ad 7 d

et lorsque les axes sont obliques , 1 + a&' + (<* +*') cps^?» o.

La relation 1 -f- ad = o , que nous aurons souvent occasion de rappeler^ peut être démontrée directement au moyen de la figure.

Puisque le triangle EMG (Jig. 79) est rectangle eu M, les Fig. 70* deux angles MEG, MGE sont complémens l'un de l'autre ; et

l'on a tang MGE = cot MEG = — — ïtett* • • • (v<y«« »° 5o).

Mais tang MGX ou d = — tang MGE ; tang MEG= a \

donc, </=:-! — , ou, bien, oa' + ico.

i56. Quatrième question. D'un point donné hors d'une droite, on propose , i°. d'abaisser une perpendiculaire mut cette droite; 2°. de trouver la longueur de cette perpendiculaire j c'est-à-dire la distance du point donné à la première droite.

(Les axes sont supposés ici rectangulaires.)

Soient BL (fig. 80) la droite donnée, MG la perpendiculaire Fig> 80% à BL , assujettie à passer par le point M , dont nous désignerons les coordonnées par x' et y.

Supposons que l'équation de la droite BL soit

yz=ax + b (1)

Puisque la droite MG passe par le point a/, y, son équation sera (n° i4q) de la forme^ — / = a' (x— af)9 . . . a* étant une constante indéterminée.

Mais les deux droites devant être perpendiculaires l'une à l'autre , on a (n° i55) la relation 1 + ad =s o ; d'où

tl66 QtfSmOMS Fft&UftNAlJtES

Donc l'équation précédente devient-

Telle est l'équation de la perpendiculaire MG 7 «t cette droite est ainsi déterminée de position*

ï5y. Maintenant, il s'agit d'obtenir l'expression de la distance du point M au point H où les deux lignes se rencontrent.

On connaît déjà les coordonnées» x7, y du point M ; si l'on pouvait déterminer celles du point H , il suffirait de substituer ces quatre coordonnées dans l'expression de la distante entre; deux pointa donnés, formule trouvée n° 137 , et l'on, aurait 1a y&Uur de. MH*

Comme le point H est le point d'intersection de BL et MG, il faudrait (n° i5a) éliminer x ety entre les équations (i) et (2)j mais observons que, d'après la formule déjà citée, ce sont inôms les coordonnées des deux points M et H , que leurs diffé ronces, qu'il -est important d'obtenir; ainsi la question est ramenée à éliminer entre (i) et (a) les quantités x — x', y —y** ' considérées comme inconnues ; et les valeurs de ces quantités étant substituées dans l'expression

à la place de x— x*, y —y** donneront la distance demandée* Afin de mettre en évidence ces deux inconnues dans l'équation (i) , comme elles le sont dans l'équation (2) , nous mettrons la première sous la forme

y—y' = a(x — x')—y' + ax' + b,... (3)

ce qui se fait en ajoutant —y' aux deux membres, puis retranchant et ajoutant aa/ dans le second membre.

Cela posé , retranchons l'équation (a) de l'équation (3) ; 3 vient

a+^)(x-^-«0-- y'+axr+b9d'obLX— *=*• p- »

fVR I«t. lAOMJB PB01TE. t8f

ou réduisant. x — a = —*£- — : — .

Cette râleur étant portée dans l'équation (a) , donne

i a{y' — ax'— b) —{y — ax'—b)

Substituons ces valeurs de x — a:' , y — j/ dans celle de D, ek désignons par P la perpendiculaire ; on trouve

*- * (ït+tf : •

Le frcteur (y -~ax' — » i)* peut être mis en évidence soûl le radical, ce qui donne pour lemtmérateur (a*+0 C/ — ^ — *)*• Supprimant le facteur a* + i , commun aux deux termes, puis extrayant la racine carrée de ces deux termes ,

on obtient enfin P ss — v , < - — -

pour la longueur de la distança MH. .

i58. Discussion. Le double signe db dont ce résultat est affecté , a besoin d'être interprété.

En cberchant à traduire géométriquement !a valeur de la quantité y — ax'—J>9 on voit que, y' désirant J'ordon née MP, aie +b exprime aussi l'ordonnée NP de BL, correspondante à l'abscisse x ou AP (car si Ton fait x=xf dans y =ax + b , on a y ou AP = ox'-f- b) , donc^y'— or'— b représente la distance MN. Or 9 cette distance peut être (n* 26) positive ou négative,

c'est-à-dire ^ o , suivant que le point M est placé au-dessus

ou au-dessous de BL, Par exemple , si le point était en M',' on aurait ML'N' «H^- MV = aaf + b — y'.

