, OA OA A„ ^A
OE = ™ AÔÊ = ^Tc ' AE = 0A'**C'
Donc, substituant et supprimant le facteur commun 2OA,
cos a ,
on trouve 0=1 ; 1- tane b tang c. cos A ,
coso cosc ° °
ou , chassant le dénominateur et se rappelant que
«ni , , sine ,
7 = tang 0, = tangc,
cos b D cos c °
d'où sin b = cos b tang b , sin c = cos c tang c ,
o =5 cos b cos c — cos a -f- sin b sin c cos A.
Donc, enfin, cos a = cos 6 cos c+ sin 6 sine cos A, (1)
relation qui donne la valeur du côté a en fonction des deux autres cotés b, c et de l'angle opposé A.
On a pareillement, par un simple échange de lettres,
i54 yormulbs pnurciFALia.
cos b = cos a cos c -f- sin a sin c cos B, . . .(2) 009 c 2= 008 a cos 6 + sin a sin 6 cos G . . . • (3).
Ces trois formules sont pour les triangles sphériques, oe que «ont les formules du n° 92 pour les triangles rectilignes ; et eHes f enferment implicitement toutes les autres , comme nous allons le voir.
1 19. Il faut trourer maintenant une relation entre les côtés a, b et les angle* A, B.
cos a — cos b cos c
On tire de la formule (1) , cos A =
sin b sin c
• a ay « ; „ /sin*6sin*c— (cosa— cosicosc)*
8inA=f/i— co3mÀ=\/ . V . ^-,
V sin* 6 sin* c
ou, développant les calculs et observant que sin*& sin*c est égal à (1 — cos' b) (1 — cos* c),
8În A =-î — r — : \/ 1— C08*O— COS*6— C0S*C +2COS a cos 6 cosc.
sina.smc Divisons les deux membres par sin a \ il vient sin A 1
sin a sin a sin & si n c
y i-cos*a-cos*ô-cos*c+2cos a cos b cos c9
résultat dont le second membre est évidemment symétrique en afb9c; d'où il suit que si, à l'aide des relations (a) et (3),
on recherchait les valeurs de -: — r , -; — , on trouverait égale-
8in0 sine ^
. sinB f sinC , , ., . ,
ment -: — - = k, -, — = k : k désignant ce second membre, sin b sin c ' °
On a donc la relation
sin A sin B sin G sin a sin ^ sin c'
ce qui veut dire que les sinus des angles d'un triangle sphérique eont proportionnels aux sinus des côtés respectivement
FOHMtTLÏS PMN0IT1XES, l55
opposés à ces angles; cette proposition correspond au principe du n° 91 sur les triangles rectilignes ; et la manière dont nons y sommes parvenu est d'ailleurs analogue à celle qu'on a employée n° 109.
On pourrait également obtenir ce résultat , en éliminant sin t et co6 b entre les équations (1) et (2) , et substituant leurs valeurs dans la relation sin* b -+■ cos* b s 1 ; mais ce moyen serait beaucoup plus long , comme on peut s'en convaincre.
La proposition ci* dessus donne lieu aux. trois égalités sui«. vantes :
sin b sin À s sin a sin B,. . . .(4)
sin c sin  = sin a sin G,.... (5)
sin c sin B = sin b sin G (6)
120. Cherchons actuellement une relation entré les deux côtés a, b et les deux angles  et C dont l'un est opposé.
Il faut , pour cela, éliminer sin c et cos c entre les équations (i*), (3) et (5) qui renferment ces deux quantités et les quatre parties a , b, A, C.
»v% « •■ i«. . ,*** 1 • ' m sin tf.sinC D'abord , l'équation (5) donne sin c ^b : — - — ,
d'où, substituant dans l'équation/ (i) ,
, ... sin a sin G .
cos a =3 cos b cos c + sin b • ■ . — r — . cos A ,
sin A
ou cos a cos b cos c + sin a sin b sin G cet A ,
cos A'
[à cause de cot A = — : — 7- )• \ sin A/
Portons dans celle-ci, la valeur de cos c que donne (3); il vient
cos a = cosai cos a + cos b sin a sin b cos G
-f- sin a sin 6 sin C cot A,
ou, transposant cos* b cos a, et divisant les deux membres par le facteur sin a sin ft,
V5£} FORMULES FRIlfClf JULES.
