DES TANGENTES

k tangente à une courbe en un point donné , est Vêlement de la courbe, qui correspond à ce point, et qu'on suppose prolongé indéfiniment. C'est ainsi qu'on l'envisage dans la haute analyse ; mais ici nous la considérerons comme une sécante dont deux points d'intersection se réunissent en un seul; et c'est ce caractère que nous allons essayer de traduire analytiquement.

194- Soient , en général , F (x , y) =. o l'équation d'une courbe , et y — ax + b l'équation d'une droite rapportée aux mêmes axes.

Pour déterminer les points communs à la courbe et à la droite 9 il faut (n° i52) exprimer que ces deux équations ont lieu en même temps. En substituant dans la première, pour y% sa valeur tirée de la seconde, on obtiendra une nouvelle équation en x, dont les valeurs seront les abscisses des différons points d'intersection ; et ces valeurs , reportées dans l'équation y = ax-{-b, feront connaître les ordonnées correspondantes de ces mêmes points.

Actuellement, si l'on veut fixer îa position de la droite de manière qu'elle devienne tangente, il suffît d'exprimer, par lès moyens connus en Algèbre, la condition que deux des valeurs de x soient égales ; ce qui , d'après l'équation y = ax +è , entraine aussi généralement la condition que les valeurs de y soient égales. La première condition , exprimée analytiquement, n'est autre chose qu'une certaine relation entre les quantités a et b considérées comme des constantes indéterminées; et si, à cette relation, on joint la suivante , y'=ax/ + bf qui exprime que la droite passe par un point donné, on aura tout ce qu'il faut pour déterminer complètement a et b.

19$. Si l'équation de la courbe est du second degré, la substitution de or +4 à la place dey, dans cette équation, donne lieu a une équation du second degré de la forme

mx* + nx + p = o }

ce qui prouve, en passant, qu'une ligne droite ne peut jamais avoir plus de deux points communs avec une courbe du second degré,

336 FBOBl£mK

Or, on a vu (-^^m chlap. III, n° 112) que pour que les deux racines d'une équation du second degré soient égales, il faut qu'on ait entre m, n, p, la relation n* — 4mp — o» Cest donc cette condition qu'il s'agit de développer pour toutes les courbes du second degré , en commençant par le cercle, qui n'en est qu'un cas particulier.

196. Par un point donné (x'., y') mener une tangente à un cercle * qu'on suppose rapporté à des axes rectangulaires pas sant par son centre.

L'équation du cercle étant y* + a;* = r% . . . . (i)

celle de la droite cherchée est de la forme

et la quantité b se trouve déjà éliminée (n° i4<))*

Pour exprimer d'abord que le cercle et la droite se coupent , il faut combiner leurs équations , en supposant que les x et les y sont les mêmes. Or , l'équation (2) donne

yr=zax+ y' — axf \

d'où, substituant dans l'équation (1) et ordonnant ,

(a* + i)x* + aa (y—ax')x+ (y—aa/y—r* = o (3)

En attribuant k a des valeurs particulières , on obtiendrait nne série de sécantes à la courbe, dont les deux points d'intersection auraient pour abscisses les valeurs de x tirées de l'équation (3) , et pour ordonnées les valeurs de y déduites de l'équation (2) , après qu'on y aurait mis pour a et x leurs valeurs.

Maintenant, si l'on veut que la droite devienne tangente, il faut que les deux racines de l'équation (3) soient égales ; ce qui donne , en vertu de la relation na — - ^mp = o (n* 195) ,

4a*(/— ox'r-4 (*' + 0 K/-*Oa— r»] =0 . . . (4)

on, divisant par 4 et supprimant les deux quantités

DSS TAMOKNTB8. **7

qui se détruisent, . . * — (./ — - aafy+ (a%+ i) r*ca: o. Cette équation développée et ordonnée par rapport à a , devient

(r>a/*)a«4.2Xy . a 4. /*y»= o. . . .(5),

d'où l'on déduit , toute réduction faite ,

expression qui substituée dans l'équation (2), donnera l'équation de la tangente demandée.

