PROBLEME DES TANGENTE

Si le cercle devait passer par un point donné (j/,y), et être tangent à deux antres cercles donnés par les constantes (p' >9*> 7/)t{P*>(t">T/')>%m aurait les trois relations

&-pY + (/ -qY = **, ip'-pY + {q'-dY = (/±r)S

(p'—pY + df- qY=(r'±r)\

Tonte la difficulté, dans la résolution de ces sortes de questions, consiste à choisir les axes coordonnés de telle manière , que les équations et les calculs soient les plus simples possibles , et qu'on puisse en tirer des constructions faciles et élégantes.

Il nous reste encore à établir les conditions relatives au contact des droites avec les circonférences. Or, la théorie des tangentes est une des. plus importantes de la Géométrie analytique.

Problème de* tangentes.

193. Commençons par fixer le véritable sens qu'on doit attacher au mot tangente.

On définit, en Géométrie, la tangente au cercle, une droite qui n'a qu'un point commun avec la circonférence; mais il qtt aisé de Toir que cette définition fce convient pas à toutes les courbes.

Soit, en «filet, une ligne telle que LN'NKMH {jig. to6 ) Fig.106. {composée de parties , ks unes concaves , les autres convexes. Si , en un point quelconque M , on mène une droite MNN' , qui semble «e trouver, par rapport à la partie RMH, dans la même situation que la tangente au cercle, cette droite peut être supposée n'avoir qn'un point commun arec cette partie de la courbe; mais prolongée indéfiniment, elle passera par d'autres points N, N'. ... de la courbe. Donc il ne serait pas exact de dire qu'elle tr*a qu'un seul point commun avec LN'NKMH.

Pour avoir une définition qui puisse s'appliquer à toutes tes courbes, il faut imaginer qu'une droite MG, ayant plusieurs points M , fi', M# communs avec la courbe , tourne autour de l'un de «es points, M par exemple, de manière à

2*4 * mkmAiib ••

prendre les diverges positions MM'M", m'Mm*mm. . . . ; on voit que, dans ee mouvementée point M', qui se trouvait d'abord placé à la gauche du point M, se trouve maintenant à droite de ce même point , en m'. Or , dans le passage de la première à la seconde position , il doit nécessairement en exister une intermédiaire où le point M' vient à se confondre avec le point M ; et c'est dans cette position , représentée par MNN', que la droite est dite une tangente. On doit donc regarder une tangente comme une sécante à la courbe dont deux des points <F intersection viennent à se réunir en un seuL

Il n'est pas absolument nécessaire que le mouvement de la droite se fasse autour de l'un des points d'intersection ; il peut se faire autour d'un point quelconque. La droite peut même, dans certaines circonstances, se mouvoir parallèlement à elle* même.

Fîg. 87. Reprenons la courbe y* = zx , d'où y = dbtfxx (fig. 87), qui a déjà été discutée n° 169.

Comme à chaque valeur de x positive , il correspond deux valeurs de y égales et de signes contraires, il s'ensuit que toute parallèle à AT, menée à la droite de cet axe , est une sécante qui a deux points communs avec la courbe; mais à mesure que x diminue, les distances Mit', MN. . . . entre ces points d'intersection diminuent ; et lorsqu'enfin on suppose x = o, auquel cas la valeur ^de y devient y = ±: o , les deux points d'intersection se réunissent au point A, et la droite AT estdite tangente*

On reconnaîtrait de même que, dans la courbe discutée n° 170, et qui a pour équation

y— x*=4, d'où a?==±v/y^4,

Fig. 68. la droite'IK (Jig. 88 ) , parallèle à AX , et située à la distance y = 2 , est une sécante dont les deux points d'intersection se réunissent au point B.

Une courbe étant ordinairement regardée comme un polygone d'une infinité de côtés, ou comme la trace d'un point qui change à chaque instant de direction, on peut encore dire que