D'un autre côté , lorsqu'on demande la distance du point M à la droite BL , on est censé en demander la valeur absolue; d'où il suit que, si le point M est placé au-dessus de la droite BL, auquel cas, y — asf — b est > o , on doit avoir

* ,86 QUESTIONS Fft£LlMINAIBES

et si le point M eet placé au-dessous * ce qui entraine la condition y' — ai! — b <o, on aura

VaNM

Chacun de ces deux résultats peut être obtenu par la Géométrie.

En effet , MP, MB étant respectivement perpendiculaires â AP , BL, il s'ensuit que l'on a angl. NMH= angl. BL'X=«. Cela posé, le triangle rectangle NMH donne (n° 88)

MH==MNcos-«M = ^L==MN£± fvV&ë ** &>H

séc« l/i+tangaa

mais MN=MP-*NP=y— ax'>— b, et tang*=taj. donc MH, ou V^Z-=^ÙzÈ

Si le point M était placé au-dessous de BL, o» aurait

MV=fl/+s-y, d'oï v = ^+b-y'-

159. Examinons quelques cas particuliers: Fig. 81. 1°. Supposons (Jig. 81) que le point duquel on yeut abaisser la perpendiculaire soit Porigine des coordonnées. On a, dans ce cas, a/ = o,/=o, et Pexpreasion devient

résultat posto/ ou négatif, suivant que le point B est placé audessus ou au-dessous de l'origine.

F* 8». 2». Supposons que la droite BL {fig. 8a) passe par l'origine. . On a alors 6=0; et l'expression se réduit à

r y ■ T, OU P= SJL

160* N. B. Dans la question précédente , nous avous supposé les axes rectangulaires ; s'ils étaient obliques , il faudrait, pour

la première partie , faire usage de la relation

1 + aa'+ (a + a') cos Ç = o , qui donnerait

SUA fcA UONB DROITE.' tfc)

, (i+cco»Q

a + cosC *

et substituer cette Taleur dans l'équation y — y=a'(x — x/). Quant à la seconde partie, après avoir effectué l'élimination de JP-— j/, y— y' * entre les équations des deux droites, on porterait ces valeurs dans l'expression générale de D (n* i38) ; et l'on trouverait, tout calcul fait,

tt (/ — ax'— V) siflf K a* + aa oos C -f- i

Nous laissons aux commençans le soin d'exécuter ce calcul , qui , quoique asses compliqué , n'offre rien de difficile.

161. Cinquième question. Par un point donné hors d'une droite,, en mener une seconde qui firme avec la première un angle donné (les axes sont supposés rectangulaires)* t

Appelons x', y les coordonnées du point , m la tangente de

l'angle donné. L'équation de la première droite étant y=sax+bt

celle de la secofcde droite sera de la forme y—yf =«' (^ — x') y

et puisque ces droites doivent former un angle dont la tangente

est m, on doit avoir (n* i53)

cl — a , . a — a'

m, ou bien, ■ — ; = m.

i+aa' ' ™~~~7 % j^tf

(I/nne et F autre des deux quantités — : — ?, — ;

sont également propres à exprimer la tangente de l'angle donné.) >

On peut comprendre les deux relations précédentes dans une

o! — a , a dzm

seule, — -. — -7=±m; d'où a = ;

i-f-acr ' izpam'

ce qui donne pour l'équation de la droite cherchée,

J J i q: am v '

La question admet donc deux solutions; et cela est évident, car, de part et d'autre de la perpendiculaire abaissée du point donné sur la droite y = ax + b9 on peut mener deux droites qui fassent avec celle-là l'angle donné.

Soit cet angle égal à ioo°, auquel cas on a m = oo; il en

IpO} iQVATIOK DU CBBCLBi

j. . — db i

résulte, , ou = — »-: '

d'où ^ —y = •— ~ (x — x') > équation obtenue (n° r 96).

Nous ne considérons pas le cas ou les axes sont obliques* parce que les résultats n'en sont pas assez simples.

