CHAPITRE II

Des Points y de la Ligne droite et du Cercle.

i3i. Àrois avoir développé les moyens de faire entrer dans les calculs, soit algébriques, soit numériques, les angles aussi bien que les lignes , nous pourrions continuer l'application des méthodes établies dans le premier chapitre, à de nouvelles questions de Géométrie; mais, outre que ces méthodes ne sont pas assez générales, elles n'offriraient plus aucun intérêt, parce que nous en avons fait connaître les principales difficultés. Nous allons donc passer immédiatement à l'exposition de la méthode générale-connue sous le nom d'ÀNALTss de Dzscjlrtss, f illustre philosophe qui en a donné la première idée; de cette méthodfe qui consiste à exprimer j par des équations, la position respective des points et des lignes droites ou courbes faisant partie de la figure d'une question proposée, puis à combiner ces équations de manière à remplir le but indiqué par l'énonce de la question.

A. proprement parler, c'est le développement des principes de cette méthode qui constitue la Géométrie analytique telle qu'on l'envisage maintenant Elle se divise en deux parties distinctes. Géométrie analytique à deux dimensions, et Géométrie

l66 ÉQUATIONS DU POINT.

analytique à trois dimensions j suivant que les objets que Foi* edmiit-re son! situés sbr un même plan ou d'une manière quelconque dans l'espace. '

Dans ce chapitre, *il ne sera question que de points , de lignes droites Ou de cercles sitaés sur un même plan.

§ Ier. PRINCIPES GÉNÉRAUX.

Manière de fixer la position dun point sur un plan.

1 32. Pour peu qu'on réfléchisse sur la nature des problèmes de Géométrie, on volt que la plupart reviennent , en dernière analyse, à trouver la distance d'un ou de plusieurs points inconnus à d'autres points ou à des droites fixes et déjà déterminées de position. Si donc Ton avait un moyen de fixer anajyliquewptf la portion d'un poinjt par rapport k des point* ou à lies lignes connues de position, on serait en état de résoudre joute espèce de question* géométriques.

fig. G5. *33. Soient deux droites rectangulaires AXt A Y (Jig. 65) fixes et données de position sur un plan , JVI un point quelconque dont il s'agit de déterminer la position sur ce plan.

Si de ce point, on abaisse les perpendiculaires MP, MQ, il est visible* que le point M sera fixé, dès que l'on connaîtra Je* longueurs des deux côtés cont^gms AP, AQ du rectangle APMQ. Car ces côtés sont les distances du point M aux deux Jigne? ùz& AX et AY> donc, si l'on mène respectivement à ces distances, deux parallèles PM et QM aux lignes AX et AT, le point d'intersection de ces deux parallèles sera le point demandé.

Oa est convenu de^douner le nom d'osés aux deux lignes fixes AX et AY. •

La distance Al* ou QM du pornt M à l'axe AT , s'appelle Yabêcisse de ce point , et se désigne algébriquement par x\

BQUATAOMS WJ BOUiT. 167

La distance AQ ou PM du même point M à Taxe AX, est dite l'ordonnée de ee point , et s'exprime par jr» ...

Ces deux distances portent conjointement le nain de coor* données du point. •

Les deux axes se distinguent l'un de l'autre par les dénominations d%axe des abscisses ou des a?, donnée à la ligne AX sur laquelle se comptent les abscisses , et d'osé des ordonnées ou des y, donnée à la ligne A Y sur laquelle se comptent les ordonnées.

Enfin , le point A est ce qu'on appelle, V origine des çooixlonr nies, parce que c'est à partir de ce point que se comptent ces distances.

i34* Équations d'un point. Le caractère de tout point considéré sur l'axe des y} est x =o , puisque cette équation exprime que la distance du point à cet axe est nulle.

De même, le caractère de tout point placé sur l'axe des x est ^ = 0.'

Donc le système des deux équations x=o, ^=0, caractérise l'origine A des coordonnées , car elles n'ont lieu en même temps que pour ce point.

En général, les deux équations xxaa/^si, considérées simultanément , caractérisent un point situé à une distance a de l'axe des yetk une distance b de l'axe des x. En effet 9 la première appartient à tons lot points d'âne parallèle à AY, menée à une distance AP = a; la seconde, à tous les points d'une parallèle a AX, menée à une distance AQ = t. Donc le système des deux équations appartient au point d'intersection M , et n'appartient qu'à lui. Elles en sont, pour ainsi dire, la représentation analytique.