/ cot a sin b = co6.£ eus C -+• sin C oot À , . . . . (7)
résultat qu'on ne peut simplifier davantage , et qui ne contient que les quantités a,bf A, C.
On obtient pareillement , par de simples échanges de lettres,
cot b sin a es cos a cos G + sin G cot B,. . . (8)
cot a sin c = cos c cos B 4- sin B cot A, . . • (9)
cot c sin a = cos a cos B •+- sin B cot C,. . . (10)
cot b sin c s cos c cos A + s»n A ^ b>##- (m)
cot c sin ft = cos 6 cos A + sin A cot C. . . . (12)
121. Il ne reste plus qu'a déterminer une relation entre le côté a et les trois angles A, B, C
Pour y parvenir, nous combinerons entre elles les relations (4) y (7) et (8) , afin d'éliminer b.
. . • * »in b sin B
On a d abord cot a stn b = cos a . -: — = cos a* -. — -;
sin a sin A
, . , . , sin a , sin A
de même, cot b sin a s=r cos 0. - — y = cos b . -: — 5.
sin b sinB
Par cette transformation , les égalités (7) et (8) deviennent
cos a sin B = cos b sin A cos G -f- cos A sin C, cos b sin A = cos a sin B cos G + cos B sin G;
d'où, substituant dans la première équation la valeur de cos 6 sin A, tirée de la seconde,
cos a sin B =cos a sin B cos'C+cos B sin G cos G + cos A sin C .
Cette équation, qui ne renferme plus que a, A, B, C,
peut encore être simplifiée. Transportons le terme
cos a sin B cos'C dans le premier membre, et mettons à la place de 1— cos*G sa valeur sin'C, puis divisons les deux membres par sin G ; il vient
cos a sin B sin G = cos B cos C + cos A; d'où cos A = — cos B cos C + sin B sin C cos a . . . ( i3)
TRIAKOLS8 SFHlblQUlS UCTAMGLBS. 187
On obtiendrait également, par un simple échange de lettres,
cos B== — cos A cos C + sin A. sin C cos 6, . . . (i4) cos C ss — cos A cos B +• sîn À sin B cos c. • . . (i5)
Ces formules sont, au signe près, pour l'un des termes , composées en a, A, B, C, ou i, A, B, C, ou c, A, B, C, comme les formules (0, (a), (3) le sont en A, a, b, c, ou B, a y b,c, ou C, a, b, c.
Au reste, on peut les déduire de celles-ci, par le moyen de la propriété^* triangles polaires. (Leg. 7/mrlivre,prop. 9 et 10.) Cette propriété consiste, i°. en ce que, si l'on considère un second triangle A'B'C' dont les sommets A', B/, C soient les pôles des côtés a, b, c, réciproquement, les sommets A,B, C du triangle ABC sont les pôles des côtés s!, b', c ; 20. les angles A', B/ , C du triangle polaire A'B'C sont Us suppjémens des côtés a , b, c du triangle ABC, et réciproquement, les angles A , B , C du triangle ABC , sont les supplémens des côtés a'., b'., c' du triangle A'B'C.
Cette seconde partie de la propriété a fait donner aussi le nom de triangle supplémentaire au triangle A'B'C'.
Cela posé, puisque Ton a, d'après cette propriété,
A' = 2ooa — a,B' = 2oo°— ^,C=2oo0 — c, ,V = aoo° — A,
V = aoo° — C, c' = 2000 — A, la formule (1) devient, par rapport au triangle polaire,
cos a' = cos b' cos c -+- sin V sin c' cos A',
ou 1 mettant à la place de a , b', c', A' leurs valeurs, et observant que cos a es — cos A , cos b' = — cos B , • . . .
— cos A = cos B cos C — sin B sin C cos ay
ou, changeant les signes,
cos A ss — cos B cos C + sin B sin C cos «.
*58 TjyjLtffll^E* SJpfrlgDSS BSCTANGU».
Z>** triangles sphériques rectangles.
