DR LA TANGENTE COMMUNE A DEUX CERCLES DONNES

aïo. Nous proposerons, pour exercice de calcul, de trou-* ver la démonstration du théorème suivant :

Trois circonférences de cercle étant tracées sur un plan, si, en les considérant deux à deux > on leur mène des tangentes communes tant extérieures qu'intérieures j les points de rencontre de ces tangentes avec les lignes des centres seront trois a trois en ligne droite.

Fig. ta*. Ainsi, soient O, O', O* (Jzg. 122) , les centres des trois circonférences; A, A', A', a, a', a9 les points où les tangentes extérieures et intérieures coupent les lignes des centres; i°. A, A', A" sont en ligne droite \ a°. il en est de même de

Voici les élémens nécessaires à la résolution de cette question. £n appelant r , /, r" les rayons des cercles qui ont leurs centres en O , O', Off, et d, <f, <F les distances OO', OO', CO', N on a trouvé (n° 208)

OA=-^,d'oùO'A=-A7-<*= d/

r\ dr ,, , ^, . dr d/

Oa = — —7, dott Qa ss d —

On trouverait de même

OA = -5, O A as -s, Oa as , „, O'a = — — *

et

Avec ces données, on peut fixer la position des points A , A', A9, a } d , a", par rapport à deux axes, pour en déduire ensuite (n° 187) les rapports des différences entre les coordonnées de ces points. Nous observerons , toutefois , que le choix des axes n'est pas indifférent pour la simplicité des calculs. Nous ayons indiqué dans la figure un des systèmes les plus convenables ; l'axe des abscisses est la ligne des centres OO', et l'axe

problèmes indéterminés. *47

des ordonnées, une parallèle à O'O", menée par le point extérieur A*

Il suffit, en effet, de démontrer la proposition pour les points â , A', A*, et A, a', a* ; ce qui peut se faire en prouvant que

AP,""AQ7 e hpf~ W

211. Nous terminerons ce chapitre par la résolution de quelques problèmes indéterminés.

Premier problème. Deux points À U B étant donnés * on en demande un troisième M (jSgt. ia3) fe/ ^u'tn /* Joignant aux Fig. ia3. points A etHj la somme des carrés des distances AM., MB *oi* ^£a& à zm carr<? donné m*.

Il est d^abord évident que fat question* est indéterminée; car en appelant 2, 2' les distances AM, BM, on a pour condi-

Xwn unique , z% «+- z'% = m*.

Gela posé , donnons à s une valeur quelconque d, il en résulte

pour z' la valeur correspondante z' = \/ m% — ** \ et si du point A comme centre, avec un rayon égal à m , on décrit une. circonférence, que du point B comme centre, avec un rajon

égal à \/m* — •*, on décrive une autre circonférence, les points M , M' oà ces deux circonférences se coupent , satisfont a renonce.

Soit encore z =m j on déduit de Féquation , zr = j/ro- — • * ; et l'on obtiendra deux nouveaux points M", M"; et ainsi de suite. £Pou Pon voit qu'il existe une infinité de points susceptibles de vérifier Fénoncé.

On reconnaît en même temps que le lieu géométrique de tous ces points est une courbe limitée dans tous les sens ; car l'équation ci-dessus donnant z = ^/m* — z,% et fc'= l^m"— z*f aucune des distances z et z' ne peut être plus grande que m.

Actuellement, il s'agit de trouve* féquation de cette courbe * c'est-à-dire (n° 171), une relatiert entre les coordonnées de chacun de ses points rapportés à deux axes fixes. Mais afin de choisir le système le plus simple, nous ferons une nouvelle obser-

2fc48 PROBLÈMES «

ration; c'est que cette courbe est symétrique par rapport à ÀB et à la perpendiculaire OC élevée par le milieu O de cette droite.

Gela est évident pour ÀB, d'après la construction indiquée ci-dessus, car les points M et M' sont situés sur une perpendiculaire à AB, et à égale distance de ÀB.

