SUR LA LIONS DROÎTE ET LE CERCLE

Si dans l'équation (3) on remplace jr — .y' par sa TsJeur tirée de l'équation (2) , on a a* = (x — x')% (1 + a%) \ d'où l'on déduit

x — x =— et x = x +

donc y — y = . — et y = y -| = .

Substituant ces deux valeurs dans l'équation (i) et ordonnant par rapport à z, on obtient

, . aS + x'

* +2^/f^-*+*"+/'-'*=so; • • • (4)

d'où

Appelons a', 2", les distances KM, NM', qui ne sont autre chose que les deux valeurs de z. qu'on Tient de trouver. On a

Z~Z ~ X/T+tf- »/(r* — *'■) a* + 2a*>' + r<-y'\

mais, par hypothèse, on doit avoir zf — %n = 277». On obtient donc enfin, pour l'équation du problème,

ou , élevant au carré et ordonnant par rapport à a, (x'*+m* — r9) aa — 2xy .a +ya + m* — 7* = o (5)

Comme cette équation est du second degré, il s'ensuit que , par le point N , on peut mener deux droites NM , NM% qui satisfont également à la question.

N. B. Le problème des tangentes peut être regardé comme un cas particulier dé" celui-ci. En effet , pour établir que la droite menée par le point N est tangente à la courbe, il suffit d'exprimer que la partie MM' ou M"M* de la sécante est nulU*

fl38

c'est-à-dire que l'on a m = o ; oe qui réduit l'équation (5)

a celle-ci: (j/* — r*)a*~ a*'/ . a+/É— r* = o,

résultat identique avec celui qui a été obtenu (n° 196).

ao5. Pour simplifier la construction des valeurs de l'équation (5) , supposons , ce qui est permis , que l'axe des x passe Fig. 11a. par le point donné N {fig. 11a).

Dans ce cas, on a y =0, et l'équation devient

(*'* -f m» — r*)aft + ma— r* =0 ; d'où

Pour que cette expression de a soit réelle , il faut qu'on ait premièrement j ni < r ou am < ar j ce qui doit être» puisque %m représente une des cordes du cercle donné;

Secondement j £% — h* ou x'â — r*-|-m*>o*, d'où

m>|/ra— ïF.

Cette dernière condition est toujours satisfaite, tant que le point N est extérieur au cercle ; car l'on a alors x > r, d'où, à fortiori, x% — r* + m% > o. Fig. n3. Mais si le point N (JSgf. 1 13 ) est intérieur, comme en me*

nant NK perpendiculaire à OX, on a WK= v/r*— *'% il s'ensuit que la ligne donnée nm doit être moindre que la corde KK' ; et en effet cette corde est la plus petite de tontes celles qu'on peut mener par le point N dans le cercle donné.

Admettons que les deux conditions m^r> m> l/**— x * soient satisfaites, et construisons le problème. Fig. lia. Décrivons sur OB (Jig. i ia ) une demi-circonférence, et prenons, à partir du point B, une corde BI égale à m; il en résulte

OI= l/V— 7n»= h.

Maintenant, sur ON = o/, décrivons une demi - circonférence, et rabattons OI deO en L,puis tirons la droite HL; en déduit

SUB LA LIONS BBOITB BT LE CERCLE. a3g

Je dis, d'ailleurs, que cette droite NLM et la droite OT/M* placée symétriquement au-dessous de OX , représentent les deux droites cherchées. Car le triangle rectangle OLN donne

tangLNO = ^ =5 — JL— ; «fou tangLNX= ~ *

1 , 4- h On a pareillement tans L'NO s= — ■ tt-

La construction est la même, lorsque le point N (Jîg. n3) Fig.n3; est intérieur. Seulement , la corde BI ou m doit être moindre

que BO ou r, et plus grande que NJL ou l/** — *'** d'après ce qui a été dit ci-dessus.

206. Remarque. L'équation (4) , à laquelle on a été conduit dans la résolution du problème précédent ( voyez n° 204 ), démontre très simplement que deux sécantes sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures i ou bien , que deux cordes se coupent en parties réciproquement proportionnelles * suivant que le point N est extérieur ou intérieur au cercle.

En effet, on sait que, dans toute équation du second degré, le dernier terme est égal au produit des deux racines. On a donc, en appelant s',s" (fig. ni ) les racines de l'équation (4) Kg. m. (n° précédent),

/X**, ou NMX»M' = ^+y4-r*.

Le second membre de cette relation étant indépendant de a, c'est-à-dire de la constante qui fixe l'inclinaison de la droite NM, il s'ensuit qu'elle serait encore la même pour toute autre sécante NR menée par le point N. On déduit

delà

NMxNM'=NRxNR',

et par conséquent, NM : NR :: NR' : NM'.

Si le point est intérieur au cercle, comme N',on a également

a4o pmoai^Hxs

N'M X N'M,=N'SXN'S', et par conséquent, N'M : N'S :: N'S' : N'M'. C.Q.F.D.