Le résultat (6) démontre que par un point donné N (/g. 107), Fig. 107, il est, en général , possible de mener deux tangentes IN M, NM' a la circonférence. Toutefois, comme il faut, pour cela, que les deux valeurs de a soient réelles et inégales, 011 doit «voir

** •+•/*> A ou, à cause de x'a+/* = ON*. • .ON> OH*

donc le point (a/, y) doit être situé hors du cercle.

Si l'on Suppose j/'+y* = r*, auquel cas le point donné se trouve sur la courbe, la double valeur de a se réduit à une seule

a = — M « ,.. ou asss— ■— >, a cause de V^ssr1— a/\ 1* — x* y J

On reconnaît en effet que, d'après cette supposition, l'équation (5) devient o^y^ + afla/y'-f-^sso., ou (a/+x,)*=o;

d, % x 'ou a=— — >.

Pour distinguer ce cas, du cas général, nous conviendrons de désigner le point donné , qui n'est autre- chose que le point de contact, par (x*, y') ; et alors on aura pour l'équation de la tangente au cercle, en un point de cette courbe,

197. Remarqué sur la méthode précédente. En formant à J'aide des équations (1) et (2) uneéqtiatïon en y seulement, ce

2?8 PRUBIiàME

V •"— C v' — ■■■ CL Jt' *

qui revient à substituer dans (i) la râleur x=J- *£ ' ^

tirée de l'équation (2) , on trouve

(a*+ \)y — a (/ — aa/)y + (/ — or')*— a^srs o ;

et si l'on veut que la droite devienne tangente, il faut exprimer que les deux racines de cette équation sont égales; ce qui donne entre les coefficiens la relation

4(y — ax'Y — 4(a*+i)[(y — aa/)»--<i'r*]=:o,

ou, divisant par 4 e* supprimant les quantités (y' — <«0% — (y — ax'Y qui se détruisent,

a'[(/ — ax')ft— r*(aa + 1)] = o.

Or cette équation peut être satisfaite de deux manières , soit en posant a*=o, soit en posant (y' — ax'Y — r*(a* + 0 ==0'

La dernière de ces deux relations est bien ideutique avec la relation (5) obtenue d'après l'équation en x; mais on trouve en même temps pour solution , a* = o.

Il y a plus, si nous remontons à l'équation (4) du numéro précédent, et que, sans avoir égard aux réductions des termes semblables, nous développions les calculs, nous obtenons 'une équation du quatrième degré çn a dont , à la vérité, les coefficiens de a* et de a3 sont nuls; mais on sait en Algèbre qu'une semblable équation a deux de ses racines infinies. Ainsi l'équation (4), outre les deux valeurs que donne l'équation (5), renferme encore implicitement deux racines infinies, a = 00, az=z 00.

Tâchons d'interpréter ces solutions a = o, a = 00 qui semblent étrangères à la question proposée. Pour cela, nous observerons qu'en prenant un point N' (fig* 107) situé hors du cercle, et tel que les perpendiculaires abaissées de ce point sur Paxe des x et l'axe des j" rencontrent la courbe aux points 1, £', /, t, si Ton veut ensuite exprimer que, pour une droite menée du point H' , les deux valeurs de x des points d'intersection de cette droite avec la courbe, sont égales ; sans rien dire pour y, cette condition ne convient pas plus aux deux tan-

DBS TANGENTES. 22g

gentes H'm , NW qu'on peut mener par ce point , qu'à la ligne R'w' perpendiculaire à Taxe des a?. Ainsi, l'analyse doit donner, outre les solutions relatives aux deux tangentes , la solution a = oo correspondante à cette perpendiculaire.

L'équation (2) , qui revient à x = *. — 21 -4- a;', donne en

effet pour a= 00 , x= j/, ce qui n'apprend rien pour y. Mai» pour avoir sa valeur, il suffit de remonter à l'équation (1) qui

donne y = ±: ^/r* — x*.

Telles sont en effet les valeurs de Op , ip? ïp correspondantes à H'i*'.

