t *%r* t c? ! c% w* A sin B

place de DC sa valeur , S = - . . , . , px .

3 sin(A + B)

109. Rapprochons ce résultat de ceux du n° précédent, S= \/p(p — a) {p — b) (/>-c)7

Ss-ic sin A.

i4<> résolution

On voit que le premier donne la surface du triangle', en fonction d'un côté et de deux angles quelconques ; le second , en fonction des trois côtés, et le troisième , en fonction de deux côtés et de l'angle compris.

Il reste donc , pour avoir la surface du triangle, exprimée au moyen des données de chacun des cas relatifs à la résolution des triangles, à trouver cette surface en fonction de deux côtés et de l'angle opposé à l'un d'eux.

Soient donnés , par exemple , les oHés a, b et l'angle A.

On a d'abord ABC ou S = - c X CD = - c b sin A.

Mais la relation a* = b% -f- c* — nbc cos A , peut se mettre sous la forme

ca — ib cos A . c = a2 — A%

équation qui , résolue par rapport à c, donne

c=b cos A ±: \/ b'cos* A + a* — F = b cos A ±. {/a%— b* sin'A. Substituant cette valeur dans l'expression de S, on obtient

S = - b sin A (b cos A ± kV — 6* sina AJT

Mais cette formule n'est pas, comme les autres, immédiatement calculable par logarithmes , et nous ne nous arrêterons pas ù la rendre telle. On a d'ailleurs deux valeurs pour Sr parce qu'en effet on a vu (n° 95} qu'il existe en général deux F*g. 54. triangles qui ont pour données a , b et A {Jïg. 54).

Pour que ces valeurs soient réelles, il faut que l'on ait

a > b sin A , ou plutôt, a > — ' — — , en rétablissant le rayon,

c'est-à-dire CB ou CB' > la perpendiculaire CD.

108. Nous allons joindre à ce qui précède un tableau de toutes les formules relatives à la résolution des triangles , soit rectangles, soit obi iquangles.