SU* UL UOVB DROITE

AB (^.99), pour axe des x, on preiid ponr axe des oidonaées Fi8- 99une droite AT parallèle à CD; oe qui est permis, puisque la droite CD est connue de position.

Dans ce cas, il est évident que l'absous* si du point C devient

égale à AD on -, d'où ç=txx'} et les équations (i) , (a) , (3)

deviennent, savoir:

L'équation de la droite AF. . . y s= ^-7 x,

celle de la droite BE. . . y sis — fW (x— axr)>

et celle de la droite CD. . . x = x' ,

(puisque cette dernière droite est parallèle à AY).

Cela posé, combinons la dernière équation x = xr arec

la première; il en résulte ,X= rf >

en la combinant avec la seconde , on trouve encorey s=s ^- . Ainsi, les coordonnées des points d'intersection de CD, AF, et de CD, BE, sont x = a/, y=i-s=-s-.

Ceci prouve combien le choix des axes peut influer **r la simplicité des calculs, dans la résolution des questions par le secours de la Géométrie analytique.

184. 2°« Déterminer les pointa d? intersection deux à deux des perpendiculaires abaissées des trois eemmets du triangle ABC9 eur les côtés opposés. Démontrer que ces perpendiculaires se coupent en un mime point O.

Ici, les axes doivent être rectangulaires (Jtg. 101), puisque Fîg.iow nous devons faire entrer en considération la relation de perpendicularité de deux droites {voyez n° i55).

Prenons encore pour axe des abscisses la ligne AB , et pour axe des ordonnées la perpendiculaire élevée au sommet A,

21 2 FROBLiKBS

Ea désignant toujours par c la distance AB ou l'abscisse du point B, et par af , y' les coordonnées du point G, on aura d'abord pour l'équation de CD, a? = a/,. • • (i) (puisque cette droite est parallèle à l'axe des y).

Avant de rechercher les équations de ÀF et BE, nous devons commencer par déterminer celles des lignes CB, AC auxquelles elles sont perpendiculaires.

Or , la droite CB passant par les deux points (y' , a/) et (o , c), son équation est (n# ifô), y — y' =» a (x *— af) , a* ayant

pour valeur / , puisque l'on a y = o , x* = c.

Celle de la droite AC passant par l'origine, est y=mx,

m ayant pour Taleur p, puisque le point G se trouve sur

cette droite.

Cela posé , comme AF passe par l'origine, elle a une équation de la forme y = Jx\ et de ce qu'elle est perpendiculaire à CB, on déduit (n° i55)

la relation ad + * = o: d'où a'=— -» s — .

Ainsi l'équation de AF est yj=s 7 — . x. . . (a)

La droite BE étant assujettie à passer par le point B ou (o, c), on a pour son équation, y = m! (x — c) ; mais puisqu'elle est perpendiculaire à AC , on a la relation

mm' + i = o; d'où ni sa — — = — •7.

x* Donc enfin l'équation de BE est y = — tt(x — c)« • • (3)

Maintenant, si l'on combine les équations (i) et (a), on

, (c — a/) a/ trouve pourx = x, ^ = -7-^ — .

Combinant de même les équations (ij et (3), on obtient pour * = x, ^ = — ZTV^— °) = - y^ •

SUR LA LIONS DROITS* ' 2l3

- Donc les coordonnées du point d'intersection des droites CD, AF, sont les mêmes que celles du point d'intersection des droites CD, BEj ainsi ces trois droites se coupent en un même point,

i85. 3°. Déterminer les points d'intersection deux à deux des perpendiculaires élevées par les milieux des côtés d'un triangle ABC (fîg. ioo) j, à ces mêmes côtés. Prouver que ces trois per- Fig.ioo. pendiculaires se coupent en un même point.

Pour plus de simplicité» nous prendrons encore pour axe des x la ligne AB , et pour axe des jr la perpendiculaire élevée au point A.

Soient toujours AB = c , AH =s x' , CH — j/ j on a déjà trouvé (n° i83) pour les coordonnées des points D, E, F,

Cela posé, on a pour équation de DL,. • . x = -t . • . (i) puisque DL est parallèle à AT,

La droite EM passant par le point E, ou K-t —\ sonéqu**

tion est de la forme y — 21 =s a (a? — — Jj

et puisqu'elle doit être perpendiculaire à AC dont l'équation est

y =-21 x, il en résulte a = >.