De même , si l'on exprime que les deux valeurs de y sont égales, sans rien dire pour x, cette condition convient nonseulement aux deux tangentes , mais encore à la droite N'/f parallèle à l'axe des x. Ainsi Panalyse doit donner a la fois le* solutions relatives aux deux tangentes , et la solution a = o correspondante à TS'lt»

L'équation (2) donne pour a t= o, y =y , ce qui n'apprend rien pour x\ mais de l'équation (1) on déduit

Telles sont en effet les valeurs de Oq , Oq' , Iq , l'q'.

Concluons de là que , pour exprimer le contact d'une droite avec une courbe , il faut écrire à la fois analyûauement les deux conditions * pour que deux des valeurs de x et deux des valeurs de y correspondantes aux points d'intersection., soient égales * puis considérer à part la relation commune qui se troupe implicitement renfermée dans les deux relations générales établies d'abord séparément* r

La remarque qui vient d'être faite fournît un nouvel exemple d'une question dont les équations sont plus générales que la question elle-même, et le moyen de dégager le résultat des solutions étrangères.

198. Nous avons cru devoir résoudre le problème des tangentes de la manière la plus générale, afin défaire voir aux

commençai!» comment on interprète certains résultats de l'analyse; mais comme dons aurons souvent besoin de rappelé* l'équation de la tangente, dans le cas particulier où Ton donne le point de contact , il est bon d'indiquer un moyen direct d'y parvenir. Cette autre méthode est également susceptible de s'appliquer à toutes les courbes , quelle que soit, Pinctinaison desaxes.

Appelons \xf, y) , (x", y") les coordonnées de deux pointa de la courbe y dont l'un (x°, y") doit devenir un point; de contact.

La droite qui joint ces deux points a pour équation

rf' — •**

et si Ton y réunit les deux relation» \ KJT ** ******

le système de ces trois équations convient à la sécante menée par les deux points.

Or , en soustrayant (3) de (2) , on a

équation qui peut remplacer l'une des deux précédentes, (3), par exemple ; et comme la relation (4) revient à

d'où -7 — -5 — — -7

il s'ensuit que la sécante est finalement représentée par le système des deux équations

;r-/ = -^t^(a>-*') et /•+*" = *

Si, maintenant, on veut que la sécante devienne tangente, c'està-dire que les deux points d'intersection se réunissent en un seul , il suffit d'établir x' =x* et y = yu ; ce qui donne

J>KS TAtfQBNTHS. a3l

^-/---(x-x") et/*+** = i*.

(Ordinairement , on ne considère qae la première de ce* équations pour représenter la tangente ; mais la seconde est toqr» jours sons- entendue.)

N. B. L'artifice de calcul employé ci-dessus, et qui consiste a retrancher (3) de (a) , a pour but de transformer le coeffi-

V — y* rient , ■ nr de l'équation (i), afin <Fy introduire ensuite les

deux conditions,/ =y , a! z=ix*\ car si , ayant cette transformation, on faisait cette double hypothèse, on obtiendrait -

pour yalepr de ce coefficient.

x° 199. L'équation y — y0 = — * -y (*—*") peut être ramené?

a une forme beaucoup plus simple, au moyen de la relation y*% + x*% = r* qui y est jointe.

Chassons le dénominateur et transposons $ il rient

yy" + xx"=y'* + x**, ou bien, yy" + *** = r\

Cette nouvelle forme est facile à retenir , en ce qu'elle se déduit de celle du cercle y* + x* = r% en y remplaçant les carrés y* et *• par les rectangles yyu et **".

Soit fait, dans l'équation simplifiée de la tangente, y = o-y

il en résulte x = — 75 c'est l'abscisse OR (fig. 107) du point

où la tangente rencontre l'axe des x.

D'un autre côté, l'on a PR = OR — OP ;

d'où PR = I1— x»= * .

x xr

Cette distance PR, comprise entre le pied de l'ordonnée du point de contact et le point où la tangente rencontre l'axe des x, est ce Qu'on nomme la soutangenU ; et sa considération est souvent utile dans la théorie des courbes.