122. Observation préliminaire. Quoique dans tin triangle sphérique, on puisse supposer les trois angles A, B, C, droits à la fois ( ce qui aurait lieu si les plans qui déterminent les trois arcs de grand cercle étaient perpendiculaires entre eux ) , il est inutile de considérer les cas ou le triangle renferme deux ou trois angles droits. Car supposons, par exemple , que les
Fîg. 61. deux a,ngles A et B (fig. 61) soient droits; les deux plans AOC, AOB sont perpendiculaires entre eux , et il en est de même des deux plans COB, AOB. Donc les angles rectilignes COA, COB sont droits; c'est-à-dire que les côtés a et b sont chacun de ioo°, ainsi que les angles A et B. D'ailleurs, l'angle G se mesure par l'angle rectiligne AOB ou par le côté sphérique c.
Fig. 6a. Si les trois angles A, B, C {fig. 62) sont droits, les rayons OA, OB, OC sont perpendiculaires entre eux; donc les côtés a,b,c sont chacun de ioo°.
Ainsi , dans l'un et l'autre cas, il n'y a aucune question à résoudre.
Fig. 63. ia3. Considérons donc un triangle sphériqueBAC (fig. 63 ) rectangle en A , dont les deux autres angles soient aigus ou obtus >en niême\emps, ou l'un aigu et l'autre obtus. (On est convenu de désigner ces angles sous le nom Sangles obliques; lé côté a est d'ailleurs appelé V hypoténuse du triangle, )
Pour obtepir les formules relatives à la résolution de ce triangle , nous allons supposer A as ioo° dans celles des i5 formules déjà trouvées, qui renferment cet angle, en ayant soin de faire ressortir les formules qui rentrent les unes dans les autres.
La formule (1) donne. . . . cosa= cosb cos c, • . (1)
(4) • • sin£= sin a sin B, . . (2)
(5) formule analogue. ... sin c = sin a sin C,. . (3)
(7) cota sin bssoosb cos C, ou tang i=tang acos C,. . (4)
(9) formule analogue. .. . tangc = tang a cosB,. . (5)
absolution dm tkumiss sraiRiQjcrBs. i5g
(t 1) cot b sin c = cot B,. . ou tang t= sin c tang B. . , (6)
(12) formule analogue. ... ' tang csasin b tang G,. . (7)
(i3) cos a = cot B cot C, . (8)
(i4) cos B =sin C cos 6,. . . (g)
(i5) formule analogue. ... cos C= sin B cos c. . . (10)
En tout 10 relations, dont 6 essentiellement différentes.
Ces relations suffisent pour la résolution de tous les cas qui peuvent se présenter, puisqu'elles renferment toutes les combinaisons possibles des cinq quantités a, 6 , c , B, C, 3 à 3 (le nombre de ces combinaisons est , comme Ton sait, exprimé par
5X-X ~ ou 10).
io4* Remarque. La formule (0 relative au triangle spbcrique rectangle , s'énonce ainsi : le cosinus de V hypoténuse est égal au produit des cosinus des deux côtés de V angle droit j elle correspond à la relation aa = 6*+ca du triangle rectilîgne.
La formule (2) veut dire que le sinus de l'un des côtés de V angle droit est égal au sinus de l'hypoténuse multiplié par le sinus de V angle oblique opposé à ce côté ; ou bien encore , que le rayon des tables est au sinus de l'un des angles obliques * comme le sinus de V hypoténuse est au sinus du côté opposé à cet angle oblique. Elle correspond a la relation b = a sin B, du triangle rectilîgne.
On énoncerait d'une manière analogue les formules (4) et (6), qui ont pour correspondantes les relations c = a cos B, et b = c tang B du triangle rectilîgne.
Les formules suivantes (8), (9) et (10) n'en ont point de semblables dans la Trigonométrie rectilîgne.
ia5. Résolution des triangles quelconques. La question générale du n9 1 1 7 se subdivise en six cas principaux , comme on peut s'en convaincre.
En effet , on peut se donner
t°.,Les trois côtés a, b, c; et l'on demande A , B, C;
t6o ftisoumoK
2°. Deux notés a, b, F angle opposé à Vun d'eux j A ; et il s'agit de trouver c, B, C;
3°. Deux côtés a., b., V angle compris C ; et Ton demande c,A,B;
4°. Un côté &j les deux angles adjacens B , C j il faut obtenir À, ô, À;
5°. £fc céV^ a., un angle adjacent B+ l'angle opposé A; oq demande b, c, G;
6°. Enfin, les trois angles A,B, C; il s'agit de trouver les trois côtés a9 b, c."
