe du n* 91 donne ensuite

• ** • « t i» « ? c sin B

smC : smB :: c : *; d'où b= . — .

sin (A + B)

Enfin y on déduit du triangle rectangle ADC, DC = 4 sin A ;

JU** ~~fUt vw> - g sin A sin B

donc ennn DC = -~ — ■;" , ■ »* ,

sin (A -f B)

résultat calculable par logarithmes.

Veuti on calculer la surface du triangle au moyen de ces

mêmes données? Ou a S=- c X DC ; ou mettant a la