Ainsi, la droite EM a pour équation , on trouverait de même pour l'équation de FW ,

Combinons entre elles les équations (i) et (a) ; il vient pour

c y • a/*— czf *!*+ V*— ex' r=-f ys=<- + j — = *-j —

21 4 FROBLJDfB SU* LA LIONS DBOITB.

Les équations (i ) et (3) combinées de la même manière, donnent

c .y U — c)x' x'%+y*—caf

pour jzsçb-, y =£--*•* y* — = ■ ■/ ■ i. »

Ainsi , fcs f/ofr droite* se réunissent en un même point.

186. iV.^. Si, dans le résultat qu'on yîent d'obtenir pour y, en

met à la place de x'% -f" y*, sa valeur AC on b* que donne la figure, on trouve pour les coordonnées du, point O commun aux teois droites , lequel s'est antre chose que le centre du cercle

circonscrit^

c b* — ex'

arasa-, y a*= ■ ■■; — * a J ay

Calculons maintenant la distance AO ; on a

ào= */?+7«v/f ^W^^V ^'VW-0^'

ou développant la quantité, sous le radical , et ayant égard k la

relation j/é + /• = £% AO==— r l/6*-f-câ.--acx'.

Or, l'expression V^&8 •+*<**—* acx' n'est autre chose, en vertu

d'un théorème de Géométrie, que la valeur du côté CB ou a.

ab Donc enfin, AO = — >; d'où, en posant AO = r,

«/• ar.y = a.b'9

ce qui prouve que le rectangle de deux côtés d'un triangle est

égal au rectangle compris par le diamètre du cercle circonscrit.

et la perpendiculaire abaissée sur, le troisième côté du sommet

opposé. {Voyez, Legendre, Hv. III , prop. 3a.)

Remarquons encore, que U surface du triangle ABC ayant

cV À.S

pour valeur ABC ou S = —, il en résulte ay = — .

Donc , l'expression de AO ou r devient

abc

r==sW

résultat auquel nous sortîmes déjà parvenus (n° 4^).

frobl&mis sum ui ckbclx. »i9

187. lia construction sur la même figure {fig* 10a) desFlg.11». points de concours relatifs aux trois propositions précédentes, donne lien à une oireeustanee fort curieuse , qui consiste en ce que ces trois points se trouvent placés sur une même ligne droite.

Pour nous en convaincre par l'analyse, observons d'abord qu'en général on reconnaît que trois points (J^,y), (x*> y*) et C*"»y) sont en ligne droite, toutes les Ans que les deux rap-

En effet, ces rapports ne sont autre chose (n° *48) *f& k* coeffictens de x dans les équations des droites qui joignent le premier point au second et le premier an troisième \ et s'ils sont égaux , c'est une preuve que les droite*: sont parallèles (n° 1 5o). D'ailleurs ces droites ontdéjà le point commun (a/, j/) ; donc elles se confondent*

Si l'un des point? [x' } y) est l'origine, des coordonnée* , il

tufRt que l'on $itlL*M» 3^, ou bien, j«V -*- afiy* an o.

Cela posé', admettons que les points O, C, O" correspondfins aux trois propositions soient rapportés aux mêmes axes AX, AT , dont l'un soit la base AB du triangle, l'autre la perpendiculaire élevée au point A ; et afin de conserver les notations employées précédemment pour les points B et C , convenons de désigner les point*0J0/, O'par {xt et ^0, (wtâ etjr,),(x3et^3).

Lu question, est ramenée k calculer ?* *% , ^'Tfli,

a?# 7- x% flP* -^- *s

Or , on a trouva» m* l83, 184 et %Uf

( y c+x'\ f (c — JW A

Do„e, .♦. £^L' * 3 TZZ „yh + ^7»<i.

' fbobl£m£s

Ces deux résultats sont identiques. Ainsi , les trois pou** O , C, O* sont en ligne droite.

Propositions sur le cercle*

188. Rechercher par l'analyse les conditions qui expriment que deux circonférences de cercle se coupent ^ se touchent ou nont aucun point commun, Fig.ioS. ' Soient O) O' {fig. io3) les centres de deux circonférences de cercle, r, / leurs rayons , et OO* = d , la distance des centres.

Prenons pour axe des x la ligne des centres, et pour axe des y la perpendiculaire OT élevée pa» le point O.

