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Si cependant, on avait en même temps rf==o et r = /, les valeur, de x et de y «réduiraient à *=?,,=?.

En effet , dans ce cas, les denx circonférences se confondent et ont une infinité de points communs.

Remarquons encore que les résultats ci- dessus , de forme infinie j sont analogues à ceux qui ont été obtenus (n° i5a) dans le cas du parallélisme de deux droites dont on recherche le point d'intersection; effectivement, il existe alors une espèce de parallélisme entre les deux circonférences, puisque leurs points sont partout également distans.

190. Paire passer une circonférence de cercle par trois pointe donnes.

Toutes les fois que Pou connaîtra la position du centre d'un cercle sur un plan, et la longueur de son rayon, les quantités constantes p9q* r qui entrent dans l'équation

devront être regardées comme données à priori; et le cercle sera complètement déterminé par cette équation* Mais on peut» comme pour la droite, se proposer de déterminer un cercle qui satisfasse à certaines conditions, comme celles de passer par des points donnés, d'être tangent à une ou plusieurs droites, à un ou plusieurs cercles , etc. ; dans ce cas ,p,a, r sont des constantes indéterminées dont les valeurs dépendent de ces diverses conditions; et comme les indéterminées sont au nombre de trois,, il s'ensuit que l'on peut imposer à un cercle trois conditions différentes, celles, par exemple» de passer par trois points donnés.

Soient en général (x , /), (x* t y), (a?*, y*) trois pointa donnés sur un plan par rapport à deux axes rectangulaires , et appelons p , q , r les coordonnées de son centre et le rayon ; son équation sera de la forme (x — />)• -+• {y — g)g= r* . . . (1) p, q9r étant des quantités qu'il s'agit de déterminer.

Or, puisque chacun des trois points donnés se trouve sur la circonférence, on doit avoir les relations

320 FBOBLÀXES

(x*- Py + (/ - ,)■ = i-, (*•— p)' + <y— ?)* = **;

' et la question est réduite a éliminer p,q,r entre ces relations, pour les reporter ensuite dans l'équation (i).

En développant, puis soustrayant successivement la seconde et la troisième relations de la première , on trouve

*"-*"+/•— y**— ap(*'— *') - *q (y— y') = o, . . . .(a) * •-**»+y*-^E- *?(*'-*•) — a* (/-*•) *=<>,... .(3)

équations du itr degré en />» 9, d'où l'on peut tirer facilement les valeurs de ces inconnues. Après quoi, en les substituant dans la première des relations ci-dessus , on obtiendrait la valeur correspondante de r. Nous n'entrerons pas dans les détails de ces calculs qui n'offrent aucune difficulté réelle et présenteraient d'ailleurs peu d'intérêt, à cause de leur complication; mais nous allons tâcher de traduire, en Géométrie, les équations (a) et (3) elles-mêmes.

Chacune de ces équations , considérée seule , étant du Ier degré en p et q qui expriment les coordonnées d'un point , représente (n° 172) une ligne droite; et si on les construit successivement par rapport aux mêmes axes > le point où ces lignes se rencontreront sera (n° i5a) le centre du cercle demandé.

Occupons-nous d'abord de l'équation (a) ; elle peut être misC sous la forme

t. yf+ym x'—x'/ J+x*\ ,/x

oubien encore^ ç — - — — =— -^ y( <— » ■ ■ ■ j...(4)

Gela posé, soient M, JVf, M" (Jig. io4) les points dont le* Fig. i«4- coordonnées sont (a/,y) , (x*, y*) , (ptT>y). L'équation de la droite MM' est (n° 148 )

y-y' = Çrj!L(x--x')... (5)

SUE XJB CEftGLX. 221

D'un autre côté, les trapèzes MM'FP,MM'R'R donnent, pour les coordonnées NQ, NS du point N, milieu de MM',

ainsi déjà , Féquation (4) est celle d'une droite passant par le point N.

En outre , si Fon compare les deux coefficiens ^ — -a et

— , à des équations (4) et (5) , on Toit qu'ils satisfont à

la relation aa'-f- i =s o , qui exprime (n° i55) que deux droites sont perpendiculaires entre elles.

D'où Ton peut conclure que l'équation (4) , ou l'équation (a) , représente la droite élevée par le point N milieu de MM', perpendiculairement k cette dernière ligne. Ainsi , sa construction est facile.

On reconnaîtra de même que Féquation (3) représente la perpendiculaire élevée au milieu N' de MM" dont l'équation est

Le centre se trouve donc déterminé de position , et la construction que nous venons d'en donner est précisément celle des élémens de Géométrie.

191. On serait parvenu k des résultats beaucoup plus simples, en prenant pour origine des coordonnées le point M (Jtg. ioS), et pour axe des abscisses la ligne MM'. Cela est per- Fig.io5. mis , puisqu'on peut disposer des axes à volonté.

Dans cette hypothèse, on a

et les équations (2) et (3) deviennent

— .x*% + opx* ss o, — *"a — y* -Mpa^-f 2^ = 0.

àââ paoblAmw sim ix cercle.

De la première, on déduit p = — , équation qui exprime

évidemment une droite parallèle à MY, menée par le point N tnilieu de MM'.

Quant a la seconde, on peut la mettre sous la forme

équation qui représente une droite passant par le point N' , mi lieu de MM* , et perpendiculaire a la droite MM* ou y = *-x.

Les équations (2) et (3) ne sont si compliquées que parée que les axes ont été pris dans une situation quelconque par rapport aux trois points donnés. On voit donc encore combien il est important, pour la simplicité des calculs, de choisir les axes convenablement.

192. Supposons actuellement qu'il s'agisse de faire passer nn cercle par deux points donnés , en l'assujettissant en outre à être tangent à un autre cercle donné de position et de grandeur.

En désignant par (x' , V) , (x* , y") les coordonnées des deux points, par p,q> r les constantes du cercle cherché, nous aurons d'abord les deux relations

(x'-~py + (y-qy=r%....lx'-py + (y'-qr = r*.

D'un autre côté, soient //, q' ,/ les constantes du cercle donné, D la distance des centres des deux cercles; on a, en vertu de ce qui a été dit , n° 1 88 , sur le contact des cercles ,

donc (n° 137) la condition de contact est exprimée par la relation

(/>' - PY + (S1 - qr=(r' ± ry ,

qui, jointe aux deux précédentes, renferme tous les élémens nécessaires à la détermination des inconnues pf 9, r.