Soit ABC un triangle sphérique tracé sur la sphère dont

le centre est en O {fig* 60) ; nous conviendrons, comme pour les Fîg* Go* triangles rectilignes, de désigner par À,B,C les trois angles , et par a, b, c les côtés respectivement opposés à ces angles.

Comme ces côtés ne sont autre chose que des arcs de grand cercle, on conçoit qu'ils ne peuvent entrer dans les calculs que par le moyen de leurs lignes trigonométriques , c'est-à-dire par leurs sinus , cosinus, tangentes, etc. • . .

Cela posé, le problème général de la Trigonométrie sphérique a pour but : Etant données trois des $ix choses qui constituent un triangle sphérique, déterminer fo* trois autres.

t5a FOBMULE0 PRINCIPAL»*.

Pour résoudre tous les cas relatifs à cette question, il suffirait d'aroîr autant de relations entre quatre des six quantités A,B,C,a,&,c, qu'on peut former de combinaisons quatre a quatre avec ces quantités. Or, le nombre de ces combinaisons est, comme on le sait, exprimé par 6 X - ou i5.

Ainsi, il devrait y avoir en apparence i5 relations différentes à déterminer. Mais il est facile de reconnaître qu'elles se réduisent à quatre principales.

En effet , si l'on en trouve une

i°. Entre a, b9 c, A, on peut en former

de semblables entre < L ~

( a, a, Cj Ci.

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«■• «•'•"•c • {''itc:

En tout, quinte combinaisons, dont quatre de nature différente.

1 18. Proposons-nous d'abord de déterminer une relation entre a9bfc9 et A ! c'est-à-dire entre les trois côtés et un angle.

Soient ABC (fig. 6o) le triangle spbérique proposé, O le centre de la sphère; tirons les rayons OA, OB, OC. Au point A , soient menées AD, AE tangentes aux arcs AC, AB, et joignons les points D ,E où ces tangentes rencontrent OC, OB.

Comme ces tangentes sont l'une et l'autre perpendiculaires au

FORMULES PBWCIPALBS, l53

rayon OA, l'angle DAE est la mesure de Y angle sphérique A. ( Leg. , 7- livre , prop. 8. )

Cela posé y les deux triangles ODE, ADE donnent, en vertu du principe n° 92 ,

DE = OD + OE — aOD XOE.oosa.... (DOE «= a), DÊ?=3 AD + AE — 2AD X AE . cos A; d'où, en soustrayant et observant qu'a cause des triangles rectangles O AD, OAE, l'on a ÔD— AD = Ï)A, OE>-ÂE = ÔA,

o = 2OA — 2OD X OE . cos a + 2ÀD X AE . cos A. Mais du triangle rectangle OAD , l'on déduit (n9a 84 et 85)

OV = —£n = —k, AD=OA.tangi; cosAOD cos b °

pareillement, on a dans le triangle rectangle OAE ,