2&* PROUÀMS

JV. A Puisqu'on obtient 8a valeur en supposant y = <f dan* l'équation simplifiée de la tangente ,' et retranchant ensuite af de la valeur de x correspondante à y = o, il s'ensuit que pour l'avoir directement d'après l'équation non simplifiée de la tangente , H suffit d'y faire y feo , et de chercher la valeur correspondante de x — - x".

On trouve, en effet, pour y = o , x — .r* = ^— =:

aoo. Reprenons également le cas où la tangente doit être menée par un point pris hors du cercle, et proposons-nous d'exprimer les coordonnées inconnues x", y0 du point de contact , en fonction des coordonnées x'> y du point donné.

La tangente devant passer par le point x\y , son équation est de la former — y4 sss a (x — x') ; a ayant (n° 196) pour

xu

valeur, a = — -, et la question a pour objet de déterminer

x'ety*.

Or, 1* équation de la tangente étant aussi (n° 199)

yy* -+• xx* = r1, comme cette droite passe par le point (sr9 /) ,

on a nécessairement la relation y y* + xV* = r*. ... (1)

D'ailleurs , puisque le point x", y°y se trouve sur la courbe,

on a aussi ya% + x*% = r*. (a)

Telles sont les équations à l'aide desquelles il faut calculer x*ety\

On tire de la première y" = 7 , . . . (3)

d'où substituant dans l'équation (2) et ordonnant par rapport kx, (x'* + y») x"» — ar*x' . x" — fy' » — r* ,

ou, résolvant et simplifiant, x =s ,m ,—

Remplaçons x" par sa valeur dans l'équation (3) , on obtient,

toute réduction faite , ya = K^ =P J>/J±£z2?ï.

Donc

DBS TANGENTE*

x' rx ±y

-T'*yi/yt+yr*— f»

Four prouver l'identité de ce résultat avec celui du n° 196, multiplions haut et bas par ry' ±.x V^-f-/'— r*", en observant que les signes supérieurs se correspondent , ainsi que le* signes inférieurs ; il vient

rVy'=hKr"-r-«") V*'% •+ y — **+Y V(* •+/'

OU

«W» + y") ± K*"+y ) VV' +/'— **

on bien enfin , a = — *—*- ^r fr* -•

201. Si Ton voulait fixer géométriquement la position du i point (x*, y) y il faudrait construire les valeurs obtenues cidessus. Mais comme elles sont très compliquées , nous aurons recours aux principes sur les lieux géométriques (n° 181).

Première construction. Reprenons les équations

/f + afa* = i*;...' (1)

qui ont servi à déterminer x*yy*.

En retranchant la première de la seconde, on obtient

équation que nous pouvons substituer à la première ; et si l'on construit par rapport aux mêmes axes chacune des équations (2) et (3), considérée comme renfermant deux variables x",yu , les points d'intersection des deux lieux géométriques seront les points de contact demandés.

D'abord l'équation (2) représente un cercle ayant son centre à l'origine , et pour rayon r (fig. 108); c'est donc le cercle déjà **'.5«,08* construit.

a34 vmmuAmb

Quant à Péquation (3) qui est comprise dans la forme générale du n° 1 77 , comme elle peut être ramenée à celle-ci :

elle représente une circonférence dont le centre a pour coor-

Olf V' t y

données — » <- , et qui a pour rayon - y x'% +• y'*.

Or, si Ton joint le point O au point N par lequel on se propose de mener une tangente, on a évidemment

„ OP a/ ¥T NP y „ 1./-7T-Ï — 77

OLou~=-, IL=— «-i-, OI = -l/x'*+ya.

Donc la circonférence décrite sur ON comme diamètre ; est le lieu géométrique de l'équation (3).

Ainsi , les points M , M' où les deux circonférences se coupent, sont les points de contact ; et en les joignant au point N , ou a les deux tangentes cherchées.

Cette construction est précisément celle qui se trouye indiquée dans les Élément de Géométrie.

202. Seconde construction. On peut opérer directement sur les équations (i) et (2), dont la construction donne lieu à une propriété très remarquable.

