ÉQUATION
au-dessous de l'origine > b est négatif, et l'équation devient
y=+ak*—b pour toutes les droites telles que L'B'L , et y = — as *— b pour toutes les droites telles que I/B'L" .
i44« Examinons* comme cas particuliers, ce«x ou b droite devient parallèle à ehacun des deux axes.
i°. Lorsque la droite est parallèle a l'axe des * , on a évidemment tang«ou *=oj d'ailleurs 9b est position négatif*, ainsi
Péquatkm se réduit k
résultat qui s'accorde avec ce qui a été dit n° i34*
a°. Si la droite est parallèle à l'axe des y > tang « dort être infini et de la forme oo. Il en est de même $e b, qui , exprimant la distance de l'origine au point ou la droite rencontre l'axe des y, devient nécessairement plus grand qu'aucune quantité donnée, dan s le cas dont il s'agit
Ces deux conditions, introduites dans jsasjf + i,
qu'on peut mettre sous la forme *= -y ,
oo la réduisent à * = — — .
CD
Pour interpréter ce résultat, remarquons qu'afin d'obtenir la droite dans toutes les situations possibles, par rapport au axes, taras avons supposé (n° i43) que la droite tourne autour du point B regardé comme fixe* Dans cette hypothèse? b *a une valeur finie et déterminée, et il est impossible d'en déduire le cas ou la droite devient parallèle à AT.
(On trouve seulement , dans la supposition de q =c oo , * =s= o ou l'équation de Taxe des y^
Si Ton veut obtenir le cas particulier en question,, il fout changer le centre de mouvement de la droite, et prendre , par exemple, le point C,où la droite rencontre l'axe des x. Or, si l'on désigne par c la distance AC, on a évidemment ( n° 87 )
DX LA LIONB DBOITX. I79
-r-j7 = tang «, ou - = a ; d'où c= -; et l'équation devient
Supposons maintenant que la droite tournant autour du point C , devienne parallèle à AT; tang « on a devient infini,, et c ne change pat.
Donc l'équation se réduit à *rr-~-i, équation qui exprime en effet (n° i34) une parallèle a l'axe des y.
Le signe de — c dépend de la position du point C par rapport à l'origine A ; le point peut être en G ou C.
L'expression de<?» ou. -* , offre funseple d?tme fraction qui
reste oonstante, bien que ses deux termes deviennent infinis .
t?cst ainsi qu'une fraction r * qui ae réduit a *-, lorsqu'on sep»
pose at=o, 0 = 0, acquiert dans certains cas (n° 79) une valeur finie et déterminée.
i45. Nous observerons en passant que la relation a es -,
introduite dans l'équation y=zax + b, la ramène à la forme
^=-j: + 69 d'où cy — bx sa 6c, équation qui renferme
comme contaottstf* les distances de l'origine À aux points ou la droite rppcuuftre les axe».
.. fayMeeut xsae, on trouve / = &; ce senties coor- -données du point B, ou la droite rencontre Paxe des y.
.Sbtteucore y=»o, on obtient. s?«sa — c; ce sont lés coordonnées du point C, dn-la même droite rencontré l'aie des x.
Il 7 « quelquefois de davantage k employer Téquation de la droite sous cette forme, à cause de l'nomogénéité de ses termes. Elle convient même aux cas 00 les axes sont obliqua; car le triangle BAC donne {fig. 73) ' Fig. 7*.
sinBCA AB b
sin CBA AC c
1 98 QUESTIONS ihàuimxkiMKs
ifô. Il résulte de la discussion précédente , que l'équation y = ax + b comprend implicitement les équations de )a> droite considérée dans toutes les situations qu'elle peut avoir par rapport aux axes. Il suffit d'y substituer pour a et b les valeurs correspondantes à ces diverses situations.
Questions préliminaires relatives à la ligne droite*
147. Toutes les fois que la position d'une droite sera donnée par celle du point B où la droite rencontre Vase des y, et par l'angle qu'elle forme avec l'axe des x , les constantes a et b auront une valeur déterminée. Mais on peut imposer à une droite d'autres conditions , telles, par exemple, que celles de passer par deux points pris à volonté sur un plan; de passer par un point donné, et d'être parallèle ou perpendiculaire à une droite déjà connue de position j de passer par un point , et dé faire avec une autre droite un angle donné, etc.
Dans ces différons cas, a et b doivent être regardées comme des constantes indéterminées, dont les valeurs dépendent des conditions imposées à la droite.
La recherche de ces valeurs donne lieu à une série de questions qui servent de hase à la Géométrie analytique, et que nous allons développer successivement.
148. Première question. Trouver V équation d'une, droite assujettie à passer par deux points donnés sur un plan.
( Dans cette question , les axes peuvent être indifféremment rectangulaires ou obliques.) '?• 69 Soient M et M' (fîg. 69 et 71) deux pointa filés- sur un plan ' * par leurs coordonnées *', yf et x"> y**
L'équation cherchée sera de la forme y = ax + b;. . . (1)
a et & étant deux constantes (inconnues pour le moment) qu'il s'agit d'exprimer en fonction de x\ y', x"f y", qui sont supposées connues.