126. A la vérité/ la résolution dfes. trois detf nions cas se ramène à celle des trois premiers , au moyen de la propriété du triangle supplémentaire; carJorsqu'en donne, par exemple , le côté a 4t le» angles adjacens B, C du trôaagle ABC* on donne par cela même les parties A' «= 200? t** a, V fc 200° «*•* B, c' = 2000 — C , c'est-à-dire deux côtés et l'angle compris Ai triangle supplémentaire A'CCj et après avoir trouvé , d'après les formules -relatives au troisième cas, les valeurs {tes parties inconnues a'^Bt*, C, de ee même triangle , ou eu déduit ensuite les parties A = 2000 — <i\ b « *oo° — B', c ^=200° ■— C', du premier triangle ABC. . < •
De même, si l'on donne les angles A, B, C du triangle' ABC, on donne, par cela seul, les côtés a', 6', c'-du triangle polaire; $t après avoir résolu ce dernier triangle d'après les formule* du premier cas, on déduit des valeurs de A', B'j C7cdttes<de*à, bt o9 puisque l'on a a = 2000 — A', b = 2000 — B'/c :^J 200° — C Ceci nous conduit à une remarque importante, c'est qu'un triangle spbérique est tout aussi bien déterminé par ses trois angles que par ses trois côtés; ce qui n'a pas lieu pour les triangles rectilignes, dans lesquels le cas où l'on dqnne les trois angles est tout-à-fait indéterminé.
127. Nous*n examinerons pas en détail chacun des cas pré-* eédemment énoncés, et nous nous bornerons à cette observation que , pour trouver les- valeurs dés trois choses inconnues au moyen des trois choses données, il faut avoir recours à celles
MU TRUMUtS SPHÊftlQUKS. . l6l
des i5 formules qui renferment les trois données à la /bis et l'une des parties inconnues séparément*
Ainsi , dam le 3* cas, par exemple» où l'on donne a, h et C, pour obtenir successivement c, A, B, on prend leefors&ulcs (3). (7) et (8). '
La formule (3) donne immédiatement la valeur de coe of
oosc = cosa cosi + sina sini cos C;
ijlj u j t x »a cotasini — cos&cosC on déduit de (n) cot À = . ~ ;
. i Ii i. i /ov *» cotisina — cosacosC
et de la formule (8), oot B = t-tt •
x ' nnG
Aucun de ces trois résultats n'est calculable par logarithmes; ainsi il faudrait, dans les applications , leur faire subir des modifications. Noua donnerons (n° i3o) un exemple de ces sortes de transformations*
Nous ajouterons que, lorsqu'une des parties inconnues est obtenue par le moyen de son sinus j il y a lieu d'examiner de quelle nature est cette partie inconnue, puisqu'on sait qu'à un même sinus correspondent deux angles différens. Ceat ce qui constitue dans la Trigonométrie sphérique les cas douteux, dont l'examen ne laisse pas d'offrir quelques difficultés. 11 n'y a pas d'ambiguïté , toutes les fois que la partie inconnue est déterminée par son cosinus 9 sa tangente ou sa cotangente; le signe dont la râleur de l'une de ces lignes est affectée fait connaître la natnre de l'angle. ,
128. Résolution des triangles rectangles. La question générale, relative aux triangles sphériques rectangles, a pour objet : diux quelconques des cinq choses*, b, c, B, G étant données , de déterminer les tbois autres; et elle se subdivise également eu six cas différens, savoir :
Etant donnés, i°. l'hypoténuse et un côté ; 2°. les deux côtés; 3°. V hypoténuse et un angle oblique ; 4°. un côté et l'angle oblique opposé; 5°. un côté étrangle oblique adjacent; 6°. le^s deux onglet obliques * déterminer les autres parties.
r6a applications.
Pour résoudre chacun de ces cas , il faut prendre successivement, parmi les dix formules relatives au triangle rectangle, celles qui renferment les deux choses données et l'une des parties inconnues.