Le cercle dont le rayon est r9 étant rapporté à son centre et

à deux axes rectangulaires, on a (n° 167) pour l'équation de ce

cercle,

Celle du second cercle , dont le centre a pour coordonnées p=sd} q = o, est (n° i63)

Gela posé , pour exprimer que les deux circonférences de cercle se coupent , et obtenir leurs points d'intersection , il faut (n° i5a) établir que leurs équations ont lieu en même temps , et éliminer x ,y entre ces équations.

A cet effet , retranchons (2) de (1) ; il Tient

arfx — d*=r* — /•;

d'où l'on tire

Cette valeur portée dans l'équation (1), donne, toute réduction faite, y = ± ^ V&r* — (r* — r"+#)\

SUÉ LE OXBCLK» 21^

Discussion. L'inspection seule de ces valeurs prouve d'abord que, dans l'hypothèse oit la quantité sons le radical de la valeur de y est positive j auquel cas , lès valeurs dex>y, sont réelles et les circonférences ont deux points communs , prouve, dis- je, que les deux points d'intersection ont une même abscisse OP, mais deux ordonnées égales et de signes contraires.

Donc , toutes les fois que deux circonférences se coupent, la ligne des centres est perpendiculaire à la corde commune , et la divise en deux parties égales (Legendre, Ht. II, prop, IX.)

Maintenant , afin de savoir quand y sera réel ou imaginaire (car x est toujours réel) , nous ferons subir à l'expression cidessus une transformation.

La quantité , sous le radical , étant évidemment la différence de deux carrés , peut être décomposée dans le produit

(fidr+it+d?— /*) (arfr—r»— <* + /*);

mais chacun des deux facteurs entre parenthèses est luimême, la différence de deux carrés (r+d)*— /â et /• — (r— df ;

et Pon a pour le premier, (r+^+O (r + <J— - r'),

pour le second, (/+ r— *<0 (/ "— T + <*)•

Donc enfin , la valeur de y devient

y = ±^d Vir+r'+d) (r+d—/) {r+/-d) (r'+*-r).

Sous cette forme , comme le premier facteur soumis au radical est essentiellement positif, on voit que y sera réel, tant que les trois autres seront positifs, ou l'un d'eux positif, et les deux autres négatifs. Mais cette dernière circonstance ne peut jamais exister, car dès qu'un de ces trois facteurs est négatif, les deux autres sont nécessairement positifs*

Soit , par exemple, r+ d — / < o, d'où r + d < / ;

il en résulte nécessairement r^r et d < / ;

donc r — r+det/ — d-f-r sont positifs.

À plus forte raison , les trois facteurs ne sauraient être négatifs à la fois.

B|8 FROBLànM

Ainti, il m peut te présenter que deux cas : ou les trois facteurs sont positifs à la fois , et dans ce oas fy est réel; donc deux circonférences se coupent toutes les fois que Von a

c'est-à-dire chacune des trois choses,, les rayons et la distance des centres, moindre que la somme des deux autres;

Ou bien, l'un des trois facteurs est négatif et les deux antres positifs; dans ce cas, y est imaginaire et il, n'y a pas de point d'intersection, Ainsi deux circonférences n'ont aucun point commun, lorsque l'une des inégalités., ci-dessus a lieu dans un. ordre inverse.

Il peut néanmoins arriver que l'on ait

r + rf-r'sco, ou r-f>r — d=ao, ou /-f-rf— rasa; c'est-à-dire r + rfa» r4 , ou r *+• /= dy ou r1 + d = r.

Dans ce cas, les deux valeurs dey se réduisent a o, et les deux circonférences n'ont plus qu'zt/» point commun, lequel est nécessairement placé sur la ligne des centres, puisque son ordonnée est nulle.

Donc, deux circonférences de cercle; se touchent, toutes les, fois que la distance des centres est égale à la somme ou à la. différence des rayons*

. Ces résultats sont conformes aux théorèmes établis en Géométrie sur les intersections et les contacts des deux circonférences.

189* Cas particulière. Soit rft=?o, auquel cas les deux circonférences sont concentriques ; les valeur» de oc et de y devien-

nent x z= et yay ■■ v ■ >■»» ' .

expressions de forme infinie. Mais observons que la quantité sous le radical de la valeur de y9 étant essentiellement négative, cette valeur n'en est pas moins imaginaire; ce qui doit être, puiflque les circonférences ne peuvent avoir aucun point commun.