Or, puisque chacun des deux points M et M' se trouve sur la droite , leurs coordonnées mises à la place de x et y dans
l'équation (i), doivent la vérifier. Ainsi, l'on doit avoir les deux relations { £~ « + £ • • • g
Comme ces équations ne contiennent a et b qu'an premier degré, on en tire facilement les valeurs de ces inconnues.
D'abord , si Ton soustrait (3) de (2) , il vient
X ■— JT
R>rtant cette valeur dans l'équation (2), on trouve
et substituant ces valeurs de a et b dans l'équation (1), on obtient enfin
pour l'équation demandée.
.^tt/re méthode. Retranchons d'abord l'équation (2) de l'équation (1); il vient jr-~y' = a (* — *'), équation qui contient encore l'inconnue a; mais, en soustrayant (3) de (2) , on obtient
/-y-asa^-iOi d'où ««^E^-
Portant cette râleur de a dans l'équation précédente , on a
J--/Ba£=$(»-0,... (5)
équation qui, ne renfermant plus que les variables nécessaires «y ^, et les données J, y\ x', y* y convient encore à la droite cherchée.
L'identité des équations (4) et (5) peut être établie facilement* En effet 1 on tire de l'équation (5) ,
i8q questions pr£uminaiius
on réduisant ,
La seconde méthode ,' qui est sans contredit pi a» simple et plus élégante que la première, donne lieu à un résultat dont l'emploi dans les calculs est, en général , plus commode.
Toutefois, l'équation (4) a l'avantage de laisser en évidence la quantité b , ou V ordonnée à Vorigine.
i49* Remarque. L'équation y — y '= a {x — x') , qu'on a d'abord trouvée en employant la seconde méthode , joue un grand rôle dans la Géométrie analytique. Elle offre un caractère particulier ; c'est de représenter toutes les droites qui passent par le point particulier («', y').
En effet, on y est parvenu par la combinaison de l'équation
générale y = ax -f- &,
avec la relation particulière y= axf + b}
qui exprime que le point (*',y) se trouve sur la droite.
D'ailleurs, si l'on y fait a la fois y=y', x = x', elle se réduit à 0 = 0; ce qui prouve évidemment que la droite passe par le point (a/, y).
Quant k la quantité a qui subsiste encore dans l'équation, c'est une constante indéterminée dont la valeur dépend d'une seconde condition qui peut être imposée à la droite. Dans la question précédente, cette condition consiste à faire passer la droite par un second point (**, j^), ce qui détermine complètement la position de cette droite; et l'on trouve, en effet,
i5o. Sioondb quistion. Mener par un point donné une droite parallèle à une autre déjà connue de position.
sua la Lions dboitb. 181
Commençons par établir analytiquement la condition de parallélisme des deux droites.
. i y-ziax-\-bt î les équations des deux droites
*°uM j y a,x+ h,9 ) BL et DH yç 77) Flg. 7?.
Puisqae ces droites sont parallèles, les angles «' et « qu'elles forment avec l'axe de*x sont égaux*, ainsi l'on a
tang «' = tang « , ou at ' = a.
Cette relation entre les coefficiens de xy des deux équations, est indépendante de l'inclinaison des axes; car de ce que les'angles «'et « sont égaux, on déduit nécessairement
sin«' sin« ,
""•"72 *\ === " — *a \9 ou a = a'
sin()S — «) swC* — «)
La relation a'=a peut encore se démontrer par la figure.
Si l'on désigne par Y et y les ordonnées MP , NP des deux droites DJI et BL correspondantes à une même abscisse A.P ou *, on a, d'après les deux équations ci- dessus, ,
Mais il est évident que, les deux droites étant parallèles,
MP — NP, ou MN = DB, M'F — NT, ou M'N' = DB,
puisque les parties des parallèles comprises entre parallèles sont égales. Donc Y— ^ = &' — b, quantité constante.
Or, pour que cette équation s'accorde avec la précédente, quel que soit x, il faut nécessairement que Pon ait
a' — a = o; d'où a'ssa.
Réciproquement, si l'on a a' = a, ou a'— a=o,
il en résulte Y— y=zb' — b, ou IfNssDB;
donc les lignes. DM et BN sont parallèles.
l8a QUESTION* FiUtt4M(N*IBtS.
La relation a =t= a est donc une condition caractéristique du
parallélisme de deux droites.
i5i. Reprenons maintenant le problème proposé. Soient x\y les ooqrdonnéea du point M, par lequel on tent mener une parallèle DH k une droite donnée BL.
L'équation de cette première droite étant y=zax «+■£,. . (i) celle de la droite cherchée sera de la forme y = a'x •+• b '; . . . (a)
a' et V étant deux constantes qu'il s'agit de déterminer.
