DES TRIANGLES QUELCONQUES. I4I

TABLEAU

Des Formules relatives à la résolution des triangles ,

Avec l'indication des numéros d'où on les a tirées.

Triangle 8 rectangles,

étant doanfe...... trouver

/ e C=ioo°— B

a,B...C, bycl log b = log a + log sin B — i o, t log c =5= log a -f- log cos B — 10.

C = ioo° — B,

|A, B.. .C, a} c^ log a = log 6 -f- 1 o — log sin B ,

log c = log & + 10 — logtangB.

^go\ y .log sin B=log£+io — log a,

N l C=ioo° — B,

a,6....B,C,c^ log c = !og.a+logcosB — 10,

ou log c = - [log (a + b)+ log (a — 6)].

log tang B = log b + io — log c, 6,c...B,C,a<J C^=ioo°— B,

log a = log £ -+• io — log sin B.

Triangles quelconques,

C=200°— (A + B), (94) a, A>B...C,6,cJlog 6 = log a + log sin B — log sin A,

log c = log a + log sin C — log sin A.

(g5) a,6,A...B,C,cj

log sin B = log sin A + log sin b — log a , C = 200°— (A-f-B), log c = log a + log sin C — log sin A,

Ce second cas admet, en général, deux solutions.

,<3 nisOLUTIOH

Première méthode.

étant éamnm. ». tNavtr

i(A + B)=ioo°— ic=m,

[log tang i (A— B)= log(a— b) +log cot- C

— log (a +6),

(96) c,i,CNi,B,c/

log c = log a + log sin C— log sin A-

Deuxième méthode.

même cas. I kg **»g* «loga +logs!ni C + I log a

•4-ilogJ— Iog(a — i), (98)a,i,C...c,A,B< ^ c==log (fl i) + c.logcoi^>

log siû At=s log sin C + loga — log c, log sinB =log sin C -f log b — log c; vérification , A + B -f- C = 2000.

log sin i A = - [log (p *- î) + log (p — c)

+ c. log6+c-Iogc]»

jlog sin iB= - [log (p — a) + log (p — c) (io4)a,6,c~A,B,C( 2 a +c logfl + c logc;]>

log sinic= - [log (p— a) + log(p— *) %

+ c. loga+clogi]; vérification , A + B + C & 200*5

DES TIUAKGUE8 QUELCONQUES. 1^3

logcosjA = - [logp+ log(p-'a)

+ c.logi-f c. loge],

|Jogco*jB = j [logp 4- log (p — b)

ou bien, (102), . . ( ■ ^ 1 1 1 1

\ + c- log a + c. log c] ,

|logcos-C=- [log/> + log(p — c)

+ c. log a + c log i]; A + B + G = 2000.

109. Remarque sur les formules relatives à la résolution des triangles. Reprenons les trois formules du n° 92.

a* =a b* + c* — zbc 00s A ,

4* = a* + c* — aae cos B, ^... (1)

c* = a* + fc* — aai cos C,

et observons que, puisqu'elles renferment les six quantités a,fr,c,A,B,C,il doit être , en général , possible de déterminer à l'aide de ces équations, trois, quel conques d'entre elles, connaissant les trois autres. La résolution de tous les cas relatifs aux triangles quelconques est donc comprise dans ces formules} et si, pour les deux premiers cas, on a fait usage du premier principe, c'est parce que l'emploi des formules qui s'y rapportent est plus commode pour les calculs.

Au reste, il est facile de reconnaître que ces dernières formules se trouvent implicitement renfermées dans les précédentes.

ft'+c» — a* obi >

En effet, on déduit de la première, cos A =

d'où siuA= V^i-cos*A = yA2 ^JZ L-

ou, effectuant les calculs et réduisant,

sin A = -T- f/aa* b% + za*c*-+- a**c*— a<— *♦ — c+. 20c

1 44 rÉsoi.wtion

Soient divines les deux membres de celte égalité par a\ il vient

sin A

= — r- f/aa*A* -fr- aa V+ aéV — a4 — 6+ — c*,

égalité dont le second membre est symétrique en a, b, c; d'où il suit qu'en, désignant par k ce second membre, on trouverait de même, en changeant A en B et a en b9 b en a, puis A en C et a en c,c en a,