L'équation (2) représente toujours le cercle donné,

L'équation (1) étant du Ier degré en x\y" y représente une ligne droite*, et comme les points où elle doit rencontrer la circonférence ne sont autre chose que les points de contact , il s'ensuit que cette droite est la ligne de jonction des pointe de contact*

Pour en fixer la position , soit fait successivement dans l'équation (1), y = o, et x"==o; il en résulte

pour y = o, ^" = -0 pour x* = o , y =s -; .

DiS TA»+SKTZ0. 235

Le premier point [j*=o, x#= — , ] est le point B (/gr. 109) Fig. 109.

on la droite rencontre l'axe des a?, et oe point s'obtient par la construction de la 3e proportionnelle x' t r II 1 1 x*.

Le second point [x' s= o , y9 = -7] est le point C où la

j droite rencontre l'axe des jr, et il s'obtient de la même manière.

La droite BC qui joint ces deux points, rencontre la circonférence aux points M et M7 qui sont les points de contact des tangentes menées par le point N.

ao3. Bernarque. Comme la valeur x* s= -7 correspondante à y" = o , dans l'équation de la ligne de jonction des deux points de contact, est indépendante de l'ordonnée y du point par lequel on veut mener les deux tangentes, on peut conclure que, pour un second point quelconque N' pris sur la perpendiculaire LL', la ligne qui joint les points de contact des tangentes menées par ce point, rencontre Taxe des x au même point B.

En effet, soient af et y' les coordonnées du point N' j on aurait pour l'équation de la ligne M*M* , y y0 + otfcf = r*;

or , en faisant y"=o, Ton trouve x9 = — , = OB.

Observons d'ailleurs que, l'axe OX étant une ligne menée a volonté dans le plan du cercle, la droite LL' qui lui est perpendiculaire, peut elle-même être regardée comme une droite tracée d'une manière quelconque dans ce plan , puisqu'on pourrait d'abord tracer cette dernière ligne arbitrairement , et prendre ensuite pour axe des x la perpendiculaire abaissée du centre. sur la droite.

On déduit de là le théorème suivant : Si des diffèrent point*, d'une ligné indéfinie LL', on mène des tangentes à un cercle,, toute* les droites qui joignent les points de contact des tangentes partant du même point j se réunissent en un point commun B, lequel se troupe placé sur la perpendiculaire abaissée du centre O sur la droite LL',

236 P&OBSJtSfBS

N. B. Il résulte de l'expression x" = — ; -r , que, toutes les

fois que la droite LL' est extérieure au cercle, auquel cas on

• a x' > r, le point B est intérieur, puisqu'alors x* est <*. r.

Fig. 1 10. gj^ au contraire, LL' {fig. 1 1 o) est sécante à la courbe, le point B

est extérieur; car on a , dans ce cas , x' < r, d'où — , ou x" > r.

Les problèmes suivans se rattachent an problème des tangentes et donnent lieu à quelques circonstances assez remarquables, sous le rapport de la discussion.

Fig. m. 204. i°. Étant donnés un cercle OAMB (fig. 111} et un point N., on propose de mener par ce point une droite de telle manière que la partie MM' interceptée dans le cercle soit égale à une ligne donnée 2m.

Supposons le cercle rapporté à deux axes rectangulaires OX, OY , et appelons x7, y', les coordonnées du point N. Désignons d'ailleurs par % la distance de ce point à Pun des points d'Enter- . section de la ligne cherchée avec la circonférence.

Nous aurons les équations

*' = (*— xy + (y—y'y. . . (3)

(x— x', y~y j expriment ici les différences entre les coordonnées du point N et les coordonnées x >y9 propres à vérifier en même temps les équations (1) et (2) qui sont celles du cercle et de la droite. )

Gela posé , pour résoudre la question proposée , nous éliminerons d'abord x et y entre ces trois équations, ce qui nous donnera une équation en z, a, xf yyr , r. Résolvant cette équation par rapport à s, nous obtiendrons deux valeurs dont la différence , égalée à 2m , conduira à une' dernière équation en a et en quantités connues xfy y' y r, m, dont la résolution fera, connaître a , et fixera par conséquent la position de la droite cherchée. Effectuons tous ces calculs.