Quant à OC , soient deux points M et M" situés sur une même perpendiculaire MM" à OC, et tels qu'on ait MQ=QM*.

Abaissons les perpendiculaires MP, MffP". Comme OP=OP* et AO=OB , il en résulte AP=BPir -, on a d'ailleurs MP^dVTP*; ainsi les deux triangles rectangles APM, BP"M" sont égaux et donnent AM=BM°. On prouverait pareillement que BM=AM".

Donc si Ton a ÀM + BM = /nâ, on doit avoir aussi. ....

ASP+MÏ'=m*.- /

D'après cela, nous prendrons pour système d'axes, les deux lignes AB, OC.

Appelons x et y les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe , aa la distance AB ; d'où OÀ = OB = a.

Les deux triangles rectangles APM, BPM donnent

y-r- (* + a)»— *•,.... (,) y» •(. (x a)ft = z'* (a)

D'ailleurs, on a déjà la relation

sl+*'*=sm1;... (3)

et si , entre ees trois équations qui existent pour un point quelconque de la courbe, on élimine £ .et z'f l'équation résultante, en a:, j, existera elle-même pour ce point et sera par consé* quent l'équation de la courbe.

Ajoutant les équations (i) et (2) , puis mettant pour a*+a'* sa valeur m% on obtient sur-le-champ,

y+(* + a)»+y+Cr— ay=m\ ou réduisant , y% -f- x* = • . . . (4)

Cette équation est évidemment celle d'une circonférence de

ind£tbdiiin£s. 249

cercle dont le centre est à l'origine O , et qui a pour rayon ,

m* — 2aa

Pour le construire, soit décrit sur OB le carré OBGH; il en

résulte OG = 2aa; d'où OG = at/a. Au point O élevez ON perpendiculaire à OG., et du point G comme centre avec m pour rayon j décrivez un arc de cercle qui coupe ON au point Y j puis achevez le carré OFIK; le triangle rectangle OFG donne

OF = FG — OG = m» — 2aa ; d'où OÏ = 2OF = 2(ma — 2û») donc OL moitié de 01 est le rayon cherché-, car

OL = - OI = - t/V/n» — /W2k) . , 2 2 v '

Donc, la circonférence décrite du point O comme centre et avec OL pour rayon, est le lieu géométrique demandé.

N. B. La ligne donnée m a évidemment pour minimum

ay 2. , ou bien, la diagonale OG du carré décrit sur OB; mais elle n'a point de maximum, c'est-à-dire qu'elle peut recevoir une valeur aussi grande que l'on veut. Ainsi, le diamètre DD' qui, dans la figure actuelle, est moindre que la distance ÀB, peut être plus grand dans d'autres cas.

Pour savoir dans quelle circonstance ce diamètre est égal à

AB ou 2û , il n'y a qu'à poser - \/ 2 (m* — 2aa)=a; ce qui donne

a(ma— 2aa)=4a* ou 2ma = 8a**, donc ma = 4û* et m-=-za.

Soit m = a^/ 2; il en résulte r = o,etla courbe se réduit à an point qui n'est autre chose que l'origine.

212. Étant donnés deux points A, B, {fig- !^4) déterminer Fig. ia4« un autre point M., tel que la différence des carrés des distances AM j BM soit égale à un carré m*.

Par des raison nemens analogues à ceux qui ont été faits dans

a5o VAOBLÀMBS

le problème précédent, on prouverait que la question est indi~ terminée j et que le lieu géométrique est symétriquement placé par rapport aux deux droites AB et OC.

Mais ce lieu géométrique doit être une ligne indéfinie; car l'équation de condition étant

AM* — BM*= m% d'où AM = y/m* + BM"

on peut donner à BM une valeur aussi grande que l'on veut, et il en résulte toujours pour AM une valeur réelle correspondante.