Le cas où le point est extérieur est caractérisé (n° ig6) par la condition x% + ty'* — f* > o; c'est-à-dire que les deux racines sont positives à la fois ; et le cas où le point est intérieur, par la condition af*+y* — r*<^o; et, en effet, les deux racines étant représentées géométriquement par N'M et N'M , doivent être de signes contraires.

207. 2°. Deux cercles étant donnés sur un plan., mener une droite à travers j de manière Que les parties MM'., NN'., * Ffaiii. (fié* II4)> interceptées par les deux circonférences* soient égales entre elles et à une ligne donnée 2m.

Rapportons les cercles à deux axes rectangulaires dont l'un soit la ligne des centres , et l'autre passe par le centre de l'un d'eux.

Prolongeons d'ailleurs la ligne cherchée MN' jusqu'à sa rencontre en  avec la ligne OO'. II est évident que cette droite serait déterminée de position, si l'on connaissait la distance OA; car tout se réduirait alors à mener par le point A, une ligne AM telle que MM' fût égal à 2m, et la question rentrerait dans la précédente.

Gela posé , soient

OA = *', Oiy=d'f d'où 0'A=x' — d\

faisons d'ailleurs OB = r , O'B' = f', et appelons a Ja tangente de l'angle que forme AM avec l'axe des *. On a trouvé ( n* 2o5 )

a ™ vT^Î^F (A ëtant ^ * y/r* — m").

D'un autre côté, si l'on nomme a! la tangente de l'angle que forme avec OX une droite AN qui remplisse, par rapport au second cercle, la même condition NN' = 2ni, et " qu'on désigne O' A ou x' — d par xm , yY« — m* par V ,

SUR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 2/Éf

on a pareillement,

y/s«* ft'* x/(x' — d)* — h* '

Mais, d'après l'énoncé de la question, les droites AM , AN doivent n'en former qu'une seule; ainsi , l'on doit avoir a' = a; et l'on obtient, pour équation du problème proposé,

t/V» — A* }/{xr — d)* — h'* ou, chassant les dénominateurs et élevant au carré,}

**[(*' — dy — h"] = A" (X'a — A») , ou , supprimant le terme — h%h'% commun aux deux membres,

h\x' — dy = A'V\ On tire de cette équation ,

A(«'-d) = ±/iVi d'où •«t~t,j" et si l'on remplace A et A' par leurs valeurs,

dl/^ZT

Vr — m^y/T^—

Cette double valeur de xf prouve qu'en général, il existe deux points A et A', par chacun desquels on peut mener deux droites susceptibles de satisfaire à la question; ce qui donne en tout quatre solutions différentes AM et Am, RA'S et rA's.

Nous ^insisterons pas davantage sur ce problème, dont la construction et la discussion résulteront d'ailleurs très simplement de celle du problème qui va suivre.

ao8. 3°. Mener une tangente commune à deux cercles donnée.

Soit fait dans le problème précédent , m= o, ce qui établit la condition que la droite cherchée soit tangente à la fois

?4a DE LA TAM1NT*

aux deux cercles. Gomme on a alors

h ou S/f— mi=r, et A' ou l//* — m» = r,

la double valeur de x' se réduit à

, dr

L'expression qui correspond au signe supérieur, étant évidemment plus grande que la seconde, correspond au cas ou les cercles sont placés d'un même côté par rapport à la tangente; et celle qui correspond au signe inférieur, au cas où les cercles sont placés de côtés differens. On dit, dans le premier, que la tangente est extérieure aux deux cercles, et dans le second, qu'elle est intérieure*

dr

Pour construire le résultat x = -7 ou r—r\r\\d\x'

(Jig, il 5), lirez une ligne indéfinie OLy prenez sur cette

ligne* à partir du point K^ une partie KH égale à O'ff ou r ;

tous avex ainsi QJL=r, OH=.r — /. Joignes H et Ql ,

et par le point K, menés KA parallèle à HCX. Le point A

sera le point demandé.

Car on a

OH:OK::CKy:OA, o» r— /rncdroAs donc oa=x'.

Il ne s'agit plus que de mener par le point A les deux tangentes ANM et Anm au premier cercle *, et elles te sont nécessairement au second.

dr Quant a» deuxième résultat, x'=s—--t, ou jr-fc/ Irlldl af,

il suffît de prendre j sur la même ligne OL , une partie KBL' égale à O'B'; ce qui donne 0¥F = r + /. Tirant ensuite H'tfj et KA' parallèle à JI'C, on a A' pour seconde solution de la question ; c'est-à-dire que , si du point A' on mène A' Al' et A' m/ tangentes au premier cercle, elles le secont également au second.

La construction du problème précédent se déduit facilement de celle du problème actuel.

COMMUNS A 0KUX CEBCLES DONllis. %/}$

En effet, si l'on inscrit aux cercles donnés deux corde* CD, cd (jig. 11 4) égales à am, et que des points O, O', onFig*"4* trace deux circonférences dont les rayons soient égaux aux perpendiculaires abaissées sur ces cordes, il est évident que les tangentes communes à ces nouveaux cercles, seront telles que les parties MM', NN' et RR', SS', interceptées par les deux premiers, seront égales à CD ou 2m.