162. Scholie général. Les différentes questions que nous Tenons de résoudre se reproduiront presqu'à chaque instant dans tout le cours de la Géométrie analytique. Mais , en réfléchissant sur les résultats auxquels on a été conduit par leur résolution , l'on doit sentir la nécessité d'éviter, autant que faire se peut, le système des axes obliques , pour que les calculs soient les plus

simples possibles. 11 faut toutefois en excepter le cas ou l'on

n'a à faire entrer en considération que l'équation d'une droite

"passant par deux points donnés, et la condition de parallélisme

de deux droites , résultats qui sont indépendans de l'inclinaison

des axes.

Manière de fixer analytiquement la position dun

cercle sur un plan.

163. Soit un cercle de rayon quelconque r, dont le centre est enO. Traçons dans son plan deux axes rectangulaires AX,AY

Fig. 83* (fig- 83) , et proposons-nous d'en fixer la position par rapport à ces axes.

Si l'on désigne par p, 9 les coordonnées AB, OB du centre, et par x,y les coordonnées AP, MP d'on point quelconque M de la circonférence , on aura , en tertu de la formule du n* 1 37 ,

(x-py+(y— qy = r*... (1)

Cette relation caractérise tous les points de la circonférence, en ce qu'elle est évidemment satisfaite par les coordonnées de chacun de ses points, et qu'elle ne peut l'être que par elles.

En effet , soit N un point quelconque pris à l'extérieur ou dans

ÉQUATION DU C*RCI,B. igt

l'intérieur de cette circonférence; on a, en désignant toujours par x et y les coordonnées de ce point,

(x — p)% + (y — qY pour le carré de la distance ON; mais il est évident que ON est > ou < OM , suivant que le point est extérieur bu intérieur à la circonférence; d'où il résulte nécessairement (x — pY -f- {y — qY > ou < r*.

Ainsi , l'équation (i) ne saurait être vérifiée pour un point qui ne se trouve pas sur la circonférence.

Cette équation est donc Xiquation du cercle* en ce sens qu'elle fixe complètement la position de chacun des points de la circonférence.

Les constantes qui y entrent sont les coordonnées du centre et le rayon ; et en effet, un cercle est complètement déterminé avec ces données.

164. L'équation est beaucoup plus compliquée , lorsque les axes sont obliques (fig. 84) ; car , d'après la formule du n° i38, j» g< on a (x — pY+(y— qY + *i? — P)(j— 9)cosC=r», (C désignant l'angle des deux axes).

i65. L'équation (i) prend une forme plus ou moins simple , suivant les diverses positions du cercle par rapport aux axes.

i°. L'origine peut être placée en un point A' (fig. 83) delà fjg. 83. circonférence*

Dans ce cas, on a évidemment entre/?,*/ et r, la relation

p' + f^r*mais si l'on développe l'équation (i) , elle devient

x* ~ apx -f- pa + y* — *qy + q* = r*,

ou , supprimant les deux quantités égales , p* -f- q* et r* ,

X* — 2px +y* -* 2f y ss o. . . (2)

Telle est, dans ce cas , la forme de l'équation du cercle.

En effet, si l'on pose y = o , dans cette nouvelle équation ,

il en résulte x* — npx = o , ou x (x — 2/>) s= o; d'où x = p , x = a/> ;

cequi prouve que le point (x = o , y =s o) , ou l'origine, se trouve placé sur. la circonférence.

I92 ÉQUATION DU CBRCLfi.

Remarque. Comme à l'hypothèse y s=: o , correspond encore l'abscisse *=2/>, il s'ensuit que la circonférence coupe Pas e des x en un second point C, tel que A'C est double de A'D ssp ; ce qui démontre que la corde A'C est divisée en deux partie* égales par la perpendiculaire abaissée du centre sur cette corde.

Cette propriété est connue en Géométrie ; mais on voit comment on la met en évidence, à l'aide de l'équation du cercle* \ La démonstration est d'ailleurs générale , puisqu'on peut foire varier à volonté la direction de l'axe AT, pourvu que le second axe A'Y' lui soit mené perpendiculairement.

166. a°. L'origine peut être placée à l'extrémité A* d'un diamètre A"G , qui serait lui-même l'axe des x. Dans celte nouvelle position des axes , on a

pz=zr et q = o ; ainsi , l'équation (1) devient (x — r)% + y* = r* , ou réduisant. y* = zrx — x*... (3)

On déduit encore celle-ci de l'équation (a), en y faisant p=zr et 9 = 0.