On les nomme, pour cette raison, les équations du point*

i35. Remarque* On doit toutefois considérer, dans les expressions a et b, non-4enlement les taleurs absolues on numériques des distances du point aux deux axes, mais encore les signes dont elles peuvent être aflectées, en égard à la position du point dans le plan des axes AX et AY«. Car, d'après le

lÇ6 iQVJLTiOH* Wt IKUtfT.

principe établi (n* a6) , si Fott convient de regarder comme positive* les distances telles que A F, comptées sur AX à la droite du Fig. <fc>. point A (fig* 65), on doit regarder comme négatives les distances telles que AP'* comptées* lagauchedeee même point. De mé^ne^ir l'on regarde* êoiaine positive* lèâ distances AQ comp- > . fées au-dessus du point A sur AT, on doit regarder comme négatives lès distances comptées au-dessous de ce même point

A la stérile , le principe que nota veoons ée rappeler a été établi pour les distances de points situés de côté et d'autre sur une même droite, par rapport à nu point fixe ; mais ii a lieu également pour des distances de points à des droites fiées. Il suffirait, pour s'en convaincre , de prendre une nouvelle origine et de nouveaux axes parallèles aux premiers, et par rapport auxquels tous les points considérés lussent situés du même côté.

' Nous avons eu d'ailleurs occasion d'envisager le principe sous ce point de vue, dans la détermination des valeurs cor* relatives des lignes trlgonométriques.

D'après cela, si nous mettons en évidence les signes dont a et b peuveotétre affectés, iM>usattiNHis les ^ua/^systèmesd'équaiiou»

je as + a, x = — af x = «4- <*, jc = — «,

j^ « + *t y = +■ *> «ytt^'i» y = — *,

pour caractériser les quatre positions essentiellement différentes du point, savoir , M, M', M*, M*.

On trouvera, en vertu de cette remarque,

i°. Que le point dont les équations sont xi=+i, y=^-37 Fig. G6. est situé dans l'angle Y'AX (fig* 66) à une distance AP= i de l'axe des y9 et à une distance PM = 3 de l'axe des x.

»*• Que le point exprimé par x=o, y =—2, est (u° i34) **'6- Sj. gitaé sur l'axe AT à une distance AM'= a {fig. 67).

3*. Que le point a: = — - 1, ^ = 0, est situé sur l'axe AX vers la gauche de A> à une distance AM 8s 1.

i36. Nous avens supposé jusqu'à présent que les axes fussent perpendiculaires entre eux, parce que c'est la position la plus simple, et que cela est d'usage. Cependant il y a des

EQUATIONS DU POINT. 169

questions dont la résolution exige que l'on considère des axes faisant entre eus nn angle quelconque.

Dans ce cas , les coordonnées ne sont pins des perpendiculaires abaissées sur les axis, nais bien des parallèles à œs axer, c'est-à-dire que les distantes AP ou Qftf , AQ ou FM, se comptent parallèlement aux axes, AT, AX (Jfc. 68% Fîg 68.

Du reste, tout ce qui a été dit dans l'hypothèse où les axes sont rectangulaires* s'applique également au da* eu ils sont obliques*

187. Pour compléter la théorie du point , proposons-nous de recJiercker (dans le cas d'axes ^rectangulaires) F expression analytique de la distance entre deux points donnés sur un plan. Cette question est d'un usage continuel dans la Géométrie analytique.

Soient x'9 y les coordonnées d'un premier point M; x*f y*, les coordonnées d'un second point M', en sorte que l'on ait

ra « C=a .

pour les équations de cas points qu^on suppose connus de position. . , .

Il s'agit d'exprimer la distance MM' (Jig 6g) , que nous ap- yiB- e0- .pellerons D, en fonction des coordonnées x' , y* 9x',y0.

Pour cela , menons les ordonnées MP, M'P' de ces deux points, et tirons M'A parallèle à AX»

Le triangle rectangle MRM' donne MA? » MR + ftpR*

mais MRa=MP — RPc=î/— /, M'RssPF^x' — x'-y

donc MM* ou D»=(y— /)»+ (a/ x")\

et par conséquent, D = V (/ — y" )• ■+■ {xf — x*y. j

Cette formule est générale, et convient même au cas où les deux points sont situés en sens contraire J par rapport à l'uu des axes. Il suffit d'y introduire les changemens de signe qui correspondent aux changemens de position.

Aiusi, par exemple, pour obtenir la distance de deux points

î^p 4quatiok

dont l'un M, est placé dans l'angle YAX et dont l'antre M' est Fig. 70. placé dans l'angle YAX' (Jig. 70), il faut changer le signe de x*, ce qui donne

D= l/(y-/)ù-h(^^xT5 et , en effet , la nouvelle figure donne MM' = MR + M' Il ; mais MR = y — /, M'Rs= AP-f AF^x' + a;';

donc d = |/(y —y)* + (*' + *")*•

Si l'un des points donnés, M' par exemple, est l'origine des coordonnées, comme on a alors. :c*= o et ytt = o, la formule devient

En effet, le triangle AMP (jjjj. 70) donne sur-le-champ, AM = MP + AP?

i38. Lorsque tes axes sont obliques, la formule est diffé- Fig. 71. rente. En effet, le triangle MM'R {fig. 71), est obliquangle et donne, en vertu de la formule trigonométrique n° 92,

MM' = MR + Mil — aMR X 1T R.coe MRMr;

on a toujours MR ses y —y , M'R = af — x" ;

d'ailleurs, cos MRJVT = — cos MRK =1 — cos /S {fi désignant l'angle MRK qui n'est autre chose que celui des deux axes) ;

donc d*= (/->o*+(^-^w/+a(y-yK^-^«l,)-co^

d'où D = /(y'— //+ {pt—xmy+*{y— y")&— **) . cos*.