Le problème qui fait l'objet de ce numéro présente , sous le rapport de la discussion , diverses circonstances qui méritent d'être développées. Elle complétera tout ce qui a été dit dans le premier chapitre sur la discussion des problèmes en général

209. Considérons les deux cercles dans toutes les situations qu'ils peuvent avoir l'un par rapport à l'autre , en supposant toutefois que le cercle qui a le plus grand rayon soit celui dont le centre est à gaucbe , parce que les circonstances relatives à l'hypothèse contraire seraient absolument semblables.

i°. Soient les cercles tout~à-fait extérieure Y un à Vautre

ifig' II6)- * Fig.116.

Cette circonstance est exprimée analy tiqnement par la condition d > r + /, d'où, à fortiori, d>r — ?.

t dr Dans ce cas, l'expression x = ,, qui, par la divi-

drf sion , peut se mettre sous la forme x' = d H — —-? , est évidemment plus grande que d -f- / ou OB'. Donc le point A correspondant à cette valeur de x' est extérieur à l'un et l'autre cercles ; et les deux tangentes extérieures peuvent être

tracées.

dr L'expression a/ sa t ^ est d'abord plus grande que r

ou OB (à cause de d>r+/).

D'ailleurs, elle peut être mise sous la forme

244 DE LA TANOEUTE

dr* et comme on a d^>r + r1 , il en résulte — r-J^^î

donc a:' est moindre que d — r , ou moindre que OC Ainsi le point A' correspondant à la seconde valeur de x', est encore extérieur aux deux cercles ; et l'on peut mener les deux tangentes intérieures,

La première circonstance offre donc quatre solutions. Fig.117. Dans le cas particulier de r=/ {fig. 117), l'expression

x = — -T—-7 se réduit à a:' = -; c'est-à-dire que le point

A' est le milieu de la distance OO' des deux centres.

L'expression x = 7 devient — ou infinie -, ce qui

▼eut dire que les deux1 tangentes extérieures sont parallèles à 3a ligne des centres.

Ces résultats s'expliquent facilement par la figure.

2°. Les cercles peuvent se toucher extérieurement; ou ana- Fig.118. lytiquement, on peut avoir (Jig. 118)

d=r+/; d'où d>r — /'.

La valeur x' = - -, = d -) -7 , est plus grande que

d-t-/ ou OB'. Ainsi les deux tangentes extérieures existent, puisque le point A est extérieur aux deux cercles.

Mais la valeur .t' = ■ « -> se réduit ài' = r; ce qui prouve

que les tangentes intérieures se confondent en une seule LL'. Le problème n'admet donc alors que trois solutions.

3°. Les cercles peuvent se couper. Cette circonstance est exprimée (n° 188) par les deux conditions d<r-J-r', d>r—r

*"ig.ïi9' (fis ,!9)-

dr tir

L'expression x' = ■ , = d -\ -, , est plus grande

que d -f- r ou OB'j ainsi les deux tangentes extérieures e&istciit.

COMMUNE A DEUX CEHCLES DONNES. *fô

Mais l'expression x' = -, est ne oindra, que r\ donc le

point À' est intérieur au cercle dont le centre est en O; par conséquent, on ne peut mener les tangentes intérieures.

La question n'admet donc, dans ce cas, que deux solutions.

4°. Les cercles peuvent se toucher intérieurement ; ce qui exige que Ton ait (Jig. 120) d = r — r* , d'oa d<^r+/. Fig.iad.

La première valeur x* =1 j9 se réduit à x'=r ou

x'=:OB; donc les deux tangentes extérieures se confondent en une seule LL'.

La seconde x' = — ~-, est moindre que r, à cause de

d < r + / ; donc il n'existe pas de tangentes intérieures.

Ainsi la question n'est susceptible que d'une seule solution.

. 5°. Enfin, les cercles peuvent être toul»à-fait intérieurs F un

à l'autre. Cette circonstance est exprimée par d<^r—r et,

à fortiori, d < r -f- /.

dr dr

Les deux valeurs x'= -^, x = < . (Jig. 121) sont Fîg. 101.

l'une et l'autre moindres que r. Ainsi, dans ce cas, il n'j a aucune solution possible.

11 est remarquable que les circonstances dans lesquelles le problème cesse d'admettre quatre solutions, ne correspondent à aucun résultat algébrique qui soit absurde en lui-même, comme le sont les expressions imaginaires dans les équations du second degré. Cela tient à ce que le problème proposé dépend d'un, autre (mener par un point donné une tangente à un cerclé), qui, pour être susceptible de solution, exige déjà (n° 196) que les données satisfassent à certaines conditions.

La discussion du problème n° 207 rentre dans celle-ci , avec cette seule différence que les rayons r, r doivent y être remplacés par les quantités h9 hf , ou V^f* ~ TO% l/V* — m\

Ces deux dernières expressions prouvent qu'il faut d'abord que l'on ait m moindre que le plus petit des rayons r et r'. Cesl une condition à ajouter à celles de la discussion précédente*