Or, la droite DH devant, par hypothèse , passer par le point Wf,
on a l'équation particulière , . . . y=aV-J-£\ . .(3)
Retranchons les équations (2) et (3) Pune del^ autre ; il rient y — y s=s «*(* — *'). • . (Ftyrâs le n* ^49)*
D'ailleurs , à cause du parallélisme des deux droites, on a
a' ss aT
donc enfin , y— y=sa(#— ^
Telle est l'équation de la .droite cherchée; elle ne diffère de l'équation (1) que pair l'ordonnée à l'origine , qui est iciy — ,«V«
i5a. Troisième question. Ztewx droites étant données sur un pîarij on propose "dé déterminer* i°. leur point d* intersection; a°. l'angle qu elles forment entre elles.
v r c^- f.y = a* + £>l les équations des deux droites BL *«g. 7». Soient ^=^+^| etDHC%. 78).
' i°. Pour obtenir .es coordonnées de leur point d'intersection M , et en fixer ainsi la position , il faut Remarquer que j le point se trouvant à la fois sur les deux droites, ses coordonnées 7AP et MP doivent vérifier lès équations de ces droites; elles ne sont donc autre chose que les valeurs de x et de y propres à satisfaire simultanément à ces deux équations. Ainsi /en éliminant * et y entre ces équations , les valeurs que Ton obtiendra seront les coordonnées cherchées:
«Uft .LA Um DAOITE. l83
^Retranchant d'abord U ir • équation de la a% on trouve
o = (a'— a)* + y— 6; d'où * = ^^ .
Portons cette valeur dans la i* équation ; il Tient
*— b' . M— ah'
y=za.:r-~-+b, ou , réduisant , y= „, „ , .
fc y bd — ab' - . ,
Donc. s = , ■» , y = -—7 sont les coordonnées
du point d'intersection M.
Soit , comme cas particulier, a'=a; il en résulte
c est-à-jji re que ces valeurs deviennent infinies ; ce qui doit être , , puisque les deux droites sont alors parallèles (n° i5o).
Si, à la condition a'-ssza, on ajoute la suivante &'=£, on trouve
*=-, vas—, valeurs indéterminée*; o' J o' 9
tit, en effet, dans ce cas , les deux droites se confondent, puisque leurs équations deviennent identiques; donc elles se renoon- . trent en une infinité de points.
Les résultats obtenus pour cette première partie du problème proposé sont vrais, quelle que soit l'inclinaison des axes. Mais il n'en est pas de même de la seconde partie.
i53. 2°. Pour déterminer l'angle des deux droites y dans le cas d'axes rectangulaires, angle que nous désignerons par Y, observons que le triangle EMG* donne
MGX=^EMG+MEG ; d ou EMG ou V=MGX— MEG=*'— « ,
(*' et « désignant les angles ,que les deux droites forment avec l'axe des x).
Mais on a obtenu (n° 70) ,
x ° 1 -f- tang a tang b '
184 qpsmcfei* raiuifiNAiftis
donc tang (* — *), ou tang V = — ?-S — *~> "$* . . . (t) ° ' ^ i+ tang et tang*
Gela posé, puisque les axes sont rectangulaires, on a tang*'=a' ,
tang 4 = a; d'où Ton déduit tang V = — ■ ■ 7 .... (a)
i54. Lorsque lesjaxes sont obliques, les valeurs de tang Vf* tang «'ne sont plus représentées par a , a; et il faut les tirer
smtf A , sin*
1 1 .• OIU» e / 9IU4
des relations. •■ /* ^3=* a , ■. -,■ r *
sin (|8— *ry* ' sm(/5 — ce)
Or 9 U seconde relation, revient à 40 * =5 a sin (j3— •*), ou développant sin (£ — a) d'après la formule (n° 61) 9
sin* = a sinjScosflt — a sin* 00&&
Pour mettre tang a en évidence , divisons les deux membres par €os «, et transposons; il vient
, . ^ . * » < flsinjî
tangce(i+acos0)=:asin|3, d'où tang * =s — — — ^ ;
ou obtiendrait de la même manière * tangg'^^â'cosff
Substituons actuellement cet valeurs dans l'équation (i)>
a sin fi a sin /S
' ' ï+</çosj$ i+acos/3
ou a tang Y « , . ;à »
^ gq sin* jg
1 "*" (1 -+-a'cos/3) (1 -+-acosj3)
ou ^réduisant au même dénominateur, simplifiant et observant que sin'jS-f- cos'/S = 1 ,
tan*V=J (a'-jQsing (3)
"** l+aa' + (a+a')co$& W
Supposons d«= ioo°, d'où sîn0 = 1 et cos/3 = o;
la formule se réduit à tang V = — ■ r , comme ci-dessus.
0 1 «f- oa
sub iià tt&HE droit*; ' i85
i55. Considérons le cas particulier où les deux droites sont perpendiculaires entré elles.
Dans ce cas , on doit aToir V = 100% d'oii tang V = 00 ; ce qui donne , lorsque les axes sont rectangulaires,
7 = oo, on —, s= o, par conséquent, i+oa = aj
