cosC . «2- = cosB

Multiplions la seconde de ces équations par cos A, et ajoutons la première à la seconde ainsi multipliée; il vient

(cosB + cosAcosÇ) — = x — COg*Aj

x i ~cos*A

a*où 7 — cosB+cosAcosC'

mais ou* 1 — cos* A an sin* A» et cos (A + G) sa—- cosBj d'où cos A cosC r-ain A sin,C = — cos B,

DES TRIÂKOLBS QVSLCONQUE8. ifa

ou co3 B «f- oos A cos Ces sin A sin C \

x sin1 A sin A

donc enfin ,

ctet-à-dire,

s sin A sin C sinC

a sin A

c sin C"

On trouverait également - = -: — ■=.

° c sin C

Nous retombons ainsi sur le principe du n° 91 .

applications de la Trigonométrie au levé des plans.

ni. Premier exemple. On demande la hauteur d'une tour AB, du pied de laquelle on peut approcher.

On commence par mesurer sur le terrain, supposé de niveau ou perpendiculaire à AB (fig. 56) , une base AD qui ne soit ni Fig. 56. trop grande ni trop petite par rapport à la hauteur cherchée ; puis au point D , à l'aide d'un instrument (un graphomètre,par exemple), on mesure l'angle ECB que forme l'horizontale EC arec le rayon visuel dirigé du point G an sommet de la tour.

On connaît ainsi dans le triangle rectangle BEC, l'un des côtés de l'angle droit EC, et l'un des angles aigus ECB; ainsi (n° 88) Pou peut déterminer BE d'après la formule

log BE = log EC + log tang ECB — i o.

Connaissant BE, il faut, pour avoir la véritable hauteur de l'édifice, ajouter à BE la hauteur CD de l'instrument

11a. Sbcgnd sxBirtx.*. Déterminer la distance AB d'un point A où l'on est placé, à un objet B visible , mais inaccessible, parce que les deux points sont séparés par une rivière.

On mesure d'abord sur le terrain une base AC {fig. 5*]), telle Fig. 5> qu'en dirigeant de ses deux extrémités des rayons visuels AB et CB, les angles BAC, ACB ne différent pas trop de 5o°. Après avoir mesuré ces angles, on résout le triangle ABC dans lequel on connaît un côté et deux angles; et l'on a

itifi APPLICATIONS

log AB = log AC + log sin ACB — log sin ABC.

Remarque. Si , dans le premier exemple, on supposait que \o pied de l'édifice fût visible, mais inaccessible j on déterminerait AD ou EC (fig. 56) , comme dans le second exemple, et la question serait ramenée au cas où le pied est accessible.

11 3. Troisième exemple. On demande la distance CD de deux objets visibles j mais inaccessibles , comme étant séparés par une rivière du lieu où l'on est placé. Fig. 58* Après avoir mesuré une base AB (fig. 58) qui ne soit ni trop grande ni trop petite par rapport à CD , on dirige, à l'aide d'un instrument, des rayons visuels AC, AD et BC, BD; puis on me-* sure les angles CAB, DAB et DBA, CBA.

On calculera alors, comme dans l'exemple précédent, le côté AC du triangle ABC et le côté AD du triangle ABD, puisque l'on connaît, dans chacun de ces triangles, un côté AB et les angles adjacens.

On a d'ailleurs CAD = CAB — DAB; ainsi, dans le triangle CAD, l'on connaîtra les deux côtés CA, AD et l'angle compris CAD; dès lors on pourra calculer le 3e côté CD, d'après" l'une des deux méthodes relatives au 3e cas d'un triangle quelconque.

Nous ne nous arrêterons pas à des applications particulières de ces questions, parce que les exemples que nous avons donnés précédemment suffisent pour mettre au fait de ces sortes de calculs; mais nous terminerons par une question assez importante, qui nous fournira une nouvelle occasion d'appliquer quelques-unes des formules trigonométriques.

n4- Quathieme exemple. Trois points A , B , C, {fig. 5g) étant donnés sur la carte d'un pays j on propose de déterminer la position d'un 4e point M., d'où Von aurait mesuré les angles AMC, CMB. (Les quatre points sont supposés sur un même

plan. )

on peut d'abord donner de ce problème une solution purement géométrique.

Décrivez sur AC un segment de cercle capable de V angle

TRIOONOM&TBIQUES* l49

donné ^.MC^ et sur CB un second segment capable de l'angle donné CMB.

Comme il n'y a que les points du premier pour lesquels les rayons visuels menés aux deux points A et G puissent former entre eux le premier angle donné, et que la même chose a lieu pour le second segment, il s'ensuit que le point cherché se trouvera à l'intersection de ces deux segmens.

Mais on demande la solution par le calcul.

Appelons a^ b , c les trois côtés du triangle ABC , et posons

AMC = a, CMB = /3.

i°. Puisque les trois points A, B, C sont donnés de position, on connaît les grandeurs de a, à, c; des lors on peut obtenir par l'une des formules relatives au 4* cas de la résolution des triangles, la râleur de l'angle 4CB que nous désignerons par C.

2°. On connaît , par hypothèse, les angles AMC= &, CMB=/S , et par conséquent, leur somme AMB, ou ct-f- 13. Mais, dans le quadrilatère AMBC, la somme des angles est égale à 4<>o° ;

donc MAC + MBC = 4oo° — (C + « + /B),

,, . MAC + MBC „ C + « + 0 d'où = 200° — * :

ainsi , la demi-somme des* angles MAC , MBC est connue.

3°. Pour avoir leur différence, désignons MAC par x et MBC par y\ les deux triangles AMC, CMB donnent (n° 91),

MC ! AC II sinx : sin* 1 ,, , M/, b sin x cri asiny

\Mr.r-T>.. • . • * î douML.= --: , MC=— : — -f ;

MC : CB :: siny : sin/2 J sin a. sin £ '

, sin a: a sin* af 1 1 i# isinC\

donc -s — = t- - — - == r>( en posant et calculant b =s— : — h smy bsmfi b'\ r sm«/

De cette équation qui renferme deux inconnues, l'on déduit

sin a;-}- sic V a+b' sin x — sin y a — br

l5û APPLICATIONS TRlOONOBCÂTRIQtTXS.

Mai.ona(a«96) ™ï±™2 », Îî5£i^±^.

x * ' smoç — siny tang£(x — y)

Donc a+y Ung-Ki+jf)

formule qui fera connaître tang - (x — y) , dès qu'on aura ob-

tenu la valeur de V par la relation i'= — r— -, qui donne

r sin 0 ^

log V = log b -+• log sin £ — - log sin 0. Soient maintenant - {ce +>0 = 2000 — = m ,

j(x— y) = w> il en résulte x~m-\-n et y ~ m— n.

4°. Connaissant les deux angles MAC, MBC, on pourra calculer les lignes AM, CM, BM, puisque dans chacun des triangles AMC, CMB , l'on connaît un côté et deux angles.

1 15. Scholie général. Nous avons déjà observé (n° 34) que, dans la résolution des problèmes de Géométrie par le secours de l'Algèbre , on devait , en général , préférer le calcul numérique des résultats aux constructions géométriques, dont le plus ou moins d'exactitude dépend du degré de perfection des instrumens et de l'adresse de celui qui opère, tandis que le calcul n'a d'autres bornes que celles qu'on veut lui assigner. Cependant lès tables trigonométriques employées d'après les seuls principes qui ont été précédemment exposés, ne donnent pas toujours le degré d'exactitude qu'on désire obtenir; mais il existe des moyens d'augmenter cette précision, qui se trouvent développés dans toutes les tables dont on se sert ordinairement.