Gela posé, prenons AB et OC pour système d'axes , et appelons toujours aa la distance AB, z, z' les distances AM et BM , x, y les coordonnées du point M rapportées à ces axes. On a d'abord , comme dans le problème précédent , les équations

y9 + (* + a)* = aa, - . . • (0

y + (x — ay = z'* (2)

Quant a l'équation de condîlion ci-dessus, observons que, pour tous les points situés à la droite 'de OY, on a AM > BM,

d'où AM — BM > o ; mais que pour ceux qui sont situés à

gamche, on a au contraire AM < BM , d'où AM — BM < è ;

donc la différence des carrés, AM — BM, doit être exprimée par Hm%'9 et l'on a *m— z'*=z2im*. . . (3)

Si, entre ces trois équations qui ont lieu pour un point quelconque de la ligne cherchée , on élimine z et *', l'équation en x }y, qu'on obtiendra , sera l'équation de ce lien géométrique. Or, en retranchant (a) de (i), et remplaçant z* — zt% par sa valeur dtz m% on trouve . fax = ± m* ;

d'où Ton déduit x = ^ — .

Cette équation ne renfermant pas la variable y, représente

(o° 176) le système de deux droites parallèles à OY, et menées

à égale distance du point O.

m Pour les construire,/?/**/^* sur OB=a, une distance OEs= — >

et sur la perpendiculaire OY', une distance OH = — . Tire* ensuite BH^ et par le point F menés FG parallèle à BH ; tous

aurez évidemment OG =7-.

II ne s'agit plus ensuite que de rabattre OG de O en I et de O en I', puis de mener par les points I et l' les droites IL, IX' parallèles à OY.

La quantité m peut recevoir tartes les valeurs possibles depuis o jusque l'infini.

Soit ms=o; il en résulte x = o , et les deux lignes IL , VU se confondent eu une seule, qui n'est autre chose que l'axe desj.

En effet , pour uu point quelconque C de cette droite , on a

ÂC*= BC * d'où IC*— BC%= m* = o.

Soit m=zna\ on trouve x = / ■ =±c, et les

deux droites se confondent avec les perpendiculaires élevées aux points A et B.

Pour m > aa, ees droites seront placées à droite et à gauche sur les prolongemens de la ligne AB.

ai 3. Troisième problème. Étant donnée deu* points A. et B, trouver un autre point M (fig. ia5) tel qu'en le joignant aux Fig.iaS. points A et B., V angle AMB formé par ces deux lignes de jonction; soit égal à un angle donné vi

Prenons pour axes la ligne AB et la perpendiculaire élevée par le point O, milieu de AB. Nommons d'ailleurs ix la distance AB.

La droite BM étant assujettie à passer par le point B, dont les coordonnées sont y =s= o , x = xf, a pour équation ,

jf = a(j;— *xf). . . . (1)

On a de même pour l'équation de la droite AM ,

2$2 PBOBL&HES

(puisque l'abscisse OA est exprimée par — x); et comme, d'après Fénoncé, ces deux droites doivent former un angle donné vt les quantités a et a' sont liées entre elles par la relation

-, •== tang v . . • (3)

i + od

En donnant à a une valeur tout-à-fait arbitraire, ce qui fixerait l'une des positions de la droite BM, on tirerait de l'équation (3) une valeur correspondante pour d, ce qui déterminerait aussi une position particulière de 'la droite AM ; et le point d'intersection de ces deux droites appartiendrait au lieu géométrique demandé. Mais si , entre les équations (i), (2) et (3) qui ont lieu en même temps pour un point quelconque M du lieu géométrique, on élimine a et a, l'équation résultante en or et y sera nécessairement l'équation de ce lieu géométrique.

Or, pour effectuer l'élimination, il suffit de remplacer dans l'équation (3) les quantités a et d par leurs valeurs tirées des équations (1) et (2). On obtient par cette substitution ,

tang v ,

d'où, chassant les dénominateurs et réduisant,

équation d'une circonférence de cercle dont le centre a (n° 177) pour coordonnées , p = o , q = , et qui a pour rayon ,

r= 1/ x'ft H — = y\ + tang* *>.