îl!L5 = A et ^=A{ b c

, sin A sin B sin C •*.-».• ^». . l .

donc = *-j— = , ou sin A: smB! sinC .1 a .b .c.

abc

1 1 o. Pour faire ressortir davantage toute la généralité des formules (i), nous allons nous proposer de déterminer les côtés a, b, c , connaissant les angles A, B, C. •

Nous devons reconnaître que la question est indéterminée, mais que les côtés a, b, c sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

Ajoutons d'abord ces formules deux à deux ; il vient

• aa -f- £' = a* -f- b% + 2c* — ibe cos A — zac cos B, a* -f- c* = a* + ca -r- 26* — 26c cos A — zab cos C, &* + c* = i* + c* -+■ 2a9 — 2ac cos B — 2a6 cos C,

équations qui peuvent remplacer les précédentes.

Or, si l'on réduit et qu'on supprime respectivement les facteurs 2c, o.b, aa, ces équations deviennent

o = c — b cos A — a cos B, 0 = 6 — c cos A — a cos C, o = a — c cos B — b cos C,

résultats dans lesquels les inconnues a, b, c ne sont plus qu'au premier degré.

[On peut trouver facilement ess résultats par la Géométrie"

Fig. 53. On 3 évidemment AC ou b = AD + DC (j^f. 53);

DBS THIANOLBS QUELCONQUES. 1^5

mais les deux triangles rectangles ADB , BDC donnent (n° 85)

AD = ABcosA=sccosA, DG =s BC cos C = a cos G; donc & = ccos A -f* acosG, ou A — ccosA — acosG = o;

c'est le second des deux résultats ci-dessus].

Afin de mettre les inconnues en évidence, et de comparer plus aisément ces résultats aux équations du Ier degré à trois inconnues, nous remplacerons a, b, c par x, y,z.

On aura , en ordonnant,

cosB.x -f" cos A y — i . a = o, ) cosG.x — i . y + cos A. a = o, s,. . (a) i.x «— cos C.y — cos B.s = o, j

équations qui, comparées aux formules

ax + bjr + cz = d, dx ■+- Vy + c'z = o", a*x + b"y + c"* = rf\ .

donnent ci = o, <f=o, d* = o-,

puis a = cos B , A = cos A , c = — i ;

a' = cos G, V ' = — i, c'=cosAj

a"=i, 6" = — cosC, <?• = — cosB.

Or, on a vu (-^^. chap. H, n*. 78) que, lorsqu'on suppose nulles à la fois les quantités d, d' , cP, les expressions de x,y, a

sont nulles ou de la forme -, suivant que le dénominateur

ab'd'—ac'b' + ca'b' — ba'c' + bc'a' — cb'a", est différent de o ou égal à o.

Gela posé, je dis que, dans la circonstance oà nous nous trouvons, ce dénominateur est nul.

En effet, si l'on y substitue à la placé de a, by c, d , b'. . . » les valeurs ci-dessus, on trouve qu'il se. réduit à

cos* B -f- 9 cos A cos B cos C •+• cos* A -+- cos'C — 1 ;

mais la relation A + b* + C = 2000 donne B-f-C=2oo°— A

r^6 astOMJTiotr

d?ou cos(B + C)=b— cosA,

on y développant coe (B + O par la formule connue,

cosBcosC — sinB sin'C = — -cos A,

ou bien encore, cos B cos G •+• eos A = sin B sin G.

Élevant les deux membres au carré, et remplaçant sin'B, sin1 G par leurs valeurs i— cos*B, i — cos*C, on obtient

cos'Bcos^C+acosBcosCcosA+co^Àïs (i — cos*B) (i — co$*C); ou, effectuant les calculs et réduisant,

cos* A + cos*B -f- cos* C + a cqs A cos BcosC — i = o.

On voit donc que le dénominateur ci-dessus est nul, et que

par conséquent, xijriz ou a,b, c sont de la forme — . Ainsi,

la question est indéterminée. Mais on peut , conformément à ce qui a été dît en Algèbre (n° 78) , déterminer les rapports de ces inconnues en fonction des données A, B, C. Les équations (2) peuvent se mettre sous la forme

cos B . — + cos A . *£- = 1 ,

coaC. — — 1 . «*- = — coaA,