Ce résultat, beaucoup plus compliqué que le précédent, fait sentir la nécessité de supposer les axes rectangulaires, lorsqu'on doit faire entrer dans les calculs la distance entre deux points donnés^ et que le choix des axes est arbitraire.

M h A IJGJtB »AO*TC 1^1

Manière de fixer analytiquement la position dune

droite*

139, Soit une droite LBL' indéfinie et située à rolonté dans vn plan. Prenons dans ce plan deux axes rectangulaire» ou obliques AX, AT {fi g. 72 et j3), par rapport auxquels la Fîg. 7* droite soit placée d'un? manière quelconque. '

Menons d'ailleurs de diftprens points M, Si' , M*. . . pris sur cette droite, les ordonnées MP, M'P', M"P". - . , et par le point 8 où la droite rencontra l'axe des jr, tirons BH parallèle à AX.

Cela posé, les triangles semblables BQM, BQ'IW', BQ"M\ . . donnent la suite de rapports égaux

BQ — BQ' ~ BQ" ' ' - "

.. MP — AB M'F— ÀB MV-AB ou bien. =-^— . = — ; = — ^ . :

' AP AP AP* f

ce qui prouve que la différence entre l'ordonnés d'un point quelconque de la droite et celle qui passe par l'origine A est à l'abscisse du même points dans un rapport constant.

Désignons donc par x et y les coordonnées d'un point pris au hasard sur la droite, par b }a distance AB (que Pon appelle V ordonnée à F origine) , et par a le rapport constant dout noua Tenons de parler. Nous aurons la relation

■ =fli d'où y = nx-h^t* •• 0)

laquelle sera satisfaite pour tous les pointa de la droite L'BL, à l'exclusion de tout autre point. Car soit N (fig-*}?) un point pris au-dessus ou au-dessous de cette droite , comme l'ordonnée NP de oe point est plus grande ou plus petite que l'ordonnée MP correspondante à la même abscisse, et que, par hypothèse, on a pour le poin( M9. • • • MPsa . AP + b, il s'ensuit que MP est plus grand ou plus petit que a . AP -f- 6; ainsi l'on a , pour

les coordonnées de ce point, y *^.ax-{-b*

ijfc ÉQUATION

On voit donc que la relation (1) caractérise tous les points de la droite 9 et qu'elle en est, pour ainsi dire, la représentation analytique, en ce sens, que si, au moyen de cette équation, l'on veut retrouver les différens points de la droite , il suffit de donner à x une série de valeurs que Ton porte de A en P, F, P*. . . . j menant ensuite par les points P, P% P% . . . des parallèles à AT, et prenant sur ces parallèles des parties PM, P/M'> PfM*. . . . égales aux valeurs de y correspondantes et tirées de l'équation (1), on aura M, M7, M". . . . pour autant de points de la droite.

On appelle, pour cette raison , la relation (1) V équation de m la droite L'BL.

Les quantités x et y qui expriment les coordonnées des différées points de la droite, sont des variables; et les quantités a et j6 qui, pour la même droite, ne changent pas, sont appelées les constantes de cette équation.

i4o. Le rapport a est susceptible de deux acceptions différentes , suivant que les axes sont rectangulaires ou obliques.

t*. Si les axes sont rectangulaires, le triangle rectangle MBQ Fig. ;*. U%% 72) donne (Trigonométrie! n° $7 ) ,

MQ tangMBQ

ÏQ °U °~ r ";

appelons a l'angle MBQ égal a LCX , et supposons , pour plus de simplicité, le rayon des tables égal à 1 ; il en résulte

a = tang a ;

ainsi, le rapport constant est égal à la tangente trigonomé trique de V angle que forme la droite avec l'axe des x.

a9. Lorsque les angles sont obliques, on a, d'après le principe Fig. 73. (n° 90 *&ti£ au* triangles obliqnangle* ifig. -j3 ) »

MQ sinMBQ sinMBQ -

ÏQ W *=sTn^*sTnTÏÏY'

ou bien , désignant par 0 l'angle YAX<> d'où LBY s S — «,

DK LA LI6K* èltOlTK. Mji