On démontre facilement, au moyen de l'équation (3), deux autres propriétés du cercle.

Elle, peut se mettre sous la forme y* =s x (ar— x) ;

mais, d'après la figure, on à

jy=sMR, xr^ATt; d'où ir— x=A"G— A*R=GR;

donc MRft=ATlxGR, ou bien, A'R : MR :: MR : GR;

c'est-à-dire que la perpendiculaire* abaUeée d'un point de la circonférence sur un diamètre, ou V ordonnée à ce diamètre * est moyenne proportionnelle entre les deux segment*

j La même équation revient à y*-f-x*=ar.x; mais si l'on tire la corde ATM, on a évidemment

y + ;r' ou MR + ATJWatF, ar = A*G, x = A'R;

DBS LIEUX GÉOMÉTRIQUES. ig3

don« ATMtsA'GxATt, ou bien, A*G : A^ :: A«M : A'R,

ce qui prouve que la corde menée par l'une des extrémités d'un diamètre est moyenne proportionnelle entre ce diamètre et le segment adjacent formé par la perpendiculaire abaissée de F extrémité de la corde sur ce diamètre.

167. 3°. Enfin, l'origine des coordonnées peut être placée au centre.

Dans ce cas, qui est celui que nous aurons à considérer le plus fréquemment, les coordonnées p et q sont nulles, et l'équation (1) se réduit à

C'est l'équation du cercle rapporté à son centre comme origine. On j parvient directement d'après le triangle rectangle OMR, qui donne

OR + MR = OM* ou x* +y = r\ Si les axes sont obliques, on a pour équation

*■ -t- y" + axy .cos C = r*.

{Voyet le triangle obliquangle OMR, Jig. 840

Des Lieux géométriques.

168. Ayant de passer aux applications des principes précédées, et de montrer comment, à l'aide des équations de la ligne droite et du cercla, on parvient a résoudre tonte espèce dm question relative à ces lignes, nous ferons quelques observations générales sur les équations des lignes et sur l'usage qu'on peut en faire.

Nous avons déjà vu que la position d'une droite ou d'un cercle est fixée sur. un plan par le moyen d'une équation entre les coordonnées * et y de chacun de ses points , et un certain nombre de constantes, dont la connaissance suffit pour déterminer cette position géométriquement:

Supposons actuellement que x et y désignant toujours les

ig4 »u ueux

distances d'un .point à deux axes rectangulaires ou obliques, la résolution d'une question ait conduit à une équation de la forme F(*, y) =3 o. ("Le caractère F veut dire fonction de.}

Je dis que, si l'on veut fixer W position du point qui satisfit à l'énoncé de la question , ou dont les coordonnées vérifient l'équation > on en obtiendra une infinité ; et la aérie de ces points formera une ligne droite ou courbe \, suivant la nature de l'équation.

En effet, puisque l'on n'a qu'une seule équation entre x et y, on peut disposer arbitrairement de l'une d'elles ( ces quantités sont, pour cette raison , appelées variables), et l'équation donnera les valeurs correspondantes de l'autre variable.

Donnons , par exemple, à l'abscisse x la suite de valeurs

a, a', a" 9 a*, alv, av

Si l'équation n'est que du premier degré en y% on en déduira successivement pour les valeurs correspondantes de cette variable,

y=zb, b',b',V, b",b*

Fig. 85* £11 portant sur AX (fig. 85) les valeurs de x , et élevant par les points P, F, P% P** . . . dés perpendiculaires, ou plutôt, des parallèles à AT, égales aux valeurs dé y, on aura différens

points M , M', M", M* , qui satisferont également à ia

question.

Comme rien n'empêcbe de donner à x des valeurs extrême* ment peu différentes les unes des autres, et qu'alors les Valeurs de y seront elles-mêmes, en général, très peu différentes le* lûtes des autres, on doit en conclure que les points M, M', M ** . . . seront très voisins ; et l'on pourra ensuite lier ces points entre eux par une ligne continue MM'M*M*, ... . dont tous les points seront autant de solutions de la question , paitâe que les points intermédiaires sont censés correspondre aux valeurs de *, y tirées de l'équation du problème et comprises entre celles qui ont été déjà construites.

Cette courbe sera d'autant plus rigoureusement déterminée, que les points M, M', M*. . . seront plus rapprochés les uns des autres.