Ces formules sont toutes immédiatement calculables par logarithmes; mais il se présente, comme pour les triangles quelconques, un assez grand nombre de cas douteux * puisque quelques-unes «Ventre elles font connaître les côtés ou les angles par leurs sinus,
1 29. Scjioioe générai,. En réfléchissant sur ce qui précède, on voit que- toute la Trigonométrie sphérique repose sur un seul principe ; c'est la proposition du n° 1 1 8. Les conséquences que l'on en déduit formant autant de nouveaux principes dont plu- , sieurs poliraient être démontrés directement par la Géométrie; mais la marche que nous avons suivie nous a semblé préférable, en ce qu'elle nous a permis de resserrer dans un cadre très étroit tout ce q»Hl y avait d'essentiel à connaître sur cette partie des Mathématiques. •
IN ona renvoyons, pour de plus amples détails, aux Trigonométms ÀtLegendre et de Cagnoli ; ce dernier ouvrage doit être regardé comme un ouvrage complet sur les deux Trigonomé* tries rectili&ne et sphérique.
Nous terminerons par une application assez importante , qui nous fournira l'occasion de montrer comment On peut rendre quelques-unes des formules précédentes calculables par logarithmes.
Fi g. G4« t3or Réduire un angle à Fhoriion. D'un point O (fig. 64) situé clans l'espace, on a dirigé des rayons visuels vers deux ob- , jets Q, R; et l'on a mesuré l'angle QOR que forment entre eux ces rayons visuels. On a mesuré également les angles QOP, ROP que forment ces mêmes rayons visuels avec la verticale OP abaissée du point O sur l'horizon. Cela posé , si l'on abaisse des points Q >et R les verticales QQ^, RR', et qu'on tire les droites PQ', PR' qui, enfermes de Géométrie descriptive, sont appelées les projections des rayons visuels OQ; OR, on demande ta
A PPLTCAT IONS. 1 6}
grandeur de fwigU Q'Pil', gui n'est autre chose que la projection lioriwoniale de l'angle QOR.
(Foyez j your la solution géométrique de cette question, h Traité de Géométrie descriptive de Monge , n° 22 , 9* question.)
Solution trigonomètrique. Regardons le point O comme le centre d'une sphère dont les intersections avec ter plans QOR, QOP, ROP soient les arcs AB, AC, BC. On forme ainsi un triangle spliérique ABC, dans lequel on connaît les trois càU^ AB = c , A.C =? b , BC = a , puisqu'ils mesurent respectivement les trois angles qu'on suppose connus ; et il s'agit de déi terminer l'angle C de ce triangle ; car cet angle n'est autre N chose que celui des deux plans QOP, ROP, lequel se mesure par
l'angle cherché CXPR*.
Or, la formule (3) du n* 118 donne
„ ^ cote— coji<fceos4 •'■ *-
C0SC=C0SP = ; >i."i
sin a sm b
ce résultat fait connaître P en fonction de c, a, b, c'est-à-dire en fonction de l'angle des deux rayons visuels et de ceux que forment ces rayons avec la verticale; mais il n'est pas calculable par logarithmes.
Pour remplir cette condition, nous emploierons un procédé semblable a celui du n° 102 ; ajoutons l'unité aux deux membres de cette égalité ; il vient
+ •I« smasini -J-'cosc — coaacosi COSP, OU 2COS* - P = : r— — , 2 sin a sin 6
ou , a cause de 4a formule cos (a 4- b) = cos a cos b -— sîn a siu b,
. 1 « cos c — cos (a + 4)
2cos*- P = : : — -;
2 sin a &111 0
, 1 /oosc — cos(a4-£)
d ou cos - P = 1/ : ^-r
2 V 2 sin a stn b
Posons a + b=p, c = q\ il en résulte
l64 APPLICATIONS.
' cosc — cos(a4" A) =*=O06Çf — cospj mais oh a trouvé (n° 7$
cosç — cosp =s asin - (p + 7) ain - ( p — q) ;
donc cosc — C08(a + i)=a»în -(a + 6+c) sin-(a+& — 0>
et par comébtie&t, cos - P= \ /S1P f ^ ^ sm ! ^ £**
On aurait pu trouver également P par le sinus de sa moitié, et Ton serait parvenu à la formule
• ln /sin£(6+c — a)8ui£(a + c— b)
2 V unasno
sin
résultat tout aussi simple k calculer par logarithmes.
