Proposons - nous , pour second exemple, l'équation

y* — x* = 4 > de laquelle on tire y = ±: V^**+4-

On voit , premièrement, qu'à une même valeur de x corres-

ig6 91* LIEUX

pondent deux valeurs de y égales et de signes contraires ; secondement, que, quelque valeur positive ou négative que l'on donne à *, on a toujours pour jf des valeurs réelles. Donc, déjà l'on est certain que la courbe s'étend indéfiniment audessus et au-dessous de Taxe des x 9k droite et à gauche de l'axe des y. .

Faisons quelques hypothèses :

Fig. 88. Soit d'abord x=o (fig. 88), on tire de l'équation ,

Prenons sur AT deux distances AB , AG égales à 2 ; les points B et G appartiennent à la courbe.

Soit , en second lieu ,

* = t; d'où y = ±.{/5 = zt.292> à o,i près.

Si l'on prend sur AX, AP= i , qu'on porte sur une parallèle à AY, menée par le point P, deux parties PM , PN égales à 2^, M et N seront deux nouveaux points de la courbe*

Soit encore x = a , ce qui donne

y=s±V8z=zt, ,a,8. . . à o,i près.

En construisant ces valeurs comme les précédentes, on obtiendra les deux points M' et N'.

, Et ainsi de snite , dans le sens positif de l'axe des x.

Actuellement, pour obtenir les points situés à la gauche de AY, remarquons que, puisqu'à des valeurs de x positives ou négatives, mais numériquement les mêmes, correspondent les mêmes valeurs de y , il suffit , après avoir pris des distances Ap, Ap'... égales à AP, AP',... de mener par les points p, //...des parallèles à AT, et par les points M, M', . . . N, N'. ./. des parallèles à AX. Les points m et m', . . . n; n'... seront aussi des points de la courbe, qui sera évidemment composée de deux, branches distinctes et opposées LBL', HCH'.

Ges exemples suffisent pour donner une idée de ces sortes de constructions, sur lesquelles nous reviendrons plus en détail par la suite.

GioifiTHJQITES. I97

1 7 1. La courbe représentée par l'équation F (*, y) = o , est appelée le Heu géométrique de cette équation.

Réciproquement, une courbe étant tracée sur un plan, si, par un moyen quelconque, fondé sur la définition ou sur une propriété caractéristique de cette courbe, on parvient à une équation qui existe entre les coordonnées x et y de tous les points de cette courbe , et n'existe que pour ces points , la relation ainsi obtenue est dite l'équation de la courbé. {Voyez nos i3g, i63.)

Nous terminerons les notions générales sur les lieux géométriques par deux propositions qui seront d'un usage continuel.

172. Phemtbbb proposition. On a tu précédemment que . l'équation générale d'une ligne droite est de la forme

y sa ax + 6. . . . (1), les quantités a et b pouvant passer par tous les états de grandeur. Je dis que, réciproquement, toute équation du premier degré entre deux variables X et y a pour lieu géométrique une ligne droite.

En effet, quelle que soit l'équation proposée, on peut toujours la ramener à la forme y = mx + n . . . (2).

Comparons entre elles les équations (1) et (2)».

i°. Si les axes sont rectangulaires, on peut poser (Jig. 72); pjga 7a,

a ou tang « = m et b s tu

Prenant alors sur À Y une distance AB = n, et menant par le point B une droite qui forme avec AX un angle «, dont m soit la tangente trigonométrique, on aura (n° 140) pour l'équation de cette droite ainsi fixée de position ,

^rz=a:tang«t + i, ou bien, y = mx + n+

Donc, réciproquement , cette dernière équation a pour lieu géométrique une ligne droite.

2°. Si les axes sont obliques, on pose

sin« ,

ûOut — — .=m. et bzazn.

sut [fi — et)

Prenant sur AY (Jig. 73) une partie AB égale à h, et menant par f jBt -3, le point B une droite qui forme ayec AX un angle * tel que l'on

i$8 suutux

sin # sin te-IT"l===m' on aura (n° I4°) P°ur son équation,

sin *

,? =*•*-: — 7^ %+**, ou bien, y = mar+re.

. sin(£-^#) •* '

Donc, réciproquement , etc

Il reste à savoir toutefois si l'angle « peut toujours être dé-

terminé «J'apr^s la relation -: — « — --r =^ m.

sin (|3 — m)

Or, on a reconnu (n° i54) que cette relation donne...

m sin â „

tang « == — g ; et l'on sait qu une tangente peut

passer par tous les états de grandeur ; ainsi l'angle * est toujours susceptible de détermination.

17a. Comme deux points déterminent la position d'une droite, H s'ensuit qu'une équation du premier degré en x et y étant do nuée, il suffira, pour en construire le lieu géométrique , de fixer la position de deux de ses points.

Les plus remarquables sont ceux ou la droite rencontre les ax.es; et, pour les obtenir , on fait successivement, dans l'éq nation , y ss= o , pu U x=o; les valeurs obtenues pour x , dans la première hypothèse , et pour y9 dans la deuxième, représentent, l'une, l'abscisse du point de rencontre avec l'axe des x , l'autre , l'ordonnée du point de rencontre avec Vaxe. des y.

Si l'équation est de la forme y= mx, comme, en, faisant y = o , on obtient x = o , et réciproquement , il s'ensuit que la droite passe par l'origine ; et pour avoir un second point , il suffit de donner a x une valeur particulière , et de construire la valeur correspondante de y,

1 74. Cas particuliers. On propose de construire ay — 3x= 1 (en supposant les axes rectangulaires).

Fig. &). Pour y = o (Jig. 89) , l'on trouve x = — ^ ; et pour

oioirfcriUQtrM. 199

Prenant donc sur AX une distance ÀC=— 5, et sur AT

- une distance ABss- , on obtient CBL pour le lieu gtomitriqw

demandé.

Soit encore k construire l'équation 3y + 5 j? + 4 = ° l%* 90). Fig. 90%

Pour ^=0, l'on à xsb— |; et pour;r=o,. . .^= — ^.

Prenons sur AX, ACf = — t, et sur AT, AB* = — j , on

obtient B'G'L' pour la droite demandée*

On peut avoir besoin de construire la tangente de l'angle *

Or , la première équation donnant j' = - x -f" -> il en résulte

tang*s=~».

D'âpres cela, soit pris sur AT {fig* 6g) la distance AB 2= - .

' Menons par le point B une parallèle BH à l'axe des x ; prenons sur BH , une partie BD = 1 , et élevons une perpendiculaire

DE = - ; nous aurons tang EtJD = - ; ainsi le point Ë appartiendra k la droite CBL* La deuxième équation donne y tss — x et — ^ ^ d'où

tang«er— -.

Après avoir pris sur AT. {fig. 90) une partie AB' = — ^, si

l'on mène S'il' parallèle à AX , qu'on prenne BD'ss 1 , et que

l'on élève une perpendiculaire D'E' = jf on aura nécessairefil 5 ment tang E*ff tf = x \ d'où tang E'BT= — g ; et le point

E' appartiendra à la droite tfB'L'.

Toutes les constructions précédentes s'appliquent au cas ou