V ^ tang» v tang v y ^ e

3\Iais comme l'hypothèse y =e= o donne x* — x'% = o , d'où xz=^±x', ce qui prouve que le cercle passe par les points A et B, il est clair que le cercle sera tout-à-fait déterminé, dès.

iNoirEfijruiij. a53

qu'on aura construit sur OY l'expression a = .

r tangv

puisque le centre sera alors fixé de position

Faites au point B un angle ABL égal à F angle donné; puis élevez en ce même point BI perpendiculaire à BL ; le point I d'intersection avec OT sera le centre du cercle.

En effet, le triangle rectangle OBI donne (Trigon.j n° 88),

Oï= OB tang OBI = OB cot OBL =

tang p

Cette construction est évidemment celle qu'on donne dans les élémens de Géométrie, pour décrire sur une droite un segment de cercle capable d'un angle donné.

Discussion. Tant que l'angle v sera aigu, sera positif, et le centre du cercle sera situé au-dessus de la ligne AB. Mais si l'angle v est obtus, comme tang v est alors négatif, il

en est de même de * : et le centre se trouve placé au -des -

tang v *

sous de AB.

Soit v = iooQ, d'où tang ♦> = oo et = o ;

° tang v

l'équation (4) se réduit à x% +y* = x'a et représente une circonférence décrite sur AB comme diamètre*

Soit encore v = o, d'où tang v = o ; les expressions

je' X / «— — — — — ^— —

a = ■ et r = y i -f- tanea v deviennent infinies,

' tang v tang v

et le cercle est lui-même d'une grandeur infinie.

Il faut d'ailleurs observer que tous les points de la partie supérieure AMB de la circonférence donnée par l'équation (4) satisfont à l'énoncé de la question , mais que pour la partie inférieure AM'B,ce n'est plus l'angle AM'B, mais son supplément AM'H qui est égal à l'angle donné.

On a en effet pour cet angle , AM'H = M'AB + ABM' ;

., w « > * «*/« tang M'A& + tanc ABM'

d'où (n° 70) tang AM H = - -^ L-^__ ;

v ; y * 1 — tanc M'AB. tant; ABM

254 FftOSLàNK

mais

tangM'AB=— tangKAX-=— d ; taiig ABM'=tangH'BX=a ;

donc tang AM'H =

i+ad i +ad'

Ainsi, c'est pour cet angle que l'équation (3) est satisfaite.

, ai 4* Scbolib oimÈÊJLL sur les probftmes indéterminés.

En réfléchissant sur la manière dont les trois questions précédentes ont été résolues, on toit que , pour obtenir l'équation d'un lieu géométrique», il faut commencer par établir des équations entre les coordonnées x et y de l'un quelconque de ses points, et d'antres quantités qui varient avec la position du point. Le nombre de ces équations doit être moindre d'une unité que le nombre total des variables , y compris x et y. Ces équations une fbis formées, on élimine les variables autres que x , y , et l'équation résultante est l'équation demandée , puisqu'elle exprime une relation entre les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, et des quantités connues.

On doit toutefois avoir le soin de choisir convenablement les axes, pour que les calculs soient simples et qu'on puisse construire facilement les résultats*

Si, dans le problème précédent, par exemple,. on prenait les deux axes dans une situation quelconque, par rapport aux deux points A et B, les équations seraient

y—, /=*(*— *0, y— /=a'(x— x»), ÎZL^-atang,/; d'où * en éliminant a et d,

y-yf y— y]

TTI^^K^T) = taDg v '

(x— x')[x — X*) ou , réduisant et ordonnant par rapport à y et x ,

On reconnaît bien à l'inspection de cette équation qu'elle appartient à une circonférence de cercle ; maïs la détermination du centre et du rayon ne serait pas facile , et l'on aurait surtout beaucoup de peine à faire ressortir des résultats la construction indiquée ci-dessus.

On peut même affirmer que la principale difficulté qui se présente dans la résolution des questions par les principes «te la Géométrie analytique , consiste dans le choix des axes.

Asses ordinairement, les équations à établir se réduisent, premièrement^ à celles de deux lignes droites ou de deux circonférences de cercle dont les points d'intersection appartiennent au lieu géométrique cherché (ces équations renfermant, outre les coordonnées x , y , deux autres quantités qui varient avec la position, du point ) ; secondement, à une relation entre ces deux dernières variables, laquelle est fournie imraéd iatement par l'énoncé. Les problèmes précédens en offrent des exemples.

Dans les deux premiers, le point M (fig. 123 et ia4) estFig. io3 déterminé par l'intersection de deux circonférences ayant leurs ec Ia^* centres en À, B, et pour rayons s, «'; ces variables sont d'ail* leurs liées entre elles par la relation

s* -f- zi^ = m* ou z*-/8 = ±ml.

Dans le troisième, le point M est donné par l'intersection de deux droites* passant par les points A, B; et les variables a, a'> qui entrent dans leurs équations, sont liées entre elles- par la

relation , = ta ne v.

Cependant, il peut arriver que le nombre des variables à éliminer soit plus considérable , comme on va lé voir dans le problème que nous allons nous proposer en dernier lieu.

21 5. Un cercle et un point B (,/%. 126) étant donnés sur Fîg.iaG-

a56 paoBubus

un pion, si, de ce point, on tire une droite quelconque KK' qui rencontre la circonférence eh deux points M^ M'., et que par ces points on mène les tangentes MN,, IVl'N., on demande le lieu de tous les points, tels que N, ou ces tangentes se rencontrent.

Nous prendrons pour axe des x la ligne OB menée par le centre et le point donné , pour axe des y la perpendiculaire élevée au point O.

Soient x9y les coordonnées du poiut N , x' et y les coordonnées du point M , x" et y celles du point M' ; x\ y\ xn;ym , sont des quantités qui varient avec la position de la droite KK', et par conséquent avec la position du point N. Nommons d'ailleurs et la distance OB, et r le rayon du cercle.

Gela posé, on a (n° 200) pour les équatioris des deux tangentes dont l'intersection donne un point du lieu géométrique ,

yy' + xjf = r% . . . (1) yy"+ xx" = r*.... (2)

Comme ces équations renferment quatre variables à éliminer, il nous faut encore (n° 21 4) trois autres équations.

D'abord , les points x', y' et x", y" se trouvant sur le cercle, on a les relations

De plus , nous avons à exprimer que la droite KK.' passe par le point B. Or , l'équation de la droite menée par les deax points

*>y'> *u>yu> étant (n° 1 48) de la forme y— y— ^t-^-* (*—*')>

pour écrire que le point B se trouve sur cette droite, il faut faire ^ = ° et j; = • , ce qui donne la nouvelle relation

Telles sont les cinq équations entre lesquelles on doit éliminer x', y, a", /.

UfDferatMiyis. ^7

Retranchons les équations (1) et (2) l'une de l'autre ; il rient

D'un antre côté , l'équation (5) donne \j • = «— y *

d'où, égalant ces deux valeurs de —, — ^ entre elles ,

— a: — ,, ou xx' + y/ — *X = O

mais on a déjà xx' +^y = r* ">

il en résulte donc r,-*cs=o, et par conséquent.

ras-,

et

Cette équation, en x seulement , représente une parallèle à

t% Y axe des y menée à une distance du centre, marquée par — .

Tant que le point B sera intérieur au cercle , la quantité —

et

sera plus grande que r, et le lieu géométrique LL' sera extérieur au cercle. Le contraire aurait lieu si le point B était extérieur.

Cette proposition peut être regardée comme la réciproque de celle qui a été démontrée (n° ao3).

TV. 2?. H est à remarquer que , dans l'élimination , nous n'avons fait aucun usage des équations (3) et (4). Cela tient à ce que les équations (1) et (2) renferment implicitement ces deux relations. {